初中数学人教版八年级上册 14.2.1 平方差公式 教学设计

14.2.1 平方差公式 教学设计
教学内容解析
教学流程图
地位与作用
整式的乘法运算是基础的代数初步知识，是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础，也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的知识．平方差公式是整式乘法中的一种特殊情况，也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．平方差公式的学习过程也为后续完全平方公式的学习打下了基础．
概念解析
在整式乘法的运算中，某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，并直接运用公式写出结果．平方差公式是多项式的乘法公式的一种．公式中，字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
思想方法
在公式推导与理解的过程中经历从一般到特殊，从具体到抽象的过程，体会数学中归纳的方法，培养学生的推理能力．结合图形，根据图形的面积解释平方差公式，在体现数形结合思想的同时，对于培养几何直观有着重要的作用．
知识类型
平方差公式是关于原理与规则的知识，在授课过程中要让学生经历引入——本质特征概括——给出公式——辨析公式——应用公式等过程．
教学重难点
本节课的教学重难点：理解平方差公式及其结构特征，并能够正确运用平方差公式解决简单问题．
教学目标解析
教学目标：
1. 能推导乘法公式：；
2. 了解公式的几何背景；
3. 能利用平方差公式进行简单计算．
目标解析：
达成目标1的标志是：知道平方差公式是多项式乘法的一种特殊情况，能归纳出平方差公式，并用文字语言和符号语言表示．
达成目标2的标志是：能结合图形，根据图形的面积解释平方差公式．
达成目标3的标志是：能准确描述平方差公式的结构特征，判断具体算式是否适用平方差公式，并能利用公式进行简单计算．
教学问题诊断分析
具备的基础
本节课是在学习了整式乘法后的进一步学习，学生已经有了较好的运算基础，能够进行一般形式的整式乘法，对多项式乘以多项式也能够灵活运用．
与本课目标的差距分析
本节课研究的是整式乘法的特殊形式，学生需要经历从具体到抽象的过程，并体会平方差公式的结构特征，认识使用公式进行运算的条件．
存在的问题：
对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式子是公式中的“第一个数”a，哪个数或式子相当于公式中的“第二个数”b，可能会有困难．另外，学生缺乏探究公式的一般思路及方法，以及如何借助图形的面积解释平方差公式都是在学习中学生可能会遇到的问题和障碍．
应对策略：
重视对数学抽象这一数学核心素养的培养．获得数学概念和规则是数学抽象的主要表现之一，本节课对平方差公式的探究是由特殊到一般、由具体到抽象的归纳过程，要让学生经历这一过程，并体会数学高度概括、表达准确、结论一般等特点，养成“一般性”思考的习惯，把握事物的本质．
从代数和几何两个角度数形结合的引导学生理解公式的结构特征，在体现数形结合思想的同时，也可以培养学生的几何直观，对于学有余力的同学，可以尝试自己构造图形，借助面积解释平方差公式．
教学难点
本节课的教学难点：平方差公式结构特征的理解，字母广泛含义的理解．
教学过程设计
课前检测
1．计算：
2．计算：
3．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．根据图 1 可以得到的等式是．
设计意图：检测第1、2两题考查学生整式乘法运算的掌握情况，若学生单项式乘以单项式、多项式乘以多项式还存在问题，必须进行适当训练，再进入乘法公式的学习；检测第3题考查学生是否具备几何直观，能够从不同角度列式表示同一个几何图形的面积．
探究活动1
1．温故知新引入新课
问题1：多项式乘多项式的法则是什么？
问题2：计算下列多项式的积
（1）（x+1)(x-1)
（2）(m+2)(m-2)
（3）(2x+1)(2x﹣1)
（4）（1+y)（1﹣y）
（5）(x+4)(x-4)
（6）(2xy+3)(2xy-3)
（7）(3y2+x)(3y2﹣x)
（8）（abc+3）（abc﹣3）
（9）（b2a+10c）（b2a﹣10c）
（10）(m2n3+2m)(m2n3﹣2m)
（11）（x+5y）（x﹣5y）
（12）（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）
师生互动设计：教师出示练习题，学生独立完成，并展示结果．
