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湘教版九年级上册期末质量检测卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算中，值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数，则下列描述错误的是（ ）
A．图象位于第二、第四象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而增大
4．如图，直线截直线e和f，，，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．小明与父母周末在公园放风筝．小明放一个线长为150米的风筝，他的风筝线 （近似地看作直线）与水平地面构成60°的角．若小明的身高1.2米，则他的风筝的高度是（ ）
A．76.2米 B．米 C．米 D．米
6．如图，在的小正方形网格中，点A，B，C都在格点上（格点是指网格中小正方形的顶点），则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．反比例函数与一次函数在同一坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
9．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH PC，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
10．三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若 ，则 ＝ .
12．如图，有一正方形，边长为，E是边上的中点，对角线上有一动点F，当与相似时，的值为 ．
13．在中， ，，，则斜边上的中线的长为 ．
14．如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点P，且矩形的两边、分别在x轴和y轴上，若矩形面积为7，则k的值为 ．
15．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝外斜坡的坡比，两个坡角的和为75°，则坝内斜坡的坡比是 ．
16．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于 海里．
17．如图，在正方形中，点E为边中点，连接，与对角线交于点F，连接，，且与交于点H，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填序号即可）
18．如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， .
（1）求证： .
（2）若 ， 的面积是 ，求 的面积.
20．（6分）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）当 时，求 的值.
21．（9分）如图，四边形 中， 平分 .
（1）求证： ；
（2）求证：点 是 的中点；
（3）若 ，求 的长.
22．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的相似比是 ；
（2）点C的对应点的坐标为 ；
（3）∠A的正切值是 ．
23．（9分）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
24．（9分）在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．
（1）若∠BAC＝900，求证：四边形ADCH是菱形；
（2）求证：△ABC∽△FCD；
（3）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面积．
25．（9分）如图①，在 中， ， 与 关于 对称.
（1）将图①中的 绕点 逆时针旋转角 ，使 ，得到如图②所示的 ，分别延长 和 交于点 ，则四边形 的形状是 ；
（2）将图①中的 绕点 逆时针旋转角 ，使 ，得到如图③所示的 ，连接 ， ，得到四边形 ，判断四边形 的形状，并说明理由；
（3）如图③）， ， ，将 沿射线 的方向平移 ，得到 ，连接 ， ，使四边形 恰好为正方形，求 值.
26．（9分）如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数 的图象相交于A（2，3），B（－3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式 的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得 ABP的面积为10，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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湘教版九年级上册期末质量检测卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．下列运算中，值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质将等积式化为比例式可得，再将待求式子变形为，整体代入即可算出答案.
3．已知反比例函数，则下列描述错误的是（ ）
A．图象位于第二、第四象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解：A．∵k＝，
∴图象位于第二、第四象限，
故A不符合题意；
B．∵＝k，
∴图象必经过点，
故B不符合题意；
C．∵x≠0，
∴y≠0，
∴图象不可能与坐标轴相交，
故C不符合题意；
D．∵k＝，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
4．如图，直线截直线e和f，，，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，，，故B选项不符合题意；
∵，
∴，
∴，故A选项符合题意，D选项不符合题意；
对于C选项，根据现有条件无法推出，故C选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行线分线段成比例计算求解即可。
5．小明与父母周末在公园放风筝．小明放一个线长为150米的风筝，他的风筝线 （近似地看作直线）与水平地面构成60°的角．若小明的身高1.2米，则他的风筝的高度是（ ）
A．76.2米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，∠ACB＝90°，AB＝150米，∠ABC＝60°，CD＝BE＝1.2米，
∵sin∠ABC＝，
∴AC＝AB sin∠ABC＝150×sin60°＝150×=，
∴AD＝AC+CD＝+1.2．
故答案为：D．
【分析】利用锐角三角函数先求出AC=，再求出AD的值即可。
6．如图，在的小正方形网格中，点A，B，C都在格点上（格点是指网格中小正方形的顶点），则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，取格点D，连接AD，BD，则∠BDA=90°，BD=5，AD=4，
∴，
故答案为：A．
【分析】先求出∠BDA=90°，BD=5，AD=4，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．反比例函数与一次函数在同一坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx+1可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、二、三象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过一、二、四象限，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数和一次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
且
解得且
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
9．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH PC，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】【解答】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①符合题意；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②符合题意；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③不符合题意；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴ ，
∴DP2=PH PC，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
10．三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 三角形第三边的长是一元二次方程的一个实数根
∴ 解方程，得x1=10，x2=6
∵ 三角形两边的长分别是6和8，
∴ 三角形的三边为6，8，10或6，6，8
（1）当三角形三边为6，8，10，则此时三角形为直角三角形， 该三角形的面积是=24；
（2）当三角形三边为6，6，8，则此时三角形为等腰三角形，
则高为， 该三角形的面积是；
综上，该三角形的面积是24或；
故答案为B
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键。 解方程，得x1=10，x2=6；则 三角形的三边为6，8，10或6，6，8，分别计算面积即可。
阅卷人 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
得分
11．若 ，则 ＝ .
