广东省台山市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

广东省台山市第一中学 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + 1 = 0的倾斜角是( )
3
A. B. C. D.
6 4 3 4
2.已知 ， 是两个不重合的平面，且直线 ⊥ ，则“ ⊥ ”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知一组数据：2，5，7， ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为( )
A. 7 B. 6.5 C. 6 D. 5.5
4.直线 1： + 2025 = 0， 2：(3 2) + 2 = 0，若 1 ⊥ 2，则实数 的值为( )
1
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1
3
5.已知点 (1,2,3)，平面 = { | = 0}，其中 = (2, 1,2)，则点 ( 1,0,1)到平面 的距离是( )
5 7
A. B. C. 2 D. 3
3 3
2 2
6.已知点 是椭圆 + = 1上一动点， 是圆( + 3)2 + 2 = 1上一动点，点 (6,4)，则| | | |的最
25 16
大值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2
7.已知正三角形 的边长为1， 在平面 内，若向量 满足 4 + 3 = 0，则| |的最大
值为( )
A. √ 3 + 1 B. √ 3 1 C. 2 D. 3
8.如图，在四棱锥 中， 是正方形 的中心， ⊥底面 ，
= √ 5， = 2，则四棱锥 内切球的体积为( )
√ 3
A.
54
4√ 3
B.
27
11√ 3
C.
27
125√ 3
D.
54
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体 被抽到的概率是0.2
B. 已知一组数据1，2， ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D. 若样本数据 1， 2，…， 10的标准差为8，则数据2 1 1，2 2 1，…，2 10 1的标准差为16
10.抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件 ，“第二次向上的点数是奇数”为事件 ，“两
次向上的点数之和能被3整除”为事件 ，则下列说法正确的是( )
1
A. 事件 与事件 互为对立事件 B. ( ) =
6
5
C. ( ∪ ) = D. 事件 与事件 相互不独立
12
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1，线段 1 1上有两个动点 ，
，且 √ 2 = ，则下列结论中正确的有( )
2
A. 当 点运动时， 1 ⊥ 总成立
B. 当 向 1运动时，二面角 逐渐变小
C. 二面角 的最小值为45°
D. 三棱锥 的体积为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.两直线3 + 3 = 0与6 + 1 = 0平行，则它们之间的距离为______．
13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比
赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，
且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．
14.在平面直角坐标系中，已知圆 ： 2 + 2 + 2 = 1，直线 ：2 3 = 0，过 上一点 作圆 的切线，
切点为 ，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面直角坐标系中，圆 ： 2 + 2 = 8，点 ( 4,2)，
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(1)若 是圆 上的动点，线段 的中点为 ，求 的轨迹方程；
(2)以 为直径的圆交圆 于 ， 两点，求| |．
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，底面是等腰三角形，∠ = 120°， = = 1， ， 分别是棱
， 1 1的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求直线 与平面 1 1 所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在
160 到184 之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组
[180,184]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率估计概率．
(1)若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
(2)试估计该校高一年级全体男生身高的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)与中位数；
(3)现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ，∠ = 90°，平面 ⊥底面 ， 为
1
的中点， 是棱 上的点， = = 2， = = 1， = √ 3．
2
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(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)设 = ，若二面角 的平面角的大小为30°，试确定 的值．
19.(本小题17分)
定义： 是圆 上一动点， 是圆 外一点，记| |的最大值为 ，| |的最小值为 ，若 = 2 ，则称 为
圆 的“黄金点”；若 同时是圆 和圆 的“黄金点”，则称 为圆“ ”的“钻石点”.已知圆 ：( +
2 11) + ( + 1)2 = ， 为圆 的“黄金点”
3
(1)求点 所在曲线的方程．
