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人教版八年级上册期末逆袭卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于分式方程增根的说法正确的是（ ）
A．使所有的分母的值都为零的解是增根
B．分式方程的解为零就是增根
C．使分子的值为零的解就是增根
D．使最简公分母的值为零的解是增根
3．大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
5．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm
6．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（ ）
（ 1 ）3x3·（－2x2）＝-6x5;（2）4a3b÷（-2a2b）＝-2a;（3）（a3）2＝a5;
( 4）（-a）3÷（-a）＝-a2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边垂直平分线的交点处
C．AC，BC两边中线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
9．如图，中，， 、是边的中线，有；垂足为点交于点．且平分交于．交于．连接．则下列结论：
①；②；③；④；
错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
10．如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则 ．
12．如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是 .
13．计算： ．
14．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴，点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，则PP2的长为 ．
15．若m+n=3，则代数式m2+2mn+n2－6的值为 ．
16．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内任意一点，且OP=7，点E和点F分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PEF周长的最小值是 。
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AB为一边向上作等边三角形 ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接 CE，AE，CD．
（1）判断△CBE的形状，并说明理由；
（2）求证：AE=DC；
（3）若CD与AE相交于点F，CD与AB相交于点G，求∠AFD的度数．
18．（9分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为 手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数重的华为 手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元．
（1）填表∶
销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台）
三月 90000 x
四月 80000
（2）三、四月华为 手机每台售价各为多少元
（3）为了提高利润，该店计划五月购进华为 手机销售，已知华为 每台进价为3500元，华为 每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为 有 台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为 手机再返还顾客现金100元，而华为 按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润
19．（9分）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠B=90°，则线段AB = ， D C= ；
（2）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°．试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（3）如图2，若将（2）中的条件“∠B=90°”去掉，（2）中的结论是否成立？请说明理由．
20．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）在x轴上确定一点P，使BP＋A1P的值最小，直接写出P的坐标为 ；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 个．
21．（9分）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点， ， ， ， ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由：
（3）探究：当 为多少度时， ？
22．（9分）实践与探究
如图1，三角尺ABC和三角尺DEF是两个全等的直角三角尺，其中，∠A=∠D=60°，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°．
（1）操作发现
如图2，将三角尺ABC和三角尺DEF如图摆放，连接CF，交AB于点G，请你证明CG= FG；
（2）在图2的基础上，将三角尺DEF沿BA方向平移至图3的位置，兴趣小组发现CG仍然与FG相等，请你证明CG= FG；
（3）在图3的基础上，将三角尺DEF沿BA方向继续平移，使CF经过点A，如图4所示，兴趣小组测得BD=20.4cm，则三角尺DEF由图2所示位置平移至图4 的位置，平移的距离为 cm（直接写出答案，不写过程）．
23．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
24．（9分）如图， 是边长为10的等边三角形，现有两点P、Q沿如图所示的方向分别从点A、点B同时出发，沿 的边运动，已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的运度为每秒2个单位长度，当点P第一次到达B点时，P、Q同时停止运动．
（1）点P、Q运动几秒后，可得到等边三角形 ？
（2）点P、Q运动几秒后，P、Q两点重合？
（3）当点P、Q在BC边上运动时，能否得到以PQ为底边的等腰 ？如存在，请求出此时P、Q运动的时间．
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人教版八年级上册期末逆袭卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、当c=0时，此时没有意义，故B不符合题意；
C、不一定等于，故C不符合题意；
D、不一定等于，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不会发生改变，据此一一判断得出答案.
2．下列关于分式方程增根的说法正确的是（ ）
A．使所有的分母的值都为零的解是增根
B．分式方程的解为零就是增根
C．使分子的值为零的解就是增根
D．使最简公分母的值为零的解是增根
【答案】D
【解析】【解答】解：分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解．
故答案为：D．
【分析】本题考查了分式方程的增根，使最简公分母的值为零的解是增根．
3．大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，即可得出选项。
4．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
【答案】A
【解析】【解答】利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，得出NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），即可得出QR的长RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）．
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR ，根据线段的数量关系得出NQ=MN-MQ=4-2.5=1.5（cm），进而根据QR=RN+NQ算出答案。
5．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm
【答案】A
【解析】【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm，A符合题意；当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4=8，不满足三角形的三边关系，BCD不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由于此题没有明确的告知谁是底边长，谁是腰长，故需要分①当腰长为8cm时，②当腰长为4cm时两种情况来讨论，然后根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，最后根据三角形的周长计算方法即可算出答案。
6．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（ ）
（ 1 ）3x3·（－2x2）＝-6x5;（2）4a3b÷（-2a2b）＝-2a;（3）（a3）2＝a5;
( 4）（-a）3÷（-a）＝-a2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：3x3·(－2x2)＝－6x5，故（1）正确；
4a3b÷(－2a2b)＝－2a，故（2）正确；
(a3)2＝a6，故（3）错误；
(－a)3÷(－a)＝a2，故（4）错误.