【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴设a=3k，b=5k，
∴ ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据比例的性质进行求解即可.
12．如图，有一正方形，边长为，E是边上的中点，对角线上有一动点F，当与相似时，的值为 ．
【答案】6或8
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴ BC＝CD＝，∠C＝90°
∵E是边上的中点
∴DE＝CE＝CD＝
在R t△BCD中，由勾股定理得
BD＝
设BF＝x，则有DF＝12﹣x，
①当△ABF∽△FDE时，
由 ，即，
解得x＝6．
②当△ABF∽△EDF时，
由，即，
解得，x＝8，
综上所述，BF的值为6或8．
故答案为：6或8．
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再设BF＝x，则有DF＝12﹣x，然后分两种情况：①当△ABF∽△FDE时，②当△ABF∽△EDF时，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
13．在中， ，，，则斜边上的中线的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：在中，，
∴sinA=，
∵，
∴，
∴AB=8，
∵CD是斜边上的中线，
∴CD=AB=4，
帮答案为：4．
【分析】根据，求出AB的长，再利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AB=4。
14．如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点P，且矩形的两边、分别在x轴和y轴上，若矩形面积为7，则k的值为 ．
【答案】-7
【解析】【解答】解：∵矩形的面积为7
根据图象在第二象限，则
故答案为：-7
【分析】根据反比例函数k的几何意义求解即可。
15．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝外斜坡的坡比，两个坡角的和为75°，则坝内斜坡的坡比是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵坝外斜坡的坡比i=1：1，
∴，
则∠B=45，
∵两个坡角的和为75，
∴，
则坝内斜坡的坡比为：．
所以坡比为：
故答案为：．
【分析】坡比就是正切值，求出特殊三角函数值即可解得.
16．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于 海里．
【答案】
【解析】【解答】如图，过点A作AD⊥BC于D，
根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，BC=12，
∴∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=30°，
∴AC=BC=12，
∴CD=AC=6，
∴AD===．
故答案为：
【分析】根据题意先求出∠BAC=30°，再求出CD=6，最后利用勾股定理计算求解即可。
17．如图，在正方形中，点E为边中点，连接，与对角线交于点F，连接，，且与交于点H，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．（填序号即可）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是DC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD，DE＝CE，∠BCE＝∠ADE＝90°，
∴△ADE≌△BCE（SAS）
∴∠CBE＝∠DAE，BE＝AE，
∵AD＝DC，∠ADF＝∠CDF＝45°，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，
∴∠DCF+∠CEB＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥BE，故①符合题意；
∵点E为边中点，
∴，
∵∠DAE＝∠DCF＝∠CBE，
∴，
设，，则，，
则，
∵△ADF≌△CDF（SAS），
∴FA＝CF＝，
，
，
解得，，
∴，故②符合题意；
，
∵，，
∴，
∵∠DEH＝∠DEB，
∴△DEH∽△BED，
∵∠EDH＝∠DBE，
∵∠DBE+∠CBE＝45°，
∴∠EDH+∠HDB＝45°，
∵∠HDB＝∠EBC＝∠ECH，
∴△DCH∽△BDH，
∴，即，故③符合题意；
∵，，
∴∠DAE≠∠DBH，
∴∠DCH≠∠HDC，故④不符合题意，
故答案为：①②③．
【分析】先证明△ADE≌△BCE（SAS）再证△ADF≌△CDF（SAS），可得∠DAE＝∠DCF，即得∠DCF＝∠CBE，利用三角形内角和可求出∠CHE＝90°，据此判断①；由于tan∠DAE＝tan∠DCF＝tan∠CBE，，设，，则，，可得，由全等三角形的性质可得FA＝CF＝，，在Rt△EFH中，利用勾股定理建立方程，求出x值，代入即可求出比值，即可判断②；先证△DEH∽△BED，再证△DCH∽△BDH，可得，据此判断③；由于，，可得∠DAE≠∠DBH，据此判断④.
