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浙教版八年级上册期末冲刺卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，4 B．，，1 C．，， D．6，7，8
3．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（ ）
A．16 B．26 C．34 D．9
4．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点 B．y值随着x值增大而增大
C．它的图象经过第三象限 D．当时，
5．如图，直线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，于，于E，与交于点．有下列结论：
①；②；③点在的平分线上；④点在的中垂线上．以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，，添加一个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题的逆命题一定成立的有（ ）
A．对顶角相等 B．若，则
C．若，则 D．同位角相等，两直线平行
9．如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BE B．∠DOE＝60° C．DE＝DP D．PQ∥AE
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 .
12．三角形的两边长分别为4和6，那么第三边的取值范围是 ．
13．如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为 °．
14．如图，在中，，，，分别在，，上，且，，，则的度数是 ．（用含的代数式表示）
15．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A'B'的长度即可，该做法的依据是 ．
16．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）一农民带了若干千克土豆进城出售，为了方便，他带了一些零用钱备用，按市场价出售一些土豆后，又降价出售，售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用钱）的关系如图．结合图象回答：
（1）农民自带的零钱是 元；
（2）降价前他每千克土豆出售的价格是 元/千克；列出降价前售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用钱）的函数关系式为： ；
（3）降价后他按每千克0.4元将土豆售完，这时他手中的钱（含备用钱）是26元，问他一共带了多少土豆去城里出售？
18．（9分）如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数.
19．（9分）如图，已知直线l：y＝2x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于点A、B.
（1）用含b的代数式表示点A的横坐标为 ；
（2）如果△AOB的面积等于4，求b的值；
（3）如果直线l与一次函数y＝﹣2x﹣1和y＝x+2的图象交于同一点，求b的值.
20．（9分）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品.“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按 折出售，乙商场对一次购物中超过 元后的价格部分打 折.设 （单位：元）表示商品原价， （单位：元）表示在甲商场购物金额， （单位：元）表示在乙商场购物金额.
（1）就两家商场的让利方式分别写出 关于x的函数解析式；
（2）y甲关于x的函数图象如图所示，请在同一直角坐标系中画出 关于x的函数图象；
（3）“五一”期间，如何选择这两家商场去购物更省钱？
21．（9分）如图1，甲、乙两个容器内都装了一定数量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中. 图2中，线段AB、线段CD分别表示容器中的水的深度h（厘米）与倒入时间t（分钟）的函数图象.
（1）请说出点C的纵坐标的实际意义；
（2）经过多长时间，甲、乙两个容器中的水的深度相等？
（3）如果甲容器的底面积为10cm2，求乙容器的底面积.
22．（9分）如图，直线 y＝－x+4 和直线 y＝2x+1 相交于点 A，分别与 y 轴交于 B，C 两点．
（1）求点 A 的坐标；
（2）在 x 轴上有一动点 P（a，0），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y＝－x+4和 y＝2x+1 的图象于点 D，E，若 DE＝6，求 a 的值．
（3）在（2）的条件下，点 Q 为 x 轴负半轴上任意一点，直接写出△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标．
23．（12分）（定义）
如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”.
（1）（理解）
如图（1），在 中， ，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数.
（2）如图（2），已知 是一个顶角为 的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数.
（3）（应用）
小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”.
①你认为直角三角形的 就是它的“二分等腰线”；
②如图（3），在 中， ，请你在图（3）中帮助小丽画出 的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（4）在 中， 和 分别是 的“三分等腰线”，点 在边 上，点 在 边上，且 ，请根据题意写出 度数的所有可能的值 .
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浙教版八年级上册期末冲刺卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：依次对每个汉字进行观察，“爱”“国”“敬” 都找不到一条直线，使图形沿着这条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，而 “业” 字沿着中间一竖对折可以完全重合，所以只有D是轴对称图形.
