人教版九年级数学下名师点拨与训练第28章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用2（含解析）

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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用2
学习目标：
1 熟练掌握解直角三角形的方法；
2 能灵活运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图形计算问题.
老师告诉你
通过解直角三角形解决实际问题的一般步骤：
一审：审清题意，分清已知未知；
二构：根据题意，画出图形，并构造要求解的三角形，对非直角三角形通过作辅助线构造直角三角形；
三选：将题中的已知角、线段长转变为直角三角形中的元素，选择恰当的元素间的关系式，解直角三角形；
四答：按照题中要求给出答案，注明单位。
知识点拨
知识点1、 解直角三角形
已知斜边求直边，正弦余弦很方便，已知直边求直边，理所当然用正切。
已知两边求一边，勾股定理最方便，已知两边求一角，函数关系要牢记。
已知锐角求锐角，互余关系不能少，已知直边求斜边，用除还需正余弦。
【新知导学】
例1-1．风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年的历史.正值春日，周末小明姐弟俩在父母的陪同下来到一片宽广的场所放风筝.小明(A)与姐姐(B)一前一后在水平地面AD上放风筝，结果风筝在空中C处纠缠在一起，如图所示，测得，，且小明与姐姐之间的距离m，求此时风筝C处距离地面的高度.(参考数据：，结果保留一位小数)
例1-2．将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿EF方向平移至正方形的位置（此时点与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.已知，，过点F作于点H，米，米.
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点所经过的路程.
.
【对应导练】
1．手机放在手机支架上的侧面示意图如图所示,是长度不变的活动片,一端A固定在上,另一端B可在上变动位置,若将变到的位置,则旋转一定角度到达的位置.已知,则点到的距离为( )
A. B. C. D.
2．如图，要在宽为22 m的公路AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应该设计为( )
A. B. C. D.
知识点2、 仰角、俯角的实际问题：
在视线与水平线所成的角中规定：1)视线在水平线上方的叫做仰角，2)视线在水平线下方的叫做俯角.
【新知导学】
例2-1．无人机具有时效性强、机动性好、方便灵活、巡查范围广等优点，在城市管理中起到非常重要的补充作用.某城市用无人机进行空中巡航，以加强重点水域的巡逻防控，有效防范溺水风险，及时挽救溺水生命.如图，无人机在湖岸救援站A处起飞，到点A的正上方B处测得湖中点E（游船）的俯角为，无人机继续向正上方飞行到点C，再向右沿水平方向飞行到点D，此时测得点E的俯角为.已知，.
（1）求救援站点A到湖中点E的距离（结果保留根号）.
（2）若无人机探测到E处有人求救，同时将信号传回救援站，救援站立刻安排救援船和救援人员出发营救.已知救援船的平均速度是，问救援人员能否在内从救援站A到达E处开展营救？（，）
例2-2．清风阁(如图1)位于合肥市包公园内,是1999年为纪念包拯诞辰1000周年,弘扬包公精神,宣传安徽悠久历史文化而建造的.如图2,为了测量清风阁的高度(),菲菲站在清风阁附近的水平地面上的点C处,利用无人机进行测量,但由于周边树木遮挡,无法操控无人机直接飞到阁顶A处进行测量,因此她先控制无人机从点C与地面成向远离清风阁的方向匀速飞行5秒到达空中O点处,再调整飞行方向,继续匀速飞行7秒到达阁顶A(A,B,O,C在同一平面内),已知无人机的速度为6米/秒,,求清风阁AB的高度.(结果精确到1m,参考数据：,).
【对应导练】
1．如图，两座建筑物与，其中的高为120米，从的顶点A测得顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离为多少米？(结果保留根号)
2．在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业.如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为.已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度.(结果保留根号)
二、题型训练
1.解直角三角形
1．淋浴花洒的支架OA安装在墙壁上，且可以上下旋转，花洒臂BC与OA垂直.已知支架，，花洒臂，支架支点O与地面的距离.如图①，当旋转支架OA，使点C与墙面接触时，花洒顶部B距离地面最低.