18．如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
∵正方形的面积为4
∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，
在与中，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴＝
∴，
由题意可得：
∴
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据正方形ABCD的面积可得边长为2，利用SAS证明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，结合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面积法可得DM，然后求出GM，证明△DCK∽△DGM，根据相似三角形的性质可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，证明△OKL∽△GML，然后根据相似三角形的性质进行计算.
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共66分）
得分
19．（6分）如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， .
（1）求证： .
（2）若 ， 的面积是 ，求 的面积.
【答案】（1）∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△BAC∽△EFC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即△ABC的面积为64.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，再根据相似三角形的判定可得结论；
（2）先根据 得出 ，再根据相似三角形的判定与性质即可得出答案.
20．（6分）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）当 时，求 的值.
【答案】（1）∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 .
∴△= ≥0,
∴ ;
（2）∵
∴ ,
∴ 或 ,
∴△=0或2m+1=0,
解得 或 (舍去),
∴ .
【解析】【分析】（1）根据判别式△= ≥0求解即可；
(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可.
21．（9分）如图，四边形 中， 平分 .
（1）求证： ；
（2）求证：点 是 的中点；
（3）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴ ，
∴BD2=AD CD
（2）证明：∵ ，
∴∠MBD=∠BDC，∠MBC=90°，
∵∠MDB=∠CDB，
∴∠MBD=∠MDB，
∴MB=MD，
∵∠MBD+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CBD，
∵∠CBD=∠A，
∴∠A=∠ABM，
∴MA=MB，
∴MA=MD，
即M为AD中点
（3）解：∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD CD，且CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
∴BC2=BD2-CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28
∴MC= ，
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴ ，且MC= ，
∴ .
【解析】【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得 ，可得结论；（2）通过 和相似得出∠MBD=∠MDB，在利用同角的余角相等得出∠A=∠ABM，由等腰三角形的性质可得结论；（3）由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得 .
22．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的相似比是 ；
（2）点C的对应点的坐标为 ；
（3）∠A的正切值是 ．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1和△A2B2C2，即为所求；
（2）（﹣2，2）或（2，﹣2）
（3）
【解析】【解答】解：（2）点C的对应点的坐标为：（﹣2，2）或（2，﹣2）；
故答案为：（﹣2，2）或（2，﹣2）；
（3）连接BD，由正方形的性质可得：
由勾股定理可得：
∠A的正切值是：tan∠BAD
故答案为： ．
【分析】（1）根据位似作三角形即可；
（2）根据图象和平面直角坐标系求点的坐标即可；
（3）根据勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
23．（9分）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
【答案】（1）（20+2x）；（40﹣x）
（2）解：根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，
解得：
即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；
（3）解：(20+2x)(40－x)=2000， ，
∵此方程无解，
∴不可能盈利2000元.
【解析】【解答】解：(1)设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，
故答案为：（20+2x），（40-x）；
【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可.
24．（9分）在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．
（1）若∠BAC＝900，求证：四边形ADCH是菱形；
（2）求证：△ABC∽△FCD；
（3）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面积．
【答案】（1）证明：∵CG∥AD，AH∥CD，
∴四边形ADCH是平行四边形。
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD，
∴四边形ADCH是菱形
（2）证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠FCD，
∴△ABC∽△FCD
（3）解：过A作AM⊥CD，垂足为M.
∵AD=AC，
∴DM=CM，
∴BD：BM=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AM，
∴△BDE∽△BMA，
∴ED：AM=BD：BM=2：3，
∵DE=3，
∴AM=4.9，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴ .
∵S△ABC= ×BC×AM= ×8×4.5=18，
∴S△FCD= S△ABC= .
