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北师大版九年级上册期末真题详解卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．若方程化为一元二次方程的一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．
2．在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2，3，4，5 B．1，3，6，12
C．1.5，2，3.5，4 D．4，5，8，10
3．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
4．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推.已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5． 年一季度，华为某销公营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
7．已知点A（ ， ），B（ ， ）是反比例函数 的图象上的两点，若 ，则有（ ）
A． ＜0＜ B． ＜0＜
C． ＜ ＜0 D． ＜ ＜0.
8．肥城市刘台“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，预计到2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
9．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）.
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
10．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3 为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
12．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为 cm2.
14．如图，P1是反比例函数 (k＞0)在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为(2，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，则A2点的坐标为 ．
15．小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠(即点E、C、A在一直线上)，量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长为
16．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的一个动点，将 沿 对折成 ，则线段 长度的最小值为 ．
17．如果 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是 ．
18．如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图， 中， ， ， ，一动点P从点C出发沿着 方向以 的速度运动，另一动点Q从A出发沿着 边以 的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为 .
（1）若 的面积是 面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为 面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由.
20．（6分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
21．（9分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）小红摸出标有数3的小球的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．
（3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．
22．（9分）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线 交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（9分）如图，一次函数 的图象与 轴交于 点，与 轴交于 点，与反比例函数 的图象交于点 和点 ．
（1）求 ， 的值以及点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 的范围．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形， ，若 、 的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且 .
（1）求 、 的长.
（2）若点E为x轴正半轴上的点，且 ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断 AOE与 AOD是否相似.
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点且 、 为邻边的四边形为菱形？若存在，写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.
26．（9分）在 与 中， ， ， ，连接 ，点 为 的中点，连接 ， 绕着点 旋转.
（1）如图1，当点 落在 的延长线上时， 与 的数量关系是： ；
（2）如图2，当 旋转到点 落在 的延长线上时， 与 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当 时，直接写出 的值.
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北师大版九年级上册期末真题详解卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
阅卷人 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
得分
1．若方程化为一元二次方程的一般形式后不含一次项，则的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，
∵方程化为一元二次方程的一般形式后不含一次项，
∴m-3=0，
∴m=3，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意得到m-3=0，进而即可求解。
2．在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2，3，4，5 B．1，3，6，12
C．1.5，2，3.5，4 D．4，5，8，10
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵2×5≠3×4，∴ 不是成比例线段，故不符合题意；
B、∵3×6≠1×12，∴ 不是成比例线段，故不符合题意；
C、∵2×3.5≠1.5×4，∴ 不是成比例线段，故不符合题意；
D、∵8×5≠10×4，∴ 是成比例线段，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
3．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（ ）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
【答案】C
【解析】【解答】解：设这个小组有 人， n（n-1）=72
故答案为：C.
【分析】设这个小组有 人，则每一个共送出（n-1）张卡片，共送出卡片n（n-1）张，又 全组共送贺年卡72张， 根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子应该相等，从而即可列出方程，求解并检验即可得出答案.
4．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推.已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，得
n+n2+1=111，
解得：n1=-11（舍去），n2=10，
故答案为：B.
【分析】抓住关键的已知条件，一个人发给n个人，n个好友又邀请n个互不相同的好友转发，经过两轮转发后，共有111个人参与了此活动，据此列方程即可。
5． 年一季度，华为某销公营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如果2017年第一季度收入为a，则根据题意2019年第一季度的收入为：a（1+22%）（1+30%），设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，根据题意又可得2019年第一季度收入为： ，此2种方式结果一样，可得：
a（1+22%）（1+30%）= ，即 ，
故答案为：D.
【分析】利用两种方法算出2019年第一季度的收入，因所得结果是一致的，进而得出等式即可．
6．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【答案】B
【解析】【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
当三角形的三边为5，2，2时，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，
故答案为：B．
【分析】先求得方程x2﹣6x+8＝0的根，再根据三角形三边关系判断能否组成三角形，然后可求出三角形的周长。
7．已知点A（ ， ），B（ ， ）是反比例函数 的图象上的两点，若 ，则有（ ）
A． ＜0＜ B． ＜0＜
C． ＜ ＜0 D． ＜ ＜0.
