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人教版九年级上册期末真题模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（-3，-2） D．（-2，-3）
2．某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不透明袋子中装有分别写有“问天”和“梦天”的两个小球（除字样外都相同）．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
5．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．米 B．10米 C．米 D．12米
6．某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元．如果设平均每月的增长率为，依题意得，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列是对方程2x2﹣2x+1＝0实根情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为（ ）
A．8 B．6 C．6 D．6
9．已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线y＝(x-2)2+3的顶点坐标是 .
12．一元二次方程有一根为，则另一个根为 .
13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的不等式的解集为 .
14．如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，，，则的长为 .
15．若点和点都在二次函数的图象上，则当时，函数y的值是 .
16．如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
18．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点 为原点，点 的坐标分别是 .
（1）将 向下平移3个单位后得到 ，请在图中作出 ，点 的坐标为 ；
（2）将 绕点 逆时针旋转90°后得到 ，请在图中作出 ，点 的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段 扫过的图形的面积.
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠BAC.⊙O经过A、B、D三点. 连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，DE与AB交于点F.
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）求证：AB=EB；
（3）若DF=3，EF=7，求BC的长.
20．（9分）如图，已知二次函数 的图象经过点A（-1，0）和点D（5，0）.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C的坐标；
（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.
21．（9分）如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D， ，BE分别交AD、AC于点F、G.
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长.
22．（9分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （结果精确到0.1）；
（2）试估算口袋中黑球有 只，白球有 只；
（3）在（2）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是白球的概率．
23．（9分）为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 元．
24．（9分）如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a．
（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：；
（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值．
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人教版九年级上册期末真题模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（-3，-2） D．（-2，-3）
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A（2，3），
∴A点关于原点对称的点为（-2，-3），
故答案为：D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求点的坐标即可。
2．某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得
，
故答案为：A．
【分析】基本关系： 平均单株盈利的减少量= 每盆每增加株数量， 每盆的盈利= 平均单株盈利×数量，据此列一元二次方程即可。
3．不透明袋子中装有分别写有“问天”和“梦天”的两个小球（除字样外都相同）．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设“问天”为1，“梦天”为2，画树状图如图：
共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，
∴两次都取到写有“问天”的小球的概率为，
故答案为：D．
【分析】画树状图，确定所有等可能的结果的数量和两次都取到写有“问天”的小球的结果的数量，再由概率公式求解即可．
4．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝4.5，则AB的长度为（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接．
为的直径，
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】先求出∠ACB=90°，再根据 ∠CDB＝30°，BC＝4.5， 计算求解即可。
5．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．米 B．10米 C．米 D．12米
【答案】B
【解析】【解答】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故答案为：B．
【分析】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
6．某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元．如果设平均每月的增长率为，依题意得，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意：二月份的月营业额为50×（1+x），
三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，
为50×（1+x）×（1+x），则列出的方程是：50+50（1+x）+50（1+x）2=500．
故答案为：D．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据“ 三月底营业额累计为500万元 ”列出方程50+50（1+x）+50（1+x）2=500即可。
7．下列是对方程2x2﹣2x+1＝0实根情况的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】【解答】∵根的判别式，
∴方程有两个相等的实数根．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为（ ）
A．8 B．6 C．6 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，
的直径垂直于弦，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
，
同理可得：，
为等边三角形，
．
故答案为：D．
【分析】连接，先利用“SAS”证明，可得AD=AC，再利用角的运算求出，，证明出为等边三角形，即可得到。
9．已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
对称轴为：，
，
则，①正确；
，
，②错误；
时，，对称轴为直线，
当时，，
，③错误；
，
，④正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，⑤正确；
正确的结论有①④⑤，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
10．二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：
若，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与轴的交点在轴的下方
C．对称轴是直线
D．若是方程的正数解，则
【答案】D
【解析】【解答】根据表格可知
若，
A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意
B：该函数图象与轴的交点在轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意
C：对称轴是直线，叙述错误，对称轴是直线，不符合题意
D：若是方程的正数解，则，叙述正确，当 时，，有，符合题意
故选：D
【分析】根据表格分析，m=0和m=2时y值相等，对称轴为x=1；x由1增大到4，y值由m减小到 可知对称轴右侧图象递减，图象开口向下；，当x=0时，故 函数图象与轴的交点在轴的上方；由零点定理，函数必有一个交点在对应的x值之间。
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
11．抛物线y＝(x-2)2+3的顶点坐标是 .
【答案】（2，3）
【解析】【解答】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）
【分析】根据y=(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）可求解。
12．一元二次方程有一根为，则另一个根为 .
【答案】x=1
【解析】【解答】解：设是关于x的一元二次方程的两个根.