故选：D．
【分析】对于判断图形是否为轴对称图形，核心是找到一条直线，使得图形沿此直线对折后能够完全重合；在逐一分析选项时，需要在脑海中或者通过简单的画图操作来尝试寻找这样的直线．
2．以下列数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，4 B．，，1 C．，， D．6，7，8
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，则此项不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，则此项能构成直角三角形，符合题意；
C、，，，因为，所以此项不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，则此项不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。
3．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为斜边向外作四个等腰直角三角形，设它们的面积分别为，，，．若，，则为（ ）
A．16 B．26 C．34 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
由题意得、、、都是等腰直角三角形，
在中，，
同理可得，，，，
∵，
∴和都是直角三角形，
∴由勾股定理可得，，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接BD，先求出，，，，再结合，，可得，即，最后求出即可。
4．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点 B．y值随着x值增大而增大
C．它的图象经过第三象限 D．当时，
【答案】D
【解析】【解答】解：A、将时，代入函数解析式得，故图象不经过点（1，0）；
B、因为函数，所以y随x的增大而减小；
C、因为函数解析式与x轴的交点，与y轴的交点，所以可得它的图象不经过第三象限；
D、因为函数经过一、二、四象限，，所以当时，
故答案为：D
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
5．如图，直线，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图
∵
∴
∴
∵，
∴
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得，再结合，，，求出即可。
6．如图，，于，于E，与交于点．有下列结论：
①；②；③点在的平分线上；④点在的中垂线上．以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵于，于E，
∴，
在和中，
，
∴，
故①符合题意；
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
故②符合题意；
∴，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴点在的平分线上；
故③符合题意；
因为无条件下能证明，故不能说明点在的中垂线上．
故④不符合题意；
∴正确的有①②③共3个，
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法和全等三角形的性质逐项判断即可。
7．如图，，添加一个条件不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在与中，
∵，，
∴A、若添加，则两三角形有两边及一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、若添加，则两三角形有两边及其夹角对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、若添加，则两三角形有两角及一角的对边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、若添加，则两三角形有两角及其夹边对应相等，可利用判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项判断即可。
8．下列命题的逆命题一定成立的有（ ）
A．对顶角相等 B．若，则
C．若，则 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】【解答】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，
∵相等的角不一定是对顶角，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
B、若，则的逆命题为若，则，
若，则，a不一定大于b，
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
C、若，则的逆命题为若，则
∵若，则或
∴逆命题不一定成立，不符合题意；
D、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，
逆命题成立，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据逆命题及真命题的定义逐项判断即可。
9．如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】解：延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D=∠ABG=90°.
∵AD=AB，
∴△ADF≌△ABG（HL），
∴AF=AG，∠DFA=∠G，∠DAF=∠BAG.
∵∠EAF=70°，∠BAD=140°，
∴∠DAF+∠EAB=∠DAB-∠EAF=70°，
∴∠GAE=∠EAB+∠BAG=70°，
∴∠EAF=∠GAE=70°.
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA=∠GEA，∠EFA=∠G，EF=EG，
∴EF=BE+DF，∠FAE=∠EAB，∠DFA=∠EFA，即FA平分∠DFE，③正确，④错误，⑤正确.
根据条件不能推出DF=BE，△ADF ≌△ABE ，故①②错误.
综上可得：③⑤正确.
故答案为：C.
【分析】延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，利用HL证明△ADF≌△ABG，得到AF=AG，∠DFA=∠G，∠DAF=∠BAG，由角的和差关系可推出∠EAF=∠GAE=70°，利用SAS证明△FAE≌△GAE，得到∠FEA=∠GEA，∠EFA=∠G，EF=EG，据此判断.
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BE B．∠DOE＝60° C．DE＝DP D．PQ∥AE
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，故选项A不合题意；
∵∠DOE＝∠DAC+∠BEC，
∴∠DOE＝∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°，故选项B不合题意；
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴PC＝CQ，
又∵∠BCD＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACB，
∴PQ∥AE，故选项D不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而根据平角的定义可得∠BCD＝60°，∠ACD＝∠BCE＝120°，用SAS判断出△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，进而得∠DOE＝∠DAC+∠BEC=∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°，用ASA判断出△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得PC=CQ，易得△CPQ是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠CPQ＝∠ACB=60°，进而根据内错角相等两直线平行得PQ∥AE，从而即可一一判断得出答案.