【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数 中a2＋1≥1＞0，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，在第一象限内的函数值都大于0，在第三象限内的函数值都小于0，
∵ ，
∴y1＜0＜y2，
故选：A．
【分析】首先判断出该函数图象在第一、三象限，然后根据 可以解答本题．
8．肥城市刘台“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为20万人次，预计到2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【答案】C
【解析】【解答】根据题意可得方程为： ，故答案为：C．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式即可列出方程即可。
9．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）.
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
A与B正确；
当 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
D正确；
当 时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
C错误．
答案为：C．
【分析】利用两边成比例及其夹角相等或者“两角法"可判别相似，其他“两边成比例及一边的对角相等”不能判定相似.
10．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3 为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故选A．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
11．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【答案】D
【解析】【解答】A、AD⊥BC，不能判断出四边形AEDF是矩形，故A选项不符合题意；
B、BD=CD与四边形AEDF是菱形没有任何关系，故B选项不符合题意；
C、AD垂直平分BC与四边形AEDF是矩形没有任何关系，故C选项不符合题意；
D、∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠BAD=∠ADF.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∴平行四边形AEDF是菱形，
故答案为：D.
【分析】认真审题直接由矩形判断和菱形判定得出结论
12．如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在双曲线的图象上，则该反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，，，
轴，，，
，
将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，
，，，
在中，，
，
设，
①，②，
①②得③，
把③代入①整理得，解得（舍去），，
当时，，
，
把代入得．
∴，
故答案为：D．
【分析】利用A、B、C的坐标及勾股定理求出，由旋转的性质可得，，，在中，利用勾股定理求出OA'，即得A’（0，8），设，可得①，②，联立①②可求出a、b值，即得C'坐标，将其代入中即可求出k值.
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
13．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为 cm2.
【答案】32
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC＝BD＝8cm，AC⊥BD，
∴正方形ABCD的面积＝ ×AC×BD＝32cm2，
故答案为：32.
【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可.
14．如图，P1是反比例函数 (k＞0)在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为(2，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，则A2点的坐标为 ．
【答案】(2 ，0)
【解析】【解答】作P1C⊥OA1，垂足为C，
∵△P1OA1为边长是2的等边三角形，
∴OC＝1，P1C＝2× ＝ ，
∴P1(1， )．
代入y＝ ，得k＝ ，
所以反比例函数的解析式为y＝ ．
作P2D⊥A1A2，垂足为D．
设A1D＝a，
则OD＝2+a，P2D＝ a，
∴P2(2+a， a)．
∵P2(2+a， a)在反比例函数的图象上，
∴代入y＝ ，得(2+a) a＝ ，
化简得a2+2a﹣1＝0
解得：a＝﹣1± ．
∵a＞0，
∴a＝﹣1+ ．∴A1A2＝﹣2+2 ，
∴OA2＝OA1+A1A2＝2 ，
所以点A2的坐标为(2 ，0)．
故答案为：(2 ，0)．
【分析】根据△P1OA1为边长是2的等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，利用等边三角形和勾股定理求出P1的坐标，再将点P1的坐标代入反比例解析式求出k的值，即可得到反比例函数解析式，P2D⊥A1A2，垂足为D，A1D＝a，则OD＝2+a，P2D＝ a，即可得到P2(2+a， a)，再把点P2(2+a， a)代入y＝ ，得(2+a) a＝ ，求出a的值，进而可得A2的坐标。
15．小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠(即点E、C、A在一直线上)，量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长为
【答案】4.5
【解析】【解答】∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴ED：EB=CD：AB，
∴2：6=1.5：AB，
∴AB=4.5米．
答：电线杆AB长为4.5米．
故答案为4.5.
