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华师大版九年级上册期末临考提优卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
4．如图，DEBC，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，C和点D，E，F.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，则的长为（ ）．
A． B．8 C．10 D．16
8．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，2)，以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
11．如图，正方形 和正方形 ， 点在边 上，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④点 到直线 和直线 的距离相等．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一元二次方程x2＝2x的解为 .
14．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是 ．
15．我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形中，，，的平分线交边于点，则的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是 ．
17．已知，则 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为
.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由．
20．（6分）如图，在 中， ， 是斜边 上的高， 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 .
（1）求证： .
（2）若 是 的中点，连接 ， ， ，求点 到 的距离.
21．（9分）为了解某校九年级男生200米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 ， ， ， 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1） ； ； .
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角是 ；
（3）学校决定从 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生200米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
22．（9分）正方形 的边长为4， 是 上的一个动点，过点 作 ，交 的延长线于点 ， 交对角线 所在的直线于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）设 ，当 为何值时， 的面积为1；
（3）随着点 在射线 上的运动， 的值是否会发生变化？若不变，请求出 的值，若变化，请说明理由．
23．（9分）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO是否相似？请说明理由．
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF= S四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24．（9分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
25．（9分）在矩形中，，．分别以，边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）如图1，将沿对角线翻折，交于点P，求点P的坐标；
（2）如图2，已知H是上一点，且，于点，求四边形的面积；
（3）如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（9分）如图，在 中， ．点 在边 上， ，以 为圆心， 为半径的弧经过点 ． 是弧 上的一个动点．
（1）求线段 的长；
（2）若 是弧 的中点，连接 ，求 的正切值；
（3）若 平分 ，延长 交 的延长线于点 ，求线段 的长．
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数 学
时间：120分钟 总分：120分
阅卷人 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
得分
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵已是最简不可计算，A不符合题意；
∵，B不符合题意；
∵，C符合题意；
∵，D不符合题意，
故答案为：C
【分析】根据二次根式的混合运算结合题意进行计算即可求解。
2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得x-1≥0，
∴x≥1，
故答案为：C
【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意进行计算即可求解。
3．如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，进而根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所截的三角形与原三角形相似得△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，据此解答.
4．如图，DEBC，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形对应边成比例的性质进行判断.
5．如图， 是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，C和点D，E，F.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例得，再由得出即可求解.
6．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴ ，
∴∠AED=∠B，
∴△EAF∽△BAG，
∴ ，故C不符合题意；
∵，∠BAG=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ ，故A不符合题意；D符合题意；
∴，故B不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据中点先求出，再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
7．如图，在中，，则的长为（ ）．
A． B．8 C．10 D．16
【答案】C
【解析】【解答】∵∥，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴在中，．
故答案为：C．
【分析】先证明，再结合，可得，再根据AB=10再求出AB的长即可。
8．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，
则有AB=1，BC=，AC=，DE=2，EF=，DF=，
∴，
∴△ABC∽△EDF，
∴S△ABC：S△DEF=，
故答案为：B．
【分析】先证明△ABC∽△EDF，再利用相似三角形的性质可得S△ABC：S△DEF=。
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，2)，以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵A（﹣1，2），
∴OA＝，
由旋转的性质可知，OB＝OA＝，
∴B（﹣，0）．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OA的值，再求出OB＝OA＝，最后求点的坐标即可。
10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，
且
解得
且．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式组求解即可。
11．如图，正方形 和正方形 ， 点在边 上，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④点 到直线 和直线 的距离相等．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴∠
∴∠ +∠GAD
∴∠ ，故①符合题意；
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴∠ ， ，
∴∠ ， ，
∴ ，
，即
∴ ，故②符合题意；
∵ ，
∴
∴ ，故③符合题意；
∵
∴∠
∴DG在正方形ABCD的一条对角线上，
∴点 到直线 和直线 的距离相等．故④符合题意，
所以，正确的结论有4个，
故答案为：D．
【分析】根据正方形的性质和相似三角形的性质与判定对每个结论一一判断求解即可。
12．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形。
同理△CAD是等腰三角形。
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）。∴PQ是△ADE的中位线。
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6。
∴PQ=DE=3.故选C.
【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
13．一元二次方程x2＝2x的解为 .
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】【解答】移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2.
【分析】利用因式分解——提公因式法解方程即可.