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
得分
11．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 .
【答案】100°
【解析】【解答】∵100°＞90°，∴100°的角是顶角，故答案为：100°.
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断知：等腰三角形的底角不可能是直角和钝角，结合已知即可求解.
12．三角形的两边长分别为4和6，那么第三边的取值范围是 ．
【答案】2＜a＜10
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为4和6，第三边的长为a，
∴根据三角形的三边关系，得：6-4＜a＜6+4，即：2＜a＜10．
故答案为：2＜a＜10．
【分析】利用三角形的三边关系先求出6-4＜a＜6+4，再求解即可。
13．如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为 °．
【答案】126
【解析】【解答】解：连接AD，DE，
设 ，
∵，
∴ ，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，
∴ ，
∴ ，
∵分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：126．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
14．如图，在中，，，，分别在，，上，且，，，则的度数是 ．（用含的代数式表示）
【答案】180° 2α
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
，
∴∠EDF＝∠B＝（180° ∠A）÷2＝90° ∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180° 2α，
故答案为：180° 2α．
【分析】利用SAS先求出△BDF≌△CED，再求出∠EDC＝∠DFB，最后计算求解即可。
15．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A'B'的长度即可，该做法的依据是 ．
【答案】根据SAS证明
【解析】【解答】解：连接，，如图，
点分别是、的中点，
，，
在和中，
，
∴．
．
答：需要测量的长度，即为工件内槽宽．
其依据是根据证明；
故答案为：根据证明．
【分析】利用全等三角形的判定与性质求解即可。
16．如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 ．
【答案】3
【解析】【解答】证明：如图，过C作的延长线于点F，
∵平分，∴，
∵，∴，
在和中， ，
∴（），∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵cm，cm，∴，∴cm，
∴cm．
故答案为：3.
【分析】过C作，证得，得到，再由，根据全等的性质，得到，进而得到答案.
阅卷人 三、综合题（本大题共7小题，共66分）
得分
17．（9分）一农民带了若干千克土豆进城出售，为了方便，他带了一些零用钱备用，按市场价出售一些土豆后，又降价出售，售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用钱）的关系如图．结合图象回答：
（1）农民自带的零钱是 元；
（2）降价前他每千克土豆出售的价格是 元/千克；列出降价前售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用钱）的函数关系式为： ；
（3）降价后他按每千克0.4元将土豆售完，这时他手中的钱（含备用钱）是26元，问他一共带了多少土豆去城里出售？
【答案】（1）5
（2）0.5；y＝0.5x+5
（3）解：30+（26﹣20）÷0.4＝45（千克），
答：他一共带了45千克．土豆去城里出售．
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，
农民自带的零钱是5元，
故答案为：5；（2）降价前他每千克土豆出售的价格是：（20﹣5）÷30＝0.5元/千克，
设降价前售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用钱）的函数关系式为y＝kx+b，
解得： ，
即降价前售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用钱）的函数关系式为y＝0.5x+5，
故答案为：0.5，y＝0.5x+5；
【分析】（1）由图象上的点（0，5），即可得到答案；
（2）设降价前售出土豆的千克数与他手中持有的钱数（含备用钱）的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法，即可得到函数解析式；
（3）根据图象列出算式，即可得到答案.
18．（9分）如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）解：CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°，
∴ CE⊥BD.
（3）解：过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA= ∠DFC=
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD， ∠ACE=∠ABD， 利用三角形的内角和定理可得出 ∠BFO=∠CAB=∠ =90°， 根据垂直的定义即可得出结论；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，根据全等三角形的性质得出 S△AEC=S△ADB，BD=CE，根据等底等高的三角形面积相等得出AM=AN，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AF平分∠DFC，进而可知∠CFA的度数.