【分析】先证明△ECD∽△EAB，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
16．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的一个动点，将 沿 对折成 ，则线段 长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，连接DF、BD，
由图可知，DF＞BD-BF，
当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4、BC=6，
∴BD= ，
由折叠性质知AB=BF=4，
∴线段DF长度的最小值为BD-BF ，
故答案为： .．
【分析】连接DF、BD，由DF＞BD-BF，当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，再根据矩形和折叠的性质求得BD、BF的长即可。
17．如果 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵m为一元二次方程x2-2x-2=0的一个根．
∴m2-2m-2=0，
即m2-2m=2，
∴2m2-4m-2=2（m2-2m）-2=2×2-2=2．
故答案为：2．
【分析】根据题意求出m2-2m-2=0，再求出m2-2m=2，最后代入计算求解即可。
18．如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】连接PM、PN．
∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．
∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．
在Rt△APM中，AP＝2PM，
在Rt△PNB中，PB＝ PN．
∵AP2+3PB2＝1，
∴（2PM）2+3（ PN）2＝2，
整理得PM2+PN2＝
在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，
所以MN＝ ．
故答案为： ．
【分析】连接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝ PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共66分）
得分
19．（6分）如图， 中， ， ， ，一动点P从点C出发沿着 方向以 的速度运动，另一动点Q从A出发沿着 边以 的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为 .
（1）若 的面积是 面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为 面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由.
【答案】（1）解：由已知，可得
解得
t=2
故当 时 的面积为 面积的 ；
（2）解：当 时，
，
整理得 ，
，
∴此方程没有实数根，
∴ 的面积不可能是 面积的一半.
【解析】【分析】(1)根据三角形面积的关系列出方程求t；
(2) 根据三角形面积的关系列出方程求t.根据根的判别式求解的情况.
20．（6分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
【答案】（1）解：∵关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且a≠0，
即22﹣4a （﹣3）＞0，且a≠0，
∴a＞﹣ 且a≠0；
（2）解：将x＝1代入方程ax2+2x﹣3＝0，
解得：a＝1，
把a＝1代入ax2+2x﹣3＝0，得x2+2x﹣3＝0，
解方程得，x1＝1，x2＝﹣3，
∴a的值为1，方程的另一个实数根为﹣3．
【解析】【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）将x=1代入方程求出a的值，再求方程即可。
21．（9分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）小红摸出标有数3的小球的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果．
（3）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+5图象上的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表或树状图略：
由列表或画树状图可知，P点的坐标可能是(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，3)，
(2，4)(3，1)(3，2)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)共12种情况，
（3）解：共有12种可能的结果，其中在函数y= x+5的图象上的有4种，即(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)
所以点P(x，y)在函数y= x+5图象上的概率= = .
【解析】【解答】解：(1)小红摸出标有数3的小球的概率是 ；
【分析】（1）根据概率公式求解；（2）利用树状图展示所有12种等可能的结果数；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到在函数y=-x+5的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．
22．（9分）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）y=k1x（k1＞0）；y= x（0≤x≤8）；y= （x＞8）
（2）30
（3）解：把y=3代入y= x，得：x=4
把y=3代入y= ，得：x=16
∵16﹣4=12
所以这次消毒是有效的
【解析】【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1= 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y= （k2＞0）代入（8，6）为6=
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y= x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y= （x＞8）
（ 2 ）结合实际，令y= 中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可，可解答。
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x。
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效，可解答。
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线 交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线 ，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组： 得： ，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）解：设D（x， x），
∵△COD的面积为12，
∴ ×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得： ，
∴y=﹣x+6，
答：直线CD的函数表达式是y=﹣x+6．
（3）解：答：存在点Q，如图，
使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或 ．
【解析】【分析】（1）由两函数解析式联立方程，可求出点A的坐标，由直线直线 l 1 的解析式，根据x=0和y=0，建立方程即可求出点B、C的坐标。
（2）已知D是线段OA上的点，可知点D在第一象限，设点D的坐标，根据△COD的面积公式即可求出点D的坐标，再用待定系数法求出直线CD的函数解析式。
（3）要求以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标，分情况讨论，当以OC=6为边时，有两种情况（点Q在第一象限和第四象限）；当以OC为对角线时，根据题意易求出点Q的坐标。
24．（9分）如图，一次函数 的图象与 轴交于 点，与 轴交于 点，与反比例函数 的图象交于点 和点 ．
（1）求 ， 的值以及点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 的范围．
【答案】（1）解：将 分别代入 和
∴ ，
解得 ，
由题意，联立方程组得 ，
解得 或 ，
点坐标为 ；
（2）解： 直线 的图象与 轴交于 点，与 轴交于 点，
， ．
；
（3）解：反比例函数值大于一次函数值即 的解集，
∴反比例函数在一次函数图象的上方，
在交点E的左侧与y轴的右侧，或F点的右侧，
所以反比例函数值大于一次函数值时 的范围 或 ．
【解析】【分析】（1）将E（1，5）分别代入y=-x+b和，解得b=6，k=5，联立方程组，解得 或 ，再结合图象可得点F的坐标；
（2）由直线y=-x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用割补法求即可；
（3）反比例函数值大于一次函数值即的解集，可知反比例函数在一次函数图象的上方，结合图形求解即可。
25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形， ，若 、 的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且 .