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由 CG∥AD，AH∥CD， 得出 四边形ADCH是平行四边形；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AD=CD， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）根据等边对等角得出 ∠ADC=∠ACD， 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 BE=CE，根据等边对等角得出 ∠B=∠FCD， 根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出 △ABC∽△FCD ；
（3） 过A作AM⊥CD，垂足为M. 根据等腰三角形的三线合一得出 DM=CM， 进而得出 BD：BM=2：3， 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 ED∥AM， 根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 △BDE∽△BMA， 根据相似三角形对应边成比例得出 ED：AM=BD：BM=2：3， 根据比例式即可求出AM的长，由根据相似三角形面积的比等于相似比的平方， △ABC∽△FCD 得出 ，再根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积，然后根据比例式即可求出△FCD的面积。
25．（9分）如图①，在 中， ， 与 关于 对称.
（1）将图①中的 绕点 逆时针旋转角 ，使 ，得到如图②所示的 ，分别延长 和 交于点 ，则四边形 的形状是 ；
（2）将图①中的 绕点 逆时针旋转角 ，使 ，得到如图③所示的 ，连接 ， ，得到四边形 ，判断四边形 的形状，并说明理由；
（3）如图③）， ， ，将 沿射线 的方向平移 ，得到 ，连接 ， ，使四边形 恰好为正方形，求 值.
【答案】（1）菱形
（2）四边形 是矩形.
理由：如解图①，过点 作 于点 ，
解图①
由旋转的性质，得 ，
∴ ， .
∵ ，∴ .
∴ ，∴ .
同理可证 ，∴ .
∵ ，四边形 是平行四边形.
∵ ， ，∴ ，
∴四边形 是矩形.
（3）如解图②，过点 作 于点 ，
∵ ，∴ .
∴在 中， .
∵ ， ，
∴ ∽ .
∴ ，即 ，∴ .
∵ ， ，∴ .
当四边形 恰好为正方形时， ，
分两种情况：①当点 在边 上时，如解图②，
解图②
.
②当点 在 的延长线上时，如解图③，
解图③
.
综上所述， 的值为 或 .
【解析】【解答】解：（1）∵△ADC和△ABC关于AC对称，
∴DC＝BC，DA＝AB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵BA＝BC，
∴DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∵△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到△AC′D，
∴∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA，
∴AC∥DE，AC′∥BE，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
由旋转可得：AC＝AC′，
∴四边形ACEC′是菱形，
故答案为：菱形；
【分析】（1）由对称的性质得出DC＝BC，DA＝AB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，得出DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，由旋转的性质得出∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA，证出AC∥DE，AC′∥BE，得出四边形ACEC′是平行四边形，由旋转可得：AC＝AC′，即可得出结论；
（2）过点A作AE⊥C′C于点E，由旋转的性质，得AC′＝AC，得出∠CAE＝∠C′AE＝ α＝∠ABC，∠AEC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠BAC得出∠CAE＝∠BCA，证出AE∥BC.同理，AE∥DC′，得出BC∥DC′，证出四边形BCC′D是平行四边形，求出∠BCC'＝90°，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥AC于F，证明△ACE∽△CBF，得出 ，求出 ，由等腰三角形的性质得出CC′＝2CE＝2× ＝ ，当四边形BCC′D′恰好为正方形时， 分两种情况：①C′'在边CC′上时， ；②当点C′'在CC′的延长线上时， .
26．（9分）如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数 的图象相交于A（2，3），B（－3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式 的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得 ABP的面积为10，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A（2，3）在反比例函数 图象上，
∴ ，得m=6，
即 ；
把B（ 3，n）代入 得，
，
∴B( 3， 2)；
把A（2，3）、B（ 3， 2）代入y=kx+b中得
，
解得： ；
∴一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为
（2）解：根据题意，则
不等式 的解集是： 或
（3）解：存在点P使得 ，理由是：
设直线AB与x轴交于点C，
把y=0代入 可得：x= 1，
即C（ 1，0）；
设点P坐标为 ，则
解得： 或 ；
因此，存在在点P使得 ，点P的坐标为（3，0）或（ 5，0）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数图象求解集即可；
（3）先求出 C（ 1，0） ，再利用三角形的面积公式求出 或 ，最后求点的坐标即可。
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