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湘教版八年级上册期末复习真题卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列代数式中属于分式的是（）
A． B． C． D．
2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性
3．下列命题中是真命题的是（ ）
A．绝对值相等的两个数相等
B．两个无理数的和仍是无理数
C．同角的补角相等
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点在一条直线上，，那么添加下列一个条件后，仍不能够判定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．将一副三角板如图放置，若//，则的度数为（ ）
A．85° B．75° C．45° D．15°
9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠APO-∠OBD=30° ；②△BPO是正三角形；③AB-AP=AO；④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在等腰 中， ，中线 将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（ ）
A．9 B．9或13 C．10 D．10或12
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若分式的值为0，则的值为 ．
12．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为
.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 °．
15． 的三边长分别为 ，且 为整数，则 的值是 ．
16．一个三角形的两边长分别为 2 和 5，若第三边取奇数，则此三角形的周长为 .
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 .
18．如图，在四边形 中， 于点 ，且 平分 ，若 的面积为 ，则 的面积为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）某学校组织师生共300人参加一次社会实践活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个。
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值。
20．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E是BC边上一点，且AE=AB，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F。
（1）求证：∠BAD=∠C；
（2）求证：AC=EF。
21．（9分）下面是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
冰冰：
庆庆：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）冰冰同学所列方程中的x表示 ，庆庆同学所列方程中的y表示 ；
（2）两个方程中任选一个，写出它的等量关系；
（3）解(2)中你所选择的方程，并解答老师的例题。
22．（9分）如图1和图2， 是直线 上一动点， 两点在直线 的同侧，且点 所在直线与 不平行.
（1）当 点运动到 位置时，距离 点最近，在图1中的直线 上画出点 的位置；
（2）当 点运动到 位置时，与 点的距离和与 点距两相等，请在图2中作出 位置；
（3）在直线 上是否存在这样一点 ，使得到 点的距离与到 点的距离之和最小？若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由.
（要求：不写作法，请保留作图痕迹）
23．（9分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.
（1）如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由；
（2）如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是 .
24．（9分）如图所示，四边形 是正方形， 是 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点 ，且直角顶点 在 边上滑动(点 不与点 重合)，另一直角边与 的平分线 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图(1)，当点 在 边的中点位置时，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图(2)，当点 在 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时 与 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
25．（9分）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
26．（9分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请写出线段OA，OD，CD之间等量关系并说明理由；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
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湘教版八年级上册期末复习真题卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．下列代数式中属于分式的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 的分母中不含字母，是整式，不符题意
B、 分母中含有字母，是分式，符合题意
C、 的分母中不含字母，是整式，不符题意
D、 的分母中不含字母，是整式，不符题意
故答案为：B．
【分析】根据分式的定义判断即可。
2．如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性
【答案】D
【解析】【解答】解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为：D．
【分析】利用三角形的稳定性一一判断即可。
3．下列命题中是真命题的是（ ）
A．绝对值相等的两个数相等
B．两个无理数的和仍是无理数
C．同角的补角相等
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
【答案】C
【解析】【解答】解：A、|2|=|2|，但2≠2，
故绝对值相等的两个数相等是假命题，不符合题意；
B、，
故两个无理数的和仍是无理数是假命题，不符合题意；
C、同角的补角相等是真命题，符合题意；
D、90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，它们不是对顶角，
故有公共顶点且相等的两个角是对顶角是假命题，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】|2|=|-2|，但2≠-2，据此判断A；，0属于有理数，据此判断B；根据补角的性质可判断C；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此判断D.
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：-2x>4，
x<-2.
故答案为：A.
【分析】给不等式两边同时除以-2可得x的范围.
5．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意知7.2≤≤7.8，
∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，
故答案为：A.
【分析】用三次检验的pH值的和除以3可得三次检验的pH值的平均值，结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8 ，列出不等式组，据此即可得出答案.
6．如图，点在一条直线上，，那么添加下列一个条件后，仍不能够判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
∴，
又∵，
当，可得∠B=∠E，利用SAS可证明全等，故A选项不符合题意；
当，利用SSS可证明全等，故B选项不符合题意；
当，利用HL定理证明全等，故C选项不符合题意；
当，可得∠ACB=∠DFC，SSA无法证明全等，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由BF=CE易得BC=EF，又题干给出了AB=DE，即两个三角形中已经给出了两组边对应相等，要使△ABC≌△DEF，可以添加AC=DF，也可以添加∠B=∠E，或者∠A=∠D=90°，从而即可一一判断得出答案.