由韦达定理，得，即，
解得，，
即方程的另一个根为1.
故答案为：1.
【分析】设x1、x2是关于x的一元二次方程的两个根，由根与系数的关系可得-2+x2=-1，求解即可.
13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的不等式的解集为 .
【答案】-2＜x＜1
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式可化为，抛物线与直线
的两个交点坐标分别为，
∴抛物线在直线图象下方所对应的x的取值范围-2＜x＜1，即为不等式的解集.
故答案为：-2＜x＜1.
【分析】不等式ax2-bx-c<0可变形为ax214．如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，，，则的长为 .
【答案】10
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD⊥BC，即∠ODB＝90°，
∴AC∥OD，
∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AC＝4cm，
∵BD＝3cm，
∴OB＝＝5cm，
∴AB＝2OB＝10cm.
故答案为：10.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB＝90°，易得OD是△ABC的中位线，则OD=AC＝4cm，利用勾股定理求出OB，进而可得AB.
15．若点和点都在二次函数的图象上，则当时，函数y的值是 .
【答案】-1
【解析】【解答】∵点和点都在二次函数的图象上，且，
∴A、B两点关于二次函数1的对称轴对称，
∵1得对称轴是x=0，即对称轴是y轴，
∴A、B两点关于y轴对称，
∴= ，即，
当时，函数1= -1.
故答案为：-1.
【分析】由A、B的纵坐标相等及抛物线的对称性，可得A、B两点关于二次函数1的对称轴x=0对称，即得A、B两点关于y轴对称，从而得出，然后将x=0代入抛物线解析式中求出y值即可.
16．如图，菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ．
【答案】或或
【解析】【解答】解：根据题意， 菱形中，
，，
当P在CD上时
当P在BC上时，过P作PHCD于H
设CH=x
解得x=2
当P在AB上，DE=DP，则P与E点重合，不符合题意
当P在AD上时，过过P作PHCD延长线于H
设DH=y
解得y=2
综上，CP的长为或或
故答案为：或或
【分析】 题中点P在菱形的边上 ，并没有指明哪边，P点不唯一，故需要分别讨论；当P在CD上时，可以根据图示直接求得；当P在BC上时，根据给定的45°角想到等腰直角三角形的性质，想到求CP要把它放在直角三角形里面来求，故作辅助线得到等腰直角三角形，由勾股定理可求；当P在AB上，则P与E点重合，不符合题意；当P在AD上时，仍然作辅助线找到等腰直角三角形，借助勾股定理解三角形。
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共72分）
得分
17．（9分）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元．
【解析】【分析】（1）根据利润销量单件利润列出关系式即可求出答案.
（2）将函数关系式化成顶点式，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）把代入关系式即可求出答案.
（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该商品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元．
18．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点 为原点，点 的坐标分别是 .
（1）将 向下平移3个单位后得到 ，请在图中作出 ，点 的坐标为 ；
（2）将 绕点 逆时针旋转90°后得到 ，请在图中作出 ，点 的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段 扫过的图形的面积.
【答案】（1）（1，0）
（2）（-2，3）
（3）解：如图， ， ，
∴线段 扫过的图形的面积
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
如图， 为所作，
∴点 的坐标为（1，0），
故答案为： ；
（2）在（1）图中， 为所作，点 的坐标为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）作出将△AOB向下平移3个单位后图形，得到△A1O1B1，找出点B1的坐标即可；
（2）作出将△AOB绕点O逆时针旋转 后的图形，得到△A2OB2，找出点A2的坐标即可；
（3）在（2）中的旋转过程中，点B经过的路径为弧BB2，求出圆心角与半径，利用扇形面积公式即可求出.
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠BAC.⊙O经过A、B、D三点. 连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，DE与AB交于点F.
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）求证：AB=EB；
（3）若DF=3，EF=7，求BC的长.
【答案】（1）证明：连接OB=OA，
在⊙O中，OB=OD，∠BAC=∠BED，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠DBC=∠BAC，
∴∠DBC=∠BED，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BED=90°，
∴∠OBD+∠DBC=90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）证明：在⊙O中，∠ABD=∠AED，
由（1）得：∠DBC=∠BED，
∴∠ABD+∠DBC=∠AED+∠BED，
∴∠ABC=∠BEA，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACB=180°，
∴AE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=EB；
（3）解：延长BO交AE于H，
由∠HAC=∠ACB=∠OBC=90°，得四边形ACBH是矩形，
∴OH⊥AE，
∴BC=AH= AE，
∵DF=3，EF=7，
∴直径DE=10，
即半径DO=EO=5，
∴OF=2，
∵OB∥AC，
∴△OBF △DAF，
∴ ，即 ，
∴AD= ，
∴在Rt△ADE中，AE= ，
∴BC =AH = AE .