（1）求 、 的长.
（2）若点E为x轴正半轴上的点，且 ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断 AOE与 AOD是否相似.
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点且 、 为邻边的四边形为菱形？若存在，写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：方程 ，分解因式得： ，可得： ， ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ， ；
（2）解：
根据题意，设 ，
则 ，
解得： ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴点D的坐标是 ，
设经过D、E两点的直线的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴解析式为 ；
设反比例函数解析式为 ，把 代入得： ，
∴反比例函数解析式为 ；
在 与 中，
， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：根据计算的数据， ，
∵ ，
∴ 平分 ，
分二种情况考虑：
① 、 是邻边，点F在射线 上时， ，
∴点F与B重合，即 ；
② 、 是邻边，点F在射线 上时，M应在直线 上，且 垂直平分 ，根据 ， ，
∴此时点F坐标为 ；
综上所述，满足条件的点有二个： ； .
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，进而可得OA、OB的值；
（2）设E（x，0），根据△AOE的面积公式可得x，据此可得点E的坐标，根据平行四边形的性质可得点D的坐标，然后求出直线DE的解析式以及反比例函数的解析式，接下来利用相似三角形的判定定理进行证明；
（3）易得AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，此时点F与点B重合，据此可得点F的坐标；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，易得点F的坐标.
26．（9分）在 与 中， ， ， ，连接 ，点 为 的中点，连接 ， 绕着点 旋转.
（1）如图1，当点 落在 的延长线上时， 与 的数量关系是： ；
（2）如图2，当 旋转到点 落在 的延长线上时， 与 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当 时，直接写出 的值.
【答案】（1）
（2）解：成立（具有）
证明：
延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：14或 .
过E作EH⊥BC于H，
∴在Rt△ECD中，CE=2 ，
∵∠BCD=105 ，
∴∠HCE=105 -∠DCE=60 ，
∴CH= ，EH= ，
∵BC= ，
∴BH=BC-CH= - ，
∴FD2= ；
延长BC，过E作EG⊥BC于G，
∵∠BCD=105 ，∠DCE=45 ，
∴∠GCE=180 -∠ACD-∠DCE=30 ，
∴GE= ，
∴CG= ，
∴
∴FD2= .
综上所述， 的值为14或 .
【解析】【解答】解：（1）如图：当点 落在 的延长线上时，∠ADE=90 ，
∵点 为 的中点，
∴AF=EF=FD，
∴ ，
∵BC=AC，∠ACB=90 ，CD=DE，∠CDE=90 ，
∴∠DCE=∠DEC=45 ，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90 +45 =135 ，
∴∠ACE=360 -∠ACB-∠BCE=360 -90 -135 =135 =∠BCE，
∵CE=CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）；当点 落在 的延长线上时，∠ADE=90 ，点 为 的中点，直角三角形斜边中线的性质 ，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可；
（2）成立（具有）延长 到点 ，使 ，连接 ，由点 为 的中点，可知 是 的中位线，有结论 ，先证 ，再证 ， 即可；
（3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60 或Rt△CGE，∠GCE=30 ，CH= ，CG= ，利用勾股定理求BE2，再用（1）结论即可.
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