（1）花洒顶部B距离地面的最低高度为___________cm；
（2）如图②，当支架OA与墙壁的夹角为时，花洒顶部B到地面的距离约为___________cm.（结果精确到，参考数据：，，）
.
2．图①是一款可调节椅背的沙发椅,它可以减轻使用者的脊椎压力.图②是它的侧面示意图,椅背,将椅背角度从调节到(即,)时,分别过点C、D作于点E,于点F,求水平方向增加的距离长.(结果精确到；参考数据：,,,)
2.利用俯角、仰角解三角形
3．交城县教育局为了丰富春节期间群众的文化生活,营造节日喜庆氛围,宣传教育新形象,特在卦山公园举办花灯展,并在公园的门口搭建了一座门楼(如图).某校“综合与实践”活动小组的同学们为了测量门楼的高度,设计了如下方案：
课题 测量门楼的高度
测量工具 无人机
测量示意图 说明：表示门楼,点A表示门楼的顶部,点B表示门楼的底部.点C,D为无人机两次测量的位置,米,点C,D在同一水平直线上,点A,B,C,D均在同一竖直平面内,与水平面垂直.
测量数据 从D处观测B处的俯角 从C处观测B处的俯角 从C处观测A处的俯角
…… ……
请你结合以上数据,帮助该小组的同学求出门楼的高度.(结果精确到米.参考数据：)
4．县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量.已知楼房前有一斜坡，它的坡度.他们先在坡面D处测量楼房顶部A的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至E处，再次测量楼房顶部A的仰角，并测量了C、E之间的距离，最后测量了坡面C、D之间的距离.为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果(测角仪高度忽略不计)，如下表：
项目 内容
课题 测量学校附近楼房的高度
测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数 30.2° 29.8° 30°
仰角的度数 60.1° 59.9° 60°
C、E之间的距离 5.1米 4.9米 5米
C、D之间的距离 9.8米 10.2米
… …
任务一：两次测量C、D之间的距离的平均值是________米；
任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房的高.(结果精确到0.1米.参考数据：，)
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A. B. C. D.
2．如图，从点A观测点D的仰角是( )
A. B. C. D.
3．在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为( )米
A. B. C. D.
4．某火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得A、Q的距离是米，仰角为，此时火箭A的高度是( )
A.米 B.米 C.米 D.米
5．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木(如图)，固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为( )
A. B. C. D.
6．如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.65°
7．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）( )
A.米 B.25米 C.米 D.50米
8．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角，楼高米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.则斜坡CD的长度为( ).
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端C处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米.（参考数据：，，，）
10．如图,从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为,看这栋楼底部C的俯角β为,无人机与楼的水平距离为,则这栋楼的高度为________m.
11．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，则支架的长为_______cm.（结果精确到lcm，参考数据：，，）
12．如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
（2）量得测角仪的高度米；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，
旗杆的高度可表示为__________.
13．如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为,看这栋高楼底部C的俯角为,热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为_________米.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是.测得斜坡的倾斜角是，求斜坡上相邻两树间的坡面距离（结果保留小数点后一位）.
15．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角.求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）.
16．在一次数学综合实践活动中,某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度.如图,在点A处测得山顶E的仰角为,向山的方向前进,在点C处测得山顶E的仰角为,已知观测点A,C到地面的距离,.求小山的高度(精确到).(参考数据：,,,)
17．如图,某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪,经测量,,,已知米,米.求两栋楼楼顶A,C之间的距离.(参考数据：,,,测角仪的高度忽略不计).
18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°.
(1)求的度数；
(2)求该铁塔PC的高度.(结果精确到0.1米；参考数据：，)
19．如图，小睿为测量公园的一凉亭的高度，他先在水平地面点E处用高的测角仪测得顶部A的仰角为，然后沿方向向前走到达点G处，在点G处用高的测角仪测得顶部A的仰角为.求凉亭的高度（，结果精确到）.
（参考数据：，，，，，）
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用2
学习目标：
1 熟练掌握解直角三角形的方法；
2 能灵活运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图形计算问题.