【解析】【分析】（1）连接OB，在⊙O中，由等腰三角形的性质∠ODB=∠OBD，由圆周角的性质得到∠DBC=∠BED，根据圆的切线的判定定理即可得结论；
（2）由圆周角定理∠ABD=∠AED，根据平行线的判定定理得到AE∥BC，得到∠ABC=∠BAE，进而得到∠BEA=∠BAE，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（3）延长BO交AE于H，由矩形的判定证得四边形ACBH是矩形，由垂径定理得到BC=AH= AE，由已知可得直径DE=10，可得DO=EO=5，进而求出OF=2，根据相似三角形的判定的性质可求得AD，根据勾股定理求得AE，即可求得结果.
20．（9分）如图，已知二次函数 的图象经过点A（-1，0）和点D（5，0）.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C的坐标；
（3）点B是该抛物线与y轴的交点，求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）∵二次函数 的图象经过点A（-1，0）和点D（5，0），
∴ ，解得 ，
∴该二次函数的解析式为 ；
（2）∵ ，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，顶点C的坐标为（2，-9）；
（3）如图，连接AB、BC、CD、OC，
令 中x=0，解得y=-5，
∴B（0，-5）
∵A（-1，0）、B（0，-5）、C（2，-9）、D（5，0），
∴OA=1，OB=5，OD=5，
∴四边形ABCD的面积= = .
【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）将函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（3）连接AB、BC、CD、OC，根据解析式求出点B的坐标，再利用面积和的关系求出答案.
21．（9分）如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D， ，BE分别交AD、AC于点F、G.
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长.
【答案】（1）解：结论：△FAG是等腰三角形；
理由：如图1，
为直径， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：（1）中的结论成立；
为直径， ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：由（2）得： ，
，
，
解得： ， ，
，
.
【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到 ， ，从而得到 ，然后利用等弧对等角、等角对等边等知识得到 ，从而证得 ，判定等腰三角形；（2）成立，证明方法同（1）；（3）首先根据上题得到 ，从而利用已知条件得到 ，然后利用勾股定理得到 ， ，从而求得 ，最后求得
22．（9分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （结果精确到0.1）；
（2）试估算口袋中黑球有 只，白球有 只；
（3）在（2）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是白球的概率．
【答案】（1）0.6
（2）2；3
（3）解：由题意，将这5个球依次标记为 ，其中W表示白球，B表示黑球.因此，两次摸球的所有可能的结果有25种，如下表所示：
第一次第二次
它们每一种结果出现的可能性相等
从表中看出，两次摸出的球都是白球的结果有9种，即
故所求的概率为 .
【解析】【解答】（1）统计表中第三行的数据分别为：
因此，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6
故答案为：0.6；（2）由（1）可得摸到白球的概率为0.6，设口袋中白球个数为x个
则 ，解得 ，即口袋中白球个数为3个
黑球的个数为 （个）
故答案为：2，3；
【分析】（1）根据统计表中第三行的数据即可得；（2）用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用概率公式即可求得；（3）先利用列表列出随机摸出两个球的所有可能的结果，再找出摸出两个球都是白球的结果，最后利用概率公式计算即可得.
23．（9分）为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 元．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，
由题意得：，
∴，
∴y与x之间的函数解析式为；
（2）解：设该网店每天的利润为W，
由题意得：，
∵该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，
∴，即，
解得或（舍去），
∴该食品的售价为30元；
（3）35；1350
【解析】【解答】解：（3）∵该食品的日销量不低于90千克，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，
∴当时，W有最大值，最大值为元，
故答案为：35，1350．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设该网店每天的利润为W，根据题意列出函数解析式，再列出方程，最后求出x的值即可；
（3）根据，再利用二次函数的性质求解即可。
24．（9分）如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a．
（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：；
（3）小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值．
【答案】（1）解：∵长为4，宽为2的长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′=CD=4，
在Rt△CED′中，CD′=4，CE=2，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点，BC=4，
∴CG=2，
∴CG=CE．
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，CD′=CD，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；
（3）解：135°，315°
【解析】【解答】（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD．
∵，
∴和为腰相等的两个等腰三角形，
∴当时，，
①当和为钝角三角形时，则旋转角；
②当和为锐角三角形时，，则．
综上可知当旋转角的值为和时．
【分析】（1）先求出∠CD'E=30°，再利用平行线的性质可得∠α=30°；
（2）利用“SAS”证明△GCD′≌△E′CD，再利用全等三角形的性质可得GD′=E′D；
（3）分两种情况：①当和为钝角三角形时，②当和为锐角三角形时，再分别求解即可。
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