所以，计算正确的有（1）和（2），共2个.
故答案为：B.
【分析】利用单项式除以单项式的法则，可对（1）作出判断；利用单项式除以单项式的法则，可对（2）作出判断；根据幂的乘方法则，可对（3）作出判断；根据同底数幂相除的法则，可对（4）作出判断，综上所述，可得出正确的个数。
7．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是B．
故选B．
【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
8．如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边垂直平分线的交点处
C．AC，BC两边中线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】B
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
9．如图，中，， 、是边的中线，有；垂足为点交于点．且平分交于．交于．连接．则下列结论：
①；②；③；④；
错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于．
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②③符合题意，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①④符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
10．如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：延长EB到G，使BG=FC，连接DG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC= ，
∴∠DCF=∠DBE=90°，
在直角△DCF和直角△DBG中，
，
∴△DCF≌△DBG，
∴DG=DF，∠FDC=∠GDB，
∴∠GDF=∠BDC=120°，
又∵∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°，
在△EDG和△EDF中，
，
∴△EDG≌△EDF，
∴EF=EG=EB+GB=EB+FC，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=8，
故答案为：C.
【分析】延长EB到G，使BG=FC，连接DG，求出∠DCF=∠DBE=90°，根据SAS证△DCF≌△DBG，推出DN＝DF，∠GDB＝∠FDC，求出∠EDG＝∠EDF，根据SAS证△EDG≌△EDF，推出EF＝EG，即可得到BE＋CF＝EF，易得△AEF的周长等于AB＋AC.
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
11．某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵与平行
∴
∵
∴
∵都与地面l平行
∴
∴
故答案为：．
【分析】这道题主要考查平行线的性质；通过两直线平行，内错角相等得出∠ACB = 72°，再算出∠ACD = 130°，又因 AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC = 50°.
12．如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是 .
【答案】80°
【解析】【解答】延长DE交AB于F，
∵AB//CD，DE//BC，
∴∠B+∠C=180°，∠AFD=∠B，
∵∠C=120°，
∴∠AFD=60°，
∵∠AED=∠AFD+∠A，∠A=20°，
∴∠AED=80°，
故答案为80°.
【分析】延长DE交AB于F，根据平行线的性质得到∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，根据三角形的外角的性质即可得到结论.
13．计算： ．
【答案】1
【解析】【解答】
=4-3
=1，
故答案为：1．
【分析】直接利用平方差公式进行展开进行计算即可．
14．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴，点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，则PP2的长为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，
当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称， P(﹣a，0)，
∴P1(a，0)，
又∵P1与P2关于l：直线x=3对称，
设P2(x，0)，可得： ，即 ，
∴P2(6﹣a，0)，
则 ．
故答案为6．
【分析】利用坐标对称原理可作相应地推导.
15．若m+n=3，则代数式m2+2mn+n2－6的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】∵m+n=3，
∴m2+2mn+n2－6=（m+n）2-6=9-6=3，
故答案为：3.
【分析】根据完全平方公式，将m2+2mn+n2改写成 ，然后把已知条件代入即可
16．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内任意一点，且OP=7，点E和点F分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PEF周长的最小值是 。
【答案】7
【解析】【解答】解：过点P作关于OA和OB对称的点D和点C.连接CD，分别交OA和OB于点E和点F，连接OD，OC.
∵点P关于OA的对称点为点D，关于OB的对称点为点C，
∴DE=EP，OD=OP，∠AOD=∠AOP；
∴PF=CF，OP=OC，∠POB=∠BOC。
∴∠COD=60°，且OD=OC
∴三角形OCD为等边三角形
∴CD=△EFP的最小周长=OP=7.
【分析】过点P作关于OA和OB对称的点D和点C.连接CD，分别交OA和OB于点E和点F，连接OD，OC.结合对称的性质，判断三角形OCD为等边三角形，由等边三角形的性质计算得到答案即可。
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共72分）
得分
17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AB为一边向上作等边三角形 ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接 CE，AE，CD．
（1）判断△CBE的形状，并说明理由；
（2）求证：AE=DC；
（3）若CD与AE相交于点F，CD与AB相交于点G，求∠AFD的度数．
【答案】（1）解：△CBE是等边三角形．
理由如下：
∵点E在BC垂直平分线上，
∴EC=EB，
∵EB⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形．
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠DBC=90°，
∵EB⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
由(1)可知：△CBE是等边三角形，
∴EB=CB，
在△ABE与△DBC中，
∴△ABE≌△DBC(SAS)，
∴AE=DC；
（3）解：如图，
∵△ABE≌△DBC，
∴∠EAB=∠CDB，
又∵∠AGC=∠BGD，
∴∠AFD=∠ABD=60°.