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
故答案为：A.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
8．将一副三角板如图放置，若//，则的度数为（ ）
A．85° B．75° C．45° D．15°
【答案】B
【解析】【解答】
（两直线平行，同旁内角互补）
又
（三角形外角和定理）
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质可得∠BAE=180°-∠B=120°，从而求出∠EAF=∠BAE-∠EAF=30°，根据三角形外角的性质可得∠AFD=∠E+∠EAF，继而得解.
9．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠APO-∠OBD=30° ；②△BPO是正三角形；③AB-AP=AO；④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，
∴BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°.
∵OP=OB，
∴OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC=∠OCD+∠ACB=∠OCD+30°，即∠APO-∠OBD=30°，故①正确.
在△PBC中，∵∠CBP+∠BPC+∠BCP=180°，∠BCP=30°，
∴∠CBP+∠BPC=180°-30°=150°.
∵∠BPC=∠APO+∠OPB，
∴∠CBP+∠APO+∠OPB=150°.
由①知：∠APO=30°+∠BOD，
∴∠CBP+∠OBD+30°+∠OPB=150°.
∵∠CBP+∠OBD=∠OBP，
∴∠OBP+∠OPB=150°-30°=120°.
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=120°÷2=60°.
∵在△BPO中，∠OBP=∠OPB=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BPO为等边三角形，故②正确.
在AB上截取AE=AP，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAE=60°.
∵AE=AP，
∴△APE为等边三角形，
∴∠BPO=∠APE=60°，
∵∠BPO=∠BPE+∠EPO，∠APE=∠APO+∠BPO，
∴∠BPE=∠APO.
∵AP=AE，∠BPE=∠APO，BP=OP，
∴△EPB≌△APO（SAS），
∴BE=AO.
∵BE=AB-AE=AB-AP，
∴AB-AP=AO，故③正确.
延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，
∵PB=OB，∠PBA=∠OBF，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴S四边形AOBP=S△ABF，
要证S△ABF=2S△BOC，即证OD=AD，
而OD=AD无法证明，故④错误.
故答案为：C.
【分析】①由等腰三角形的性质结合已知条件可得：BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°，进一步推出∠OPC=∠OCP，然后根据角的和差关系判断即可；
②由三角形内角和定理可得∠CBP+∠BPC=150°，然后根据角的和差关系推出∠OBP+∠OPB=120°，根据等腰三角形的性质求出∠OBP=∠OPB=60°，据此判断即可；
③在AB上截取AE=AP，可推出△APE为等边三角形，进而证明△EPB≌△APO，然后根据全等三角形的性质以及线段和差关系判断即可；
④延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，证明△APB≌△FOB，则可得S四边形AOBP=S△ABF，然后判断出OD与AD的关系即可.
10．在等腰 中， ，中线 将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（ ）
A．9 B．9或13 C．10 D．10或12
【答案】B
【解析】【解答】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得
或
解得
或 ，
经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．
故答案为：B
【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为15cm，故应该列两个方程组求解．
阅卷人 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
得分
11．若分式的值为0，则的值为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，据此即可求解.
12．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】10或-4或3
【解析】【解答】解：
方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=5（x-2），
化简得：（m-3）x=-14；
当原分式方程有增根时，分式方程无解，
此时整式方程的根为x=-2或x=2，
将x=-2代入（m-3）x=-14，
解得：m=10；
将x=2代入（m-3）x=-14，
解得：m=-4；
当整式方程无解时，原分式方程无解，
此时，m-3=0，
解得：m=3；
综上所述，当m=10或m=-4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或-4或3.
【分析】根据原分式方程存在增根或原方程约去分母后，整式方程无解时，分式方程均无解，分类讨论即可得出答案.
13．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为
.
【答案】（3，4）或（3，－4）或（0，－4）
【解析】【解答】∵A（3，0），B（0，4），
∴AB=5，且BO⊥OA，
当△AOC≌△AOB时，则有OC=OB=4，
∴C点坐标为（0，-4）；
当△AOC≌△OAB时，则有AC=OB=4，
∴C点坐标为（3，4）或（3，-4）.
综上可知C点的坐标为（3，4）或（3，－4）或（0，－4）.