19．（9分）如图，已知直线l：y＝2x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于点A、B.
（1）用含b的代数式表示点A的横坐标为 ；
（2）如果△AOB的面积等于4，求b的值；
（3）如果直线l与一次函数y＝﹣2x﹣1和y＝x+2的图象交于同一点，求b的值.
【答案】（1）-
（2）解：由（1）得，OA= (b＞0)
令x=0，则y=b，
∴OB=b
又△AOB的面积等于4
∴
∵b＞0
∴b=4；
（3）解：联立方程组得 ，
解得 ，
即，直线y＝﹣2x﹣1和y＝x+2的图象交点坐标为（-1，1）
又直线l与一次函数y＝﹣2x﹣1和y＝x+2的图象交于同一点，
∴-2+b=1
∴b=3.
【解析】【解答】解：（1）令y=0，则2x+b=0，
∴x=- ；
∴点A的横坐标为：- ，
故答案为：- ；
【分析】（1）令y=0，求出x的值即可；
（2）用b分别表示OA、OB，再利用三角形面积公式根据△AOB的面积等于4列出方程求解即可；
（3）联立方程组 求出y＝﹣2x﹣1和y＝x+2的图象交点坐标，代入直线y＝2x+b，求出b的值即可.
20．（9分）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品.“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按 折出售，乙商场对一次购物中超过 元后的价格部分打 折.设 （单位：元）表示商品原价， （单位：元）表示在甲商场购物金额， （单位：元）表示在乙商场购物金额.
（1）就两家商场的让利方式分别写出 关于x的函数解析式；
（2）y甲关于x的函数图象如图所示，请在同一直角坐标系中画出 关于x的函数图象；
（3）“五一”期间，如何选择这两家商场去购物更省钱？
【答案】（1）解：由题意知：y甲＝ ，
y乙＝ ；
（2）解：图象如下；
（3）解：当甲乙两家商场购物付款相同时， ，
解得： ，
由（2）的图象可知：当 时，去甲商场购物更省钱，
当 时，去甲乙商场购物一样，
当 时，去乙商场购物更省钱.
【解析】【分析】（1）甲商场按原价直接乘以0.8，乙商场分0≤x≤200、x＞200两种情况分别列式即可；
（2）根据（1）中的解析式作图即可；
（3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据图象作出判断即可.
21．（9分）如图1，甲、乙两个容器内都装了一定数量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中. 图2中，线段AB、线段CD分别表示容器中的水的深度h（厘米）与倒入时间t（分钟）的函数图象.
（1）请说出点C的纵坐标的实际意义；
（2）经过多长时间，甲、乙两个容器中的水的深度相等？
（3）如果甲容器的底面积为10cm2，求乙容器的底面积.
【答案】（1）解：点C的纵坐标的实际意义是乙容器中原有的水的深度是5cm；
（2）解：设直线AB的解析式为： ，由图中信息可得： ，解得 ，
∴直线AB的函数关系式为： ；
同理可求得直线CD的函数关系式为： ；
由： ，解得： ，
∴2分钟后，两容器内水得深度相等；
（3）解：∵容器甲的底面积为10cm2，容积甲中原有水的深度为20cm，
∴容器甲中原有的水的体积为10×20=200cm3，
又∵在将甲容器中的水倒入乙容器中后，容器乙中水的深度的增加值为15-5=10cm，
∴容器乙的底面积为200÷10=20 cm2.
【解析】【分析】（1）由题意可知，点C的纵坐标表示乙容器中原有水的深度；
（2）先分别求出直线AB和直线CD的解析式，解由两个解析式组成的方程组，即可得到两容器中水的深度相等的时间；
（3）先由图中信息计算出甲容器内原有水的体积，而根据图中信息可知，将甲容器内的水全部倒入乙容器后，其深度增加了10cm，由此即可计算出乙容器的底面积.