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线可得EC=EB，再结合∠CBE=60°，即可得到△CBE是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质可得EB=CB，再利用“SAS”可证明△ABE≌△DBC，最后利用全等三角形的性质可得AE=DC；
（3）利用全等三角形的性质可得∠EAB=∠CDB，再结合∠AGC=∠BGD，即可得到∠AFD=∠ABD=60°。
18．（9分）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为 手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数重的华为 手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元．
（1）填表∶
销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台）
三月 90000 x
四月 80000
（2）三、四月华为 手机每台售价各为多少元
（3）为了提高利润，该店计划五月购进华为 手机销售，已知华为 每台进价为3500元，华为 每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为 有 台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为 手机再返还顾客现金100元，而华为 按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润
【答案】（1）（x-500）；；
（2）解：依题意，得：
解得： ，
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
，
答：三月华为 手机每台售价为 元，
四月华为 手机每台售价为 元；
（3）解：设总利润为 元，
依题意，得∶ ．
答：若将这 台手机全部售出共获得 元利润．
【解析】【解答】解：（1）设三月华为 手机每台售价为 元，
则四月华为 手机每台售价为 元，
三月售出手机 台，四月售出手机 台，
故答案为： ； ； 台；
【分析】（1）设三月华为 手机每台售价为 元，则四月华为 手机每台售价为 元，三月售出手机 台，四月售出手机 台，即可得解；
（2）根据数量=总价÷单价结合三、四月份华为手机的销售量相等，即可得出那样x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（3）设利润为y元，根据总利润=单台利润×销售数量，即可求出获得的总利润。
19．（9分）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠B=90°，则线段AB = ， D C= ；
（2）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°．试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（3）如图2，若将（2）中的条件“∠B=90°”去掉，（2）中的结论是否成立？请说明理由．
【答案】（1）AD；B C
（2）解：AC=AD+AB，
证明：∵对角线AC平分∠BAD．∠DAB=120°，
∴∠CAD=∠CAB=60°
又 ∵∠B+∠D=180°，∠B=90°
∴∠D=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°
∴AD= AC，AB= AC，
∴ AC=AD+AB；
（3）解：成立
证明：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°
∠ACE的另一边交AB延长线于点E
∵∠CAB=60°，
∴△ACE为等边三角形
∴EC= AC ，∠E=60°
又 ∵∠B+∠D=180°，∠DAB=120°，
∴∠B CD=60°．
∴∠ACD=∠ECB=60°—∠B CA．
又 ∵∠CAD=∠E=60°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE
∴AB+ AD =AB+BE= AE
又 ∵△ACE为等边三角形
∴AE= AC
∴AB+ AD = AC．
【解析】【解答】解：（1）∵∠B=90°，∠B+∠D=180°，
∴∠D=90°=∠B，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB = AD，DC= BC；
【分析】（1）先证明△ABC≌△ADC，再利用全等三角形的性质即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质可得 AD= AC，AB= AC，即可得到AC=AD+AB；
（3）以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△ACD≌△ECB即可解决问题。
20．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）在x轴上确定一点P，使BP＋A1P的值最小，直接写出P的坐标为 ；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 个．
【答案】（1）
（2）（0，0）
（3）4
【解析】【解答】解：（3）如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为顶点的等腰三角形有一个，Q为顶点的等腰三角形有一个，共有4个．
故答案为4.
【分析】（1）根据要求做出图形即可；
（2）连接交X轴于点P，点P即可所求；
（3）分三种情况讨论求解即可。
21．（9分）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点， ， ， ， ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由：
（3）探究：当 为多少度时， ？
【答案】（1）证明： ，
，
，
是等边三角形．
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
等边三角形，
，
， ，
，
，
是直角三角形．
（3）解：由（1）（2）得， ， ，
．
若 ，则 ，
，
．
当 为140°是时， ．
【解析】【分析】（1）由以及等边三角形判定方法即可得出结论；
（2）利用可得出，进而求得；
（3）结合(1)(2)得求出，然后根据三角形内角和定理求出，再利用等边对等角即可得出结论。
22．（9分）实践与探究