【分析】先求出AB=5，且BO⊥OA，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 °．
【答案】33
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠B=∠C=39°，，利用三角形外角的性质可得，据此计算即可.
15． 的三边长分别为 ，且 为整数，则 的值是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：3-1＜x＜3+1，即2＜x＜4，
∵x为整数，
∴x=3，
故答案为：3．
【分析】根据三角形三边关系列出不等式组3-1＜x＜3+1，再求解即可。
16．一个三角形的两边长分别为 2 和 5，若第三边取奇数，则此三角形的周长为 .
【答案】12
【解析】【解答】解：设第三边长为x.
根据三角形的三边关系，则有5-2＜x＜5+2，
即3＜x＜7.
所以x=5.
所以周长=2+5+5=12.
故答案为：12.
【分析】设第三边长为x，根据三角形三边关系可得3＜x＜7，结合x为奇数可得x=5，据此可得周长.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝ ，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP＋PF＝3＋ ＝ ，
∴PC的最小值为 .
故答案为： .
【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解.
18．如图，在四边形 中， 于点 ，且 平分 ，若 的面积为 ，则 的面积为 .
【答案】20
【解析】【解答】解：延长BC和AD相交于点M，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACM=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠MAC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△AMC，
∴BC=CM，
∴ ，
∵ 与 同高，
∴
∵ 与△BDM 同高，
∴
∴
∵ 的面积为 ，
∴ ；
∴
故答案为：20.
【分析】延长BC和AD相交于点M，根据已知得出△ABC≌△AMC，得出BC=CM，从而得出 ，再根据等高的三角形的面积得出 ，继而得出答案.
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共66分）
得分
19．（6分）某学校组织师生共300人参加一次社会实践活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个。
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值。
【答案】（1）解：设每辆小客车的乘客座位数为x
根据题意可得：6(x+17)+5x=300
解得：x=18
x+17=18+17=35(个)
答：每辆小客车的乘客座位数为18个，每辆大客车的乘客座位数为35个。
（2）解：设租用a辆小客车，由题意可得
18a+35(11-a)≥300+30
解得：a≤
∵a为整数
∴a的最大值为3
答：租用小客车的数量最大值为3辆
【解析】【分析】（1）根据：每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个和6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满300名师生，列出方程，解方程即可得解；
（2）根据第（1）问中所求，进而利用总人数为300+30，列出不等式求出答案即可.
根据等量关系和不等关系准确列出方程和不等式是解题关键.
20．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E是BC边上一点，且AE=AB，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F。
（1）求证：∠BAD=∠C；
（2）求证：AC=EF。
【答案】（1）解：∵AB=AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，∠C+∠DAC=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠DAC=90°
∴∠C=∠BAD
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠AEB
∵AB=AE
∴∠B=∠AEB
∴∠B=∠FAE
∵∠BAC=∠AEF=90°
∴△ABC≌△EAF(ASA)
∴AC=EF
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BE，然后依据同角的余角相等可证∠C和∠BAD相等.
（2）利用平行线的性质，结合等腰三角形的底角相等，可得∠B=∠FAE ，结合AB和AE相等， ∠B和∠FAE是直角，利用角边角定理可证△ABC≌△EAF(，则对应边AC和EF相等.
21．（9分）下面是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
冰冰：
庆庆：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）冰冰同学所列方程中的x表示 ，庆庆同学所列方程中的y表示 ；
（2）两个方程中任选一个，写出它的等量关系；
（3）解(2)中你所选择的方程，并解答老师的例题。
【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修400米路所需时间(或乙队修600米路所需时间)
（2）解：冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米
（3）解：①选冰冰的方程
去分母，得2(x+20)=3x．
解得x=40．
经检验x=40是原分式方程的解
答：甲队每天修路的长度为40米
②选庆庆的方程
去分母，得600-400=20y
解得y=10
经检验y=10是原分式方程的解
所以
答：甲队每天修路的长度为40米。
【解析】【解答】（1）甲队每天修路的长度 ； 甲队修400米路所需时间(或乙队修600米路所需时间) .
（2） 冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间.
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米.
（3）①选冰冰的方程
去分母，得2(x+20)=3x．
解得x=40．
经检验x=40是原分式方程的解
答：甲队每天修路的长度为40米
②选庆庆的方程
去分母，得600-400=20y
解得y=10
经检验y=10是原分式方程的解
所以
答：甲队每天修路的长度为40米。
【分析】分析题目可知冰冰是根据“时间相等”列方程，庆庆是根据“ 乙队每天比甲队多修20米 ”列方程，进而可确定未知数表示的意义，即可解答（1）、（2）；根据解分式方程的方法求解，注意最后需要验根.