14．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由表格可得：
，，，
如图所示：作，
，，
∵，
∴与的相似比为，由于表格的限制，可得且此时面积最大，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理得出DF、EF的值，再根据，得出与的相似比为，由于表格的限制，可得且此时面积最大。
15．我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形中，，，的平分线交边于点，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵黄金矩形，
∴宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2，
∴AB=BC=，
∵BE为的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=，
∴DE=AD-AE=2-（）=．
故答案为：．
【分析】由黄金矩形的定义可得AD=BC=2，AB=BC=，再证明是等腰直角三角形，得出AE=AB=，即可得出答案。
16．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是 ．
【答案】1∶3
【解析】【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB=1，OD=3，
∴ ，
∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是1∶3．
故答案为：1∶3
【分析】先求出OB和OD的长，再求出，最后根据位似图形的性质可得：△OAB与△OCD的相似比是1∶3。
17．已知，则 ．
【答案】
【解析】【解答】∴设x=4k，y=5k，
∴，
故答案为：．
【分析】设x=4k，y=5k，再将其代入计算即可。
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为
.
【答案】 或
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1，∠D'AB'＝90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，
∴∠H＝∠AGB'＝∠BGB'＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，
∵tan∠ABD＝
，即
，
设B'G＝3x，BG＝4x，
∴BB'＝a＝5x，
由平移得：DD'＝BB'＝5x，
∴D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，
∴AG＝AB＝BG＝4﹣4x，
∵∠D'AB'＝∠HAD'+∠BAB'＝90°，
∠AD'H+∠HAD'＝90°，
∴∠AD'H＝∠GAB'，
∵∠H＝∠AGB'＝90°，
∴△D'HA∽△AGB'，
∴ ，即
，
∴x＝
，
∴a＝5×
＝
；
②如图2，∠AB'D'＝90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，
∴∠AMB'＝90°，
由平移得：B'C'＝BC＝3，
同理设B'M＝3m，BM＝4m，则BB'＝a＝5m，
∴AM＝4﹣4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'＝90°，∠MAB'+∠AB'M＝90°，
∴∠D'B'C'＝∠MAB'，
∵∠C'＝∠AMB'＝90°，
∴△D'C'B'∽△B'MA，
∴ ，即
，
∴m＝
，
∴a＝5m＝5×
＝
；
综上，a的值是
或
.
故答案为：
或
.
【分析】①当∠D'AB'＝90°时，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，由矩形的性质可得∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，根据∠ABD的正切函数可设B'G＝3x，BG＝4x，则BB'＝a＝5x，由平移得：DD'＝BB'＝5x，则D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，AG＝AB＝BG＝4-4x，证明△D'HA∽△AGB'，然后根据相似三角形的性质求出x，据此可得a的值；②当∠AB'D'＝90°时，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，由平移得：B'C'＝BC＝3，同理设B'M＝3m，BM＝4m，则BB'＝a＝5m，则AM＝4-4m，证明△D'C'B'∽△B'MA，由相似三角形的性质求出m，进而可得a的值.
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共66分）
得分
19．（6分）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长；
（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：设AB=x米，由题意可得： ，
∴ ，
解得： ，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时， ，
∴ ，
答：边AB的长为15米；
（2）解：由（1）可得： ，
化简得： ，
∴ ，
∴羊圈的总面积不能为500平方米．
【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意可得x(80-4x)=300，求出x的值，然后根据墙的最大可用长度为30米对x的值进行取舍；
（2）由（1）可得x(80-4x)=500，求解即可判断.
20．（6分）如图，在 中， ， 是斜边 上的高， 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 .
（1）求证： .
（2）若 是 的中点，连接 ， ， ，求点 到 的距离.
【答案】（1）∵ 是斜边 上的高， 是 的中点，
∴E是Rt△ACD斜边中点.
∴DE=EA.
∴∠A=∠2.
∵∠1=∠2.
∴∠1=∠A.
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A.
∴∠FDC=∠FBD.
∵∠F是公共角.
∴△FBD∽△FDC.
∴ .
∴FD2=FB FC；
（2）∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC，
∴∠3=∠4，
由（1）得∠4=∠1，
∴∠3=∠1，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠5+∠1=90°，
∴DG⊥EF，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点， 是斜边 上的高，
∴DG= ，
∴点 到 的距离为 .
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线得DE=EA，可得∠1=∠A，可推出∠FDC=∠FBD，证明△FBD∽△FDC，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线得DG=CG，则∠3=∠4，根据相似三角形的性质即可得∠4=∠1，可证明∠5+∠1=90°，即DG⊥EF，可得DG的长度点 到 的距离，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解.
21．（9分）为了解某校九年级男生200米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 ， ， ， 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1） ； ； .