如图1，三角尺ABC和三角尺DEF是两个全等的直角三角尺，其中，∠A=∠D=60°，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°．
（1）操作发现
如图2，将三角尺ABC和三角尺DEF如图摆放，连接CF，交AB于点G，请你证明CG= FG；
（2）在图2的基础上，将三角尺DEF沿BA方向平移至图3的位置，兴趣小组发现CG仍然与FG相等，请你证明CG= FG；
（3）在图3的基础上，将三角尺DEF沿BA方向继续平移，使CF经过点A，如图4所示，兴趣小组测得BD=20.4cm，则三角尺DEF由图2所示位置平移至图4 的位置，平移的距离为 cm（直接写出答案，不写过程）．
【答案】（1）证明：三角尺ABC和三角尺DEF全等，
∴AC=AF，
∵在△ACG和△AFG中，
，
∴△ACG≌△AFG（SAS），
∴CG= FG；
（2）证明：分别过点C，F作BD的垂线，垂足为M，N，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，∠FDE=∠CAB，
∵CM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠AMC=∠BMC=∠DNF=∠FNE=90°，
在△AMC和△DNF中，
，
∴△AMC≌△DNF，
∴CM=FN，
在△CMG和△FNG中，
，
∴△CMG≌△FNG，
∴CG=FG；
（3）6.8
【解析】【解答】解：（3）由（1）（2）易证AF=AC，
∵△DFE≌△ACB，
∴AC=DF，
∴AF=DF，
∵∠D=60°，∠FED=30°，
∴AD=AF=DF=AE，
∵AB=DE，
∴AD=AE=BE，
∵BD=20.4cm，
∴AD=AE=BE=6.8cm，
∴平移的距离为6.8cm；
故答案为6.8．
【分析】（1）由题意易得AC=AF，进而可证△ACG≌△AFG（SAS），然后问题可证；
（2）分别过点C，F作BD的垂线，垂足为M、N，由题意易得AC=DF，∠FDE=∠CAB，进而可得∠AMC=∠BMC=∠DNF=∠FNE=90°，然后可证明 △AMC≌△DNF，则CM=FN，最后根据△CMG≌△FNG，可求证；
（3）由（1）（2）易得AF=AC，进而可证AD=AE，然后可得AE=BE，最后问题可求解。
23．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBA= ∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE= AB=BE，
∴△BCE是等边三角形；
（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，
∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，
∴∠CBM=∠EBN，
在△CBM和△EBN中，
∴△CBM≌△EBN（SAS），
∴∠BEN=∠BCM=60°，
∴∠BEN=∠EBC，
∴EN∥BC；
（3）解：DQ=AD+DP；理由如下：
延长BD至F，使DF=PD，连接PF，如图所示：
∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF=PD=DF，∠F=60°，
∵∠PDQ=90°-∠A=60°，
∴∠F=∠PDQ=60°，
∴∠BDQ=180°-∠BDC-∠PDQ=60°，
∴∠BPQ=∠BDQ=60°，
∴∠Q=∠PBF，
在△PFB和△PDQ中，
∴△PFB≌△PDQ，
∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∴DQ=AD+DP．
【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠ABC=60°，由角平分线的定义得出∠A=∠DBA，证出AD=BD，由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE= AB=BE，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，证出∠CBM=∠EBN，由SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出结论；（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，证出∠Q=∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出AD=BD，即可得出结论．
24．（9分）如图， 是边长为10的等边三角形，现有两点P、Q沿如图所示的方向分别从点A、点B同时出发，沿 的边运动，已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的运度为每秒2个单位长度，当点P第一次到达B点时，P、Q同时停止运动．
（1）点P、Q运动几秒后，可得到等边三角形 ？
（2）点P、Q运动几秒后，P、Q两点重合？
（3）当点P、Q在BC边上运动时，能否得到以PQ为底边的等腰 ？如存在，请求出此时P、Q运动的时间．
【答案】（1）解：设点P、Q运动t秒后，可得到等边三角形 ，
如图①， ， ，
∵三角形 是等边三角形，
∴ ，解得 ，
∴点P、Q运动 秒后，可得到等边三角形 ．
（2）解：设点P、Q运动x秒后，P、Q两点重合，
，解得： ．
∴点P、Q运动10秒后，P、Q两点重合．
（3）解：当点P、Q在BC边上运动时，可以得到以PQ为底边的等腰三角形．理由如下：
由（2）知10秒时P、Q两点重合，恰好在C处，
如图②，假设 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
设当点P、Q在BC边上运动时，P、Q运动的时间y秒时， 是等腰三角形，
由题意得： ， ，
，
解得：
的最长运动时间为 从 的最长时间为
由 ＜
符合题意，
∴当点P、Q在BC边上运动时，能得到以PQ为底边的等腰三角形，此时P、Q运动的时间为 秒．
【解析】【分析】（1） 设点P、Q运动t秒后，可得到等边三角形 ， 可得AP=t，BQ=2t，AQ=AB-BQ=10-2t，由等边三角形的性质可得AP=AQ，据此建立方程，求出t值即可；
（2）根据点P、Q运动的距离相等建立方程，并求解即可；
（3）当点P、Q在BC边上运动时，可以得到以PQ为底边的等腰三角形，理由；由（2）知10秒时P、Q两点重合，恰好在C处， 如图，证明≌，可得 ， 设当点P、Q在BC边上运动时，P、Q运动的时间y秒时， 是等腰三角形， 可得 ， ，由CP=BQ建立方程，求出y值并检验即可.
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