22．（9分）如图1和图2， 是直线 上一动点， 两点在直线 的同侧，且点 所在直线与 不平行.
（1）当 点运动到 位置时，距离 点最近，在图1中的直线 上画出点 的位置；
（2）当 点运动到 位置时，与 点的距离和与 点距两相等，请在图2中作出 位置；
（3）在直线 上是否存在这样一点 ，使得到 点的距离与到 点的距离之和最小？若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由.
（要求：不写作法，请保留作图痕迹）
【答案】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
【解析】【分析】（1）当AP1⊥m时，P1距离点A最近；（2）作AB的垂直平分线交m于点P2即可；（3）作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B交直线m于点P3；
23．（9分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.
（1）如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由；
（2）如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是 .
【答案】（1）α＋β＝180°；∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS) ， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABC中， ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE， ∴∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°， ∵∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β， ∴α＋β＝180°；
（2）α＝β；理由：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠ABD＝∠ACE.∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝∠ABC＋∠BAC＝∠ACE＋∠ECD.∴∠BAC＝∠ECD.∴α＝β.
（3）α＝β
【解析】【解答】（3） 如图，
α＝β
理由：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ABD=∠ACE
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠DCE=∠BAC即α＝β
【分析】（1）如图①，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由三角形的内角和定理就可以得出结论；
（2）如图②，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出结论；
（3）根据条件画出图形③，根据等式的性质就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由外角与内角的关系就可以得出结论.
24．（9分）如图所示，四边形 是正方形， 是 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点 ，且直角顶点 在 边上滑动(点 不与点 重合)，另一直角边与 的平分线 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图(1)，当点 在 边的中点位置时，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图(2)，当点 在 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时 与 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 理由如下：
如图，取 的中点 ，连接 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 分别为 中点
∴ ，
∴
又∵
∴
∴ ，
又∵ ， 平分
∴ ．
∴
在 和 中
，
∴
（3）解： .理由如下：
如图，在 边上截取 ，连接 ，
∵四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据 ，等量代换即可证明；
（2）DE=EF，连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≌△EBF即可得出答案；
（3）在 DA 边上截取 DN=EB ，连接 NE ，证出 即可得出答案．
25．（9分）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
【答案】（1）解：如图，∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
（2）解：∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
（3）解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．
【解析】【分析】（1）根据三角形外角定理得出∠1=∠2+∠D，∠2=∠B+∠E故∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，根据三角形的内角和得出∠1+∠A+∠C=180°，利用整体代入即可得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
（2）根据三角形外角定理得出∠1=∠2+∠F，∠2=∠B+∠E，故∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，根据四边形的内角和得出∠1+∠A+∠C+∠D=360°，利用整体代入即可得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，从而得出答案。
26．（9分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请写出线段OA，OD，CD之间等量关系并说明理由；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）解：作CH⊥y轴于H，如图1，
∵点A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBH=∠BAO，
在△ABO和△BCH中
，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB=CH=1，OA=BH=3，
∴OH=OB+BH=1+3=4，
∴C（ 1，4）；
（2）解：OA=CD+OD．理由如下：如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中
，
∴△ABO≌△BCD，
∴OB=CD，OA=BD，
而BD=OB+OD=CD+OD，
∴OA=CD+OD；
（3）解：CF= AE．理由如下：
如图3，CF和AB的延长线相交于点D，
∴∠CBD=90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D=90°，
而∠DAF+∠D=90°，
∴∠BCD=∠DAF，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE=CD，
∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，
∴CF=DF，
∴CF= CD= AE．
【解析】【分析】（1）作CH⊥y轴于H，证出△ABO≌△BCH，得出OB=CH=1，OA=BH=3，OH=OB+BH=1+3=4，从而得出C的坐标；
（2）OA=CD+OD．由△ABC是等腰直角三角形，证出△ABO≌△BCD，得出OB=CD，OA=BD，即可得出OA=CD+OD；
（3）CF和AB的延长线相交于点D，CF⊥x，得出△ABE≌△CBD（ASA），x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，得出CF=DF，CF= CD= AE．
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