(2)已知圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 1， ， 均为圆“ ”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线 的方程．
1
(ⅱ)若圆 是以线段 为直径的圆，直线 ： = + 与圆 交于 ， 两点，对于任意的实数 ，在 轴上是
3
否存在一点 ，使得 轴平分∠ ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 10
12.【答案】
4
13.【答案】0.18
14.【答案】3
15.【答案】解：(1)设 ( , )， ( 0, 0)，

= 0
4
= 2 + 4
根据 为 中点，可得{ 2 0 0+2
，整理得{ ，
= 0 = 2 2
2
将 (2 + 4,2 2)代入圆 方程，可得(2 + 4)2 + (2 2)2 = 8，
化简得( + 2)2 + ( 1)2 = 2，即为点 的轨迹方程．
综上所述，动点 的轨迹方程为( + 2)2 + ( 1)2 = 2；
(2)如图所示：
的中点坐标为( 2,1)，且| | = √ 16 + 4 = 2√ 5，
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可得以 为直径的圆的方程为( + 2)2 + ( 1)2 = 5，即 2 + 2 + 4 2 = 0．
圆 2 + 2 + 4 2 = 0的圆心为( 2,1)，半径 = √ 5，
圆 2 + 2 = 8的圆心为(0,0)，半径 = 2√ 2．
两圆的圆心距 = √ 4 + 1 = √ 5， + = 2√ 2 + √ 5，| | = 2√ 2 √ 5，
因为2√ 2 √ 5 < √ 5 < 2√ 2 + √ 5，所以两圆相交．
将两圆方程相减，整理得2 + 4 = 0，即为直线 的方程．
4 4√ 5
因为圆心 到直线 的距离 1 = = ，圆 的半径 = 2√ 2， √ 4+1 5
所以 4√ 5 4√ 30| | = 2√ 2 21 = 2√ (2√ 2)
2 ( )2 = ．
5 5
16.【答案】(1)证明：在直三棱柱 1 1 1中， = ，∠ = 120°，取 中点 ，连接 ，
则 ⊥ ，过点 作 // 1，由 1 ⊥平面 ，得 ⊥平面 ，
则直线 ， ， 两两垂直，以点 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设 = 2，则 √ 3 1 (0,0,0), ( √ 3, 0,0), (0,1,0), 1(0,1,2), ( , , 2)， 2 2
则 √ 3 1 = ( , , 2)， = (√ 3, 1,0)，
2 2 1
= (√ 3, 1,2)，
设平面 1 1的法向量 = ( , , )，
= 0 √ 3 + = 0
则{ ，即{ ，
1 = 0 √ 3 + + 2 = 0
取 = 1，得 = (1, √ 3, 0)，
于是 √ 3 √ 3 = + 0 = 0，
2 2
即 ⊥ ， //平面 1 1，又 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(2)解：由(1)知 (0,1,0)， 1( √ 3, 0,2)， 1(√ 3, 0,2)，
则 1 = ( √ 3, 1,2)， 1 1 = (2√ 3, 0,0)，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
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1 = 0 √ 3 + 2 = 0则{ ，即{ ，
1 1 = 0 2√ 3 = 0
取 = 1，得 = (0,2,1)，
√ 3 1
又 = ( , , 2)，
2 2
设直线 与平面 1 1 所成的角为 ，
| | 3 3
则 = |cos , | = = = ，
| || | √ 5×√ 5 5
3
所以直线 与平面 1 1 所成的角的正弦值为 ． 5
17.【答案】解：(1)学校要从中选1名男生担任足球队长，
由频率分布直方图得被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率：
= (0.02 + 0.01) × 4 = 0.12．
(2)估计该校高一年级全体男生身高的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)为：

= 162 × 0.05 × 4 + 166 × 0.07 × 4 + 170 × 0.08 × 4 + 174 × 0.02 × 4 + 178 × 0.02 × 4 + 182 × 0.01 ×
4 = 168.72．
由频率分布直方图得[160,168)的频率为：
(0.05 + 0.07) × 4 = 0.48，
[168,172)的频率为：0.08 × 4 = 0.32，
0.5 0.48
∴中位数为：168 + × 4 = 168.25．
0.32
(3)第5组有：0.02 × 4 × 50 = 4名男生，
第6组有：0.01 × 4 × 50 = 2名男生，
现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，
基本事件部数 = 26 = 15，
选取的两人中最多有1名男生来自第5组包含的基本事件个数：
= 14
1
2 +
2
2 = 9，
9 3
∴选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率 = = = ．
15 5
1
18.【答案】(1)求证：∵ // ， = ， 为 的中点，
2
∴四边形 为平行四边形，∴ // ．
∵ ∠ = 90°，∴ ∠ = 90°，即 ⊥ ．
又∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面
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，
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ；
(2)解：∵ = ， 为 的中点，∴ ⊥ ．
∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ．
如图，以 为原点建立空间直角坐标系．
则面 的法向量为 = (0,0,1)；
(0,0,0)， (0,0,√ 3)， (0,√ 3, 0)， ( 1, √ 3, 0).