22．（9分）如图，直线 y＝－x+4 和直线 y＝2x+1 相交于点 A，分别与 y 轴交于 B，C 两点．
（1）求点 A 的坐标；
（2）在 x 轴上有一动点 P（a，0），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y＝－x+4和 y＝2x+1 的图象于点 D，E，若 DE＝6，求 a 的值．
（3）在（2）的条件下，点 Q 为 x 轴负半轴上任意一点，直接写出△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得：
，
解之得：
∴A（1，3）
（2）解：∵P（a ，0）
∴D（a，-a+4）E（a，2a+1）
当点 P 在 A 点右侧时，
DE=2a+1-(-a+4)
∵DE=6
∴2a+1-(-a+4)=6
∴a=3
当点 P 在 A 点左侧时，
DE=-a+4-(2a+1)
∵DE=6
∴-a+4-(2a+1)=6
∴a=-1
∴a=3 或 a=-1；
（3）△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标为（3-，0），（-1-，0），（-1-，0）
【解析】【解答】解：（3）设Q（b ，0），
当a=3时， D（3，1），E（3，7），由（2）中图可知此时只能DQ=DE，
∴(b-3)2+1=62，
解得
b1=，b2=（舍去），
∴Q（ ，0）；
当a=-1时， D（-1，5），E（-1，-1），
DQ2=(b+1)2+25，DE2=36，EQ2=(b+1)2+1，
当DQ=DE时，
(b+1)2+25 =36，
解得
b1=，b2=（舍去），
当EQ=DE时，
(b+1)2+1 =36，
解得
b1=，b2=（舍去），
当DQ=EQ时，
(b+1)2+25 = (b+1)2+1，无解．
综上可知，△DEQ 为等腰三角形时 Q 点的坐标为（3-，0），（-1-，0），（-1-，0）．
【分析】（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系可得，再求出x、y的值，即可得到点A的坐标；
（2）分两种情况：①当点P在A点右侧时，②当点P在A点左侧时，再分别画出图象并列出方程求解即可；
（3）分三种情况：①当DQ=DE时，②当EQ=DE时，③当DQ=EQ时，再分别列出方程求解即可。
23．（12分）（定义）
如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”.
（1）（理解）
如图（1），在 中， ，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数.
（2）如图（2），已知 是一个顶角为 的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数.
（3）（应用）
小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”.
①你认为直角三角形的 就是它的“二分等腰线”；
②如图（3），在 中， ，请你在图（3）中帮助小丽画出 的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（4）在 中， 和 分别是 的“三分等腰线”，点 在边 上，点 在 边上，且 ，请根据题意写出 度数的所有可能的值 .
【答案】（1）解：如图（1）所示：
（2）解：如图（2）所示：
（3）解：①斜边上的中线 ；
②作 的垂直平分线，得等腰 ； 作 边上的中线，得等腰 和 . 如图（3）所示，
（4）22°或38°
【解析】【解答】解：（4）如图，当AD=DE时，
∵AD=CD，∠C=33°，
∴∠DAC=∠C=33°，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠B，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∵∠C+∠CAD+∠B=180°，
∴∠C+∠C+2∠B+∠B=180°，即66°+3∠B=180°，
即∠B=38°；
当AD=AE时，
∵AD=CD，∠C=33°，
∴∠DAC=∠C=33°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=66°，
∵DE=BE，
∴∠EDB=∠B，∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=3∠B=66°，即∠B=22°，
综上所述，∠B=22°或38°.
故答案为：22°或38°.
【分析】（1）作CD将∠ACB分成∠ACD=33°，∠DCB=48°，然后理由三角形内角和定理可知∠B=∠CDB=66°正好是等腰三角形；
（2）理由顶角为36°的等腰三角形，底角是72°正好是顶角的2倍这一特点即可作出图形；
（3）①根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得出结论；②作Rt△ABC斜边的垂直平分线，可将它分成一个等腰三角形和一个直角三角形，再结合①中的结论，作直角三角形斜边上的中线即可；
（4）分AD=DE时和AD=AE时两种情况，借助等腰三角形的性质和三角形内角和，外角的性质即可求得∠B.
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