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角是 ；
（3）学校决定从 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生200米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
【答案】（1）2；45；20
（2）72°
（3）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，
故 .
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为 人，
， ， ，
故答案为：2，45，20；
（2）扇形统计图中表示 等次的扇形所对的圆心角的度数为 ，
故答案为：72°；
【分析】（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得 的值，再用B、C等次人数除以总人数可得 、 的值；
（2）用 乘以C等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案.
22．（9分）正方形 的边长为4， 是 上的一个动点，过点 作 ，交 的延长线于点 ， 交对角线 所在的直线于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）设 ，当 为何值时， 的面积为1；
（3）随着点 在射线 上的运动， 的值是否会发生变化？若不变，请求出 的值，若变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， =90°，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则FG=x+h，FB=4+x，BE=4－x，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
∴当 =2时， 的面积为1
（3）解：不变，作 ，交 于点 ，连接 ．则 为等腰 ，
∵∠EIC=∠ECI=45°，
∴CE=IE，
∵FA=CE，
∴FA=EI，
∵EI∥FA，
∴∠IEM=∠AFM，∠EIM=∠FAM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出
， =90°， 再证明
， 最后求解即可；
（2）先求出
，再根据三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先证明
， 再证明
， 最后根据相似三角形的性质进行求解即可。
23．（9分）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO是否相似？请说明理由．
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF= S四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴ ，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）解：在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴ ．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EOF．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EOF+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）解：如图，连接AF，
∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE= OE OF= ×1.5t×2t= t2，S△ABE= ×（4﹣1.5t）×3=6﹣ t，
S梯形ABOF= （2t+3）×4=4t+6
∵S△AEF= S四边形ABOF
∴S△FOE+S△ABE= S梯形ABOF，
∴ t2+6﹣ t= （4t+6），即6t2﹣17t+12=0，
解得t= 或t= ．
∴当t= 或t= 时，S△AEF= S四边形ABOF．
【解析】【分析】（1）由 及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．（3）由已知S△AEF= S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE= S梯形ABOF，从而可求出t的值．
24．（9分）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【答案】（1）解：∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2）解：
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）==；
（3）解：∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴=0.95，
解得：x=16．
【解析】【解答】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【分析】此题考查了统计图的综合应用，涉及知识点有利用频率估计概率和概率公式的应用.
25．（9分）在矩形中，，．分别以，边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）如图1，将沿对角线翻折，交于点P，求点P的坐标；
（2）如图2，已知H是上一点，且，于点，求四边形的面积；
（3）如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，
四边形是矩形，
，，∥，
，
，
，
，
设，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
；
（2）解：如图2，
由得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：或或
【解析】【解答】解：如图3，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的解析式是：，
，
，
，
设，
当时，
，
解之得，，（舍去），
当时，，
，
，
当时，
此时垂直平分，
，
，
，
，
当时，
，
，
，，
（舍去），，
综上所述：或或．
【分析】（1）先证，进而可得，设，在中， 利用勾股定理建立方程即可求得点P的坐标；
（2）先根据，计算出BH的长，进而得出CH的长，再证明，根据相似三角形的性质得，求出的面积，由计算即可；
（3）先根据求得BF的长，进而得到点F的坐标，再利用待定系数法求出直线DM的解析式，根据解析式设点M的坐标为，分三种情况讨论，当时，当时，当时，分别建立方程求解即可.
26．（9分）如图，在 中， ．点 在边 上， ，以 为圆心， 为半径的弧经过点 ． 是弧 上的一个动点．
（1）求线段 的长；
（2）若 是弧 的中点，连接 ，求 的正切值；
（3）若 平分 ，延长 交 的延长线于点 ，求线段 的长．
【答案】（1）解：如图1，过点 作 于点 ，
则 ，
∵ ， ，
∴△BHO∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（2）解：如图2，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ 是弧 的中点，
∴ ，
在 中， ，
在 与 中， ，
∴△POE≌△BOH（AAS），
∴ ，
∴ ，
∴ 的正切值为 ．
（3）解：如图3，过点 作 于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ．
过点 作 交 于点 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）过点 作 于点 ，易证△BHO∽△BCA，得出 ，在 中，由勾股定理得出 的长；
（2）连接 交 于点 ，过点 作 于点 E，在 中， 勾股定理求得OH的值，可证出△POE≌△BOH（AAS），得出 ，则 ，即可求出答案；
（3）过点 作 于点 ，可证出 ，设 ，可表示出AD的长，根据，代入 ，解的 ．过点 作 交 于点 ，则 ，即 ，则 ，即可解决问题。
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