老师告诉你
通过解直角三角形解决实际问题的一般步骤：
一审：审清题意，分清已知未知；
二构：根据题意，画出图形，并构造要求解的三角形，对非直角三角形通过作辅助线构造直角三角形；
三选：将题中的已知角、线段长转变为直角三角形中的元素，选择恰当的元素间的关系式，解直角三角形；
四答：按照题中要求给出答案，注明单位。
一、知识点拨
知识点1、 解直角三角形
已知斜边求直边，正弦余弦很方便，已知直边求直边，理所当然用正切。
已知两边求一边，勾股定理最方便，已知两边求一角，函数关系要牢记。
已知锐角求锐角，互余关系不能少，已知直边求斜边，用除还需正余弦。
【新知导学】
例1-1．风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年的历史.正值春日，周末小明姐弟俩在父母的陪同下来到一片宽广的场所放风筝.小明(A)与姐姐(B)一前一后在水平地面AD上放风筝，结果风筝在空中C处纠缠在一起，如图所示，测得，，且小明与姐姐之间的距离m，求此时风筝C处距离地面的高度.(参考数据：，结果保留一位小数)
答案：见解析
解析：过点C作，垂足为E，
是的一个外角，
，
，，
，
(米)，
在中，，
8(米)，
此时风筝C处距离地面的高度为13.9米
例1-2．将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿EF方向平移至正方形的位置（此时点与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.已知，，过点F作于点H，米，米.
（1）求线段FG的长度；
（2）求在此过程中点A运动至点所经过的路程.
答案：（1）米
（2）点A运动至点所经过的路程为4米
解析：（1），
.
，
.
米.
（2）米，米，
（米）.
，米，
点A运动至点所经过的路程为（米）.
【对应导练】
1．手机放在手机支架上的侧面示意图如图所示,是长度不变的活动片,一端A固定在上,另一端B可在上变动位置,若将变到的位置,则旋转一定角度到达的位置.已知,则点到的距离为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
在中,,
.
如图，过点B'作于点P.
在中,,
.故选D.
2．如图，要在宽为22 m的公路AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应该设计为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如图，延长OD，BC交于点P.
易知，，，，
在中，，
.
，，
.
.
.
.
知识点2、 仰角、俯角的实际问题：
在视线与水平线所成的角中规定：1)视线在水平线上方的叫做仰角，2)视线在水平线下方的叫做俯角.
【新知导学】
例2-1．无人机具有时效性强、机动性好、方便灵活、巡查范围广等优点，在城市管理中起到非常重要的补充作用.某城市用无人机进行空中巡航，以加强重点水域的巡逻防控，有效防范溺水风险，及时挽救溺水生命.如图，无人机在湖岸救援站A处起飞，到点A的正上方B处测得湖中点E（游船）的俯角为，无人机继续向正上方飞行到点C，再向右沿水平方向飞行到点D，此时测得点E的俯角为.已知，.
（1）求救援站点A到湖中点E的距离（结果保留根号）.
（2）若无人机探测到E处有人求救，同时将信号传回救援站，救援站立刻安排救援船和救援人员出发营救.已知救援船的平均速度是，问救援人员能否在内从救援站A到达E处开展营救？（，）
答案：（1）
（2）能
解析：（1）如图，连接BD，分别延长ED，AC交于点F.
由题意可知，，，，为等腰直角三角形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，.
，
，.
在中，，
.
在中，.
救援站点A到湖中点E的距离为.
（2）由（1），得.
，，
救援人员能在内从救援站A到达E处开展营救.
例2-2．清风阁(如图1)位于合肥市包公园内,是1999年为纪念包拯诞辰1000周年,弘扬包公精神,宣传安徽悠久历史文化而建造的.如图2,为了测量清风阁的高度(),菲菲站在清风阁附近的水平地面上的点C处,利用无人机进行测量,但由于周边树木遮挡,无法操控无人机直接飞到阁顶A处进行测量,因此她先控制无人机从点C与地面成向远离清风阁的方向匀速飞行5秒到达空中O点处,再调整飞行方向,继续匀速飞行7秒到达阁顶A(A,B,O,C在同一平面内),已知无人机的速度为6米/秒,,求清风阁AB的高度.(结果精确到1m,参考数据：,).