设 ( , , )，则 = ( , , √ 3)， = ( 1 , √ 3 , )，
= ( 1 )
∵ = ，∴ = ，则{ = (√ 3 ) ，
√ 3 = ( )
即 √ 3 √ 3 = , = , = ，
1+ 1+ 1+
在平面 中，
√ 3 √ 3
= (0,√ 3, 0)， = ( , , )，
1+ 1+ 1+
= 0
设平面 的一个法向量 = ( , , )，由{ ，
= 0
√ 3 = 0
{ √ 3 √ 3 ，取 = ，得 = √ 3．
+ + = 0
1+ 1+ 1+
∴平面 法向量为 = (√ 3, 0, )．
√ 3
∵二面角 为30°，∴ 30° = = =| || | 2 ，
√ 3+0+ 2
解得 = 3．
19.【答案】解：(1)由题，点 为圆 的“黄金点”，
所以 √ 3 √ 3| | + = 2(| | )，
3 3
解得| | = √ 3，
故点 的轨迹是以 ( 1, 1)为圆心，√ 3为半径的圆，
所以点 所在曲线的方程为( + 1)2 + ( + 1)2 = 3；
(2)(ⅰ)由题有，| | + 1 = 2(| | 1)，
则| | = 3，即点 在圆( 2)2 + ( 2)2 = 9上，
所以 是圆( + 1)2 + ( + 1)2 = 3和( 2)2 + ( 2)2 = 9的交点，
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因为 ， 均为圆“ ”的“钻石点”，
所以直线 即为圆( + 1)2 + ( + 1)2 = 3和( 2)2 + ( 2)2 = 9的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得 + = 0，
所以直线 的方程为 + = 0；
( )由题( + 1)2 + ( + 1)2 = 3的圆心为 ( 1, 1)，半径为√ 3，
( 2)2 + ( 2)2 = 9的圆心为 (2,2)，半径为3，
所以直线 的方程为 = ，得 的中点坐标为(0,0)，
2
点 到直线 + = 0的距离为 = √ 2，
√ 2
则| | = √ (√ 3)2 (√ 2)2 = 1，所以圆 的方程为
2 + 2 = 1，
2
假设 轴上存在点 (0, )满足题意，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 2 ≠ 0．
整理得 2( 1 ) + 1( 2 ) = 0．
1 1
又 1 = 1 + , 2 = 2 + ，所以代入上式可得 3 3
1
整理得2 1 2 + ( )( 3 1 + 2) = 0①
，
1
= +
由{ 3 ，
2 + 2 = 1
2 8
可得( 2 + 1) 2 + = 0，
3 9
2 8

所以 1 + 2 =
3 9 ，
2 , 1 2 = 2
+1 +1
2
代入①并整理得 2 + = 0，
3
此式对任意的 都成立，所以 = 3．
故 轴上存在点 (0,3)，使得 轴平分∠ ．
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