设计意图：以一组相关联但又有区别的题目为载体，回忆多项式乘法法则，通过计算多个式子，体会整式乘法中的一些特殊结构特征，通过独立完成习题，逐步感受其中的内在规律．
探究活动2
2．观察运算的结构特征
问题3：分组讨论：回顾上面一组练习，你有什么发现？
追问1：观察这组练习的运算结果，有什么特点？与之前所学的多项式乘以多项式的结果有什么不同？你认为是什么原因造成的呢？
师生互动设计：学生分组讨论，能够归纳出参与运算的这些多项式的结构特征，以及运算结果的结构特征，并能有条理地进行表达，这种表达可以是文字叙述也可以是符号表示．若个别组讨论有困难，教师在巡视时可进行适当地引导和追问．
设计意图：学生在进行运算后，借助自己的运算结果进行讨论，揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰．
探究活动3
3．归纳总结形成公式
问题4：经过讨论，同学们用一个等式表达了发现的运算规律，即，请问这个等式一定成立吗？
师生互动设计：让学生认识到规律需要推理证明，教师板书推理过程．
设计意图：从具体到抽象，用字母来表示一类结构特征，体现符号语言的应用．公式的证明，体现数学的严谨性．
探究活动4
问题5：你能够用文字语言来描述公式的含义吗？
师生互动设计：教师引导学生分析公式，理解公式，并板书：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
设计意图：将符号语言转化为文字语言，加深对平方差公式结构特征的理解．
问题6：分组讨论：你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
师生互动设计：学生能够互相启发，从图中分别读出面积为和的图形，并能够分析出这两个图形的面积是相等的，从而说明平方差公式成立．
设计意图：从几何角度数形结合去引导学生理解公式的结构特征，在体现数形结合思想的同时，也可以培养学生的几何直观．
典例精析
4．辨析公式应用公式
【例题1】计算：
（1）；
（2）．
师生互动设计：教师首先引导学生观察算式，明确它们均符合平方差公式的结构特征，因此选择用直接套用公式简化运算．其次分析算式中两个多项式的特征，明确哪项对应公式中的a，哪项对应公式中的b，并进行板书．第三按照公式将其写为的形式，并进一步进行运算．
设计意图：结合例题加深对平方差公式结构特征的理解，同时体会平方差公式适用于某些具有特殊结构特征的整式乘法运算，并且能够达到简化运算的作用．
【练习1】请每一位同学再举出一个符合平方差公式结构特征的运算，不需要计算出结果，然后小组之间交换计算题，考考你的伙伴．
师生互动设计：学生互相出题作答，先观察式子，判断是否可以运用公式计算，作出分析后运用平方差公式解决问题，随后互相批改讨论．教师巡视指导，并寻找正解与典型错例，随后由学生展示并解析．
设计意图：由学生自行出题，发展题目的多样性，并且保证每一位学生都参与到公式的辨析与运用当中，展示正确解题过程以及典型错误示例，让学生分享及讲解，促进学生对公式的理解，对公式结构特征的把握，并且通过纠错环节进行自我反思．
追问：公式中的都可以代表什么呢？
师生互动设计：教师提问，学生思考并作答，即字母可以表示数，式子，可以表示单项式，也可以表示多项式等等．
设计意图：通过追问体会字母广泛的含义．
【例题2】计算：
（1）
（2）
师生互动设计：教师引导学生关注算式的结构特征，选择适当的策略进行运算．
设计意图：进一步体会平方差公式适用于一类具有特殊结构特征的整式的乘法运算，而不具备这种结构特征的仍需按照多项式乘以多项式的法则进行运算，同时平方差公式能为某些能化成形如的数的乘法提供简便运算的依据．
归纳总结
1.本节课学习了哪些内容？
2.平方差公式的结构特征是什么？
3.应用平方差公式时要注意些什么？
师生互动设计：教师引导学生对上述问题进行反思，回顾本节课内容．
设计意图：课堂小结，总结当堂所学，从知识与方法等不同角度进行分析，再次深入思考，促进对平方差公式的理解．
目标检测设计
一、选择题
1．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列计算中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
3．（-1-3x）(_________)=1-9x
4．若三角形的底边长为2a+1,高为2a-1,则此三角形的面积为___________．
三、解答题
5．某学校有一个边长米的正方形草坪，经统一规划后，南北向缩短3米，而东西向要加长3米，改造后的长方形草坪与改造前相比面积有没有发生变化 如果没发生变化，请说明原因；如果发生了变化，请计算出变化的面积是多少平方米.