答案：42米
解析：如图,过点O作,交的延长线于点D,过点O作,垂足为E.
由题意得：(米),(米),,,
∴,
∵,
∴,
在中,(米),
在中,(米),
∴(米),
答：清风阁的高度约为42米.
【对应导练】
1．如图，两座建筑物与，其中的高为120米，从的顶点A测得顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离为多少米？(结果保留根号)
答案：两座建筑物的地面距离为米
解析：作于E，
则四边形为矩形，
∴，
设，
在中，，
则，
∵，
∴，
由题意得，，即，
解得，，
∴，
∴，
答：两座建筑物的地面距离为米.
2．在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业.如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为.已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度.(结果保留根号)
答案：米
解析：根据题意可得：，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴米，米，，，
∴(米)，
设，则米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米.
二、题型训练
1.解直角三角形
1．淋浴花洒的支架OA安装在墙壁上，且可以上下旋转，花洒臂BC与OA垂直.已知支架，，花洒臂，支架支点O与地面的距离.如图①，当旋转支架OA，使点C与墙面接触时，花洒顶部B距离地面最低.
（1）花洒顶部B距离地面的最低高度为___________cm；
（2）如图②，当支架OA与墙壁的夹角为时，花洒顶部B到地面的距离约为___________cm.（结果精确到，参考数据：，，）
答案：（1）167
（2）174
解析：（1）如图①，过点B作于点D.
在中，，，.
，，.
又，.
，，.
，.
花洒顶部B距离地面的最低高度为.
（2）如图②，过点B作地面的垂线，与地面交于点N，过点O作于点E，交CB于点F，则.
在中，，，，
.
在中，，
，
.
当支架OA与墙壁的夹角为时，花洒顶部B到地面的距离约为.
2．图①是一款可调节椅背的沙发椅,它可以减轻使用者的脊椎压力.图②是它的侧面示意图,椅背,将椅背角度从调节到(即,)时,分别过点C、D作于点E,于点F,求水平方向增加的距离长.(结果精确到；参考数据：,,,)
答案：水平方向增加的距离长为
解析：由题意得：,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
在与中,
,
,
∴
.
答：水平方向增加的距离长为.
2.利用俯角、仰角解三角形
3．交城县教育局为了丰富春节期间群众的文化生活,营造节日喜庆氛围,宣传教育新形象,特在卦山公园举办花灯展,并在公园的门口搭建了一座门楼(如图).某校“综合与实践”活动小组的同学们为了测量门楼的高度,设计了如下方案：
课题 测量门楼的高度
测量工具 无人机
测量示意图 说明：表示门楼,点A表示门楼的顶部,点B表示门楼的底部.点C,D为无人机两次测量的位置,米,点C,D在同一水平直线上,点A,B,C,D均在同一竖直平面内,与水平面垂直.
测量数据 从D处观测B处的俯角 从C处观测B处的俯角 从C处观测A处的俯角
…… ……
请你结合以上数据,帮助该小组的同学求出门楼的高度.(结果精确到米.参考数据：)
答案：米
解析：如下图,延长,交于点E,
由题意可知,,,,
在中,,
∴,
∴,
设米,则米,
∵米,
∴米,
在中,可有,
∴,
∴,
∴,
在中,
∵,,
∴,
∴,
∴,即,
解得,
∴米.
4．县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量.已知楼房前有一斜坡，它的坡度.他们先在坡面D处测量楼房顶部A的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至E处，再次测量楼房顶部A的仰角，并测量了C、E之间的距离，最后测量了坡面C、D之间的距离.为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果(测角仪高度忽略不计)，如下表：
项目 内容
课题 测量学校附近楼房的高度
测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数 30.2° 29.8° 30°
仰角的度数 60.1° 59.9° 60°
C、E之间的距离 5.1米 4.9米 5米
C、D之间的距离 9.8米 10.2米
… …
任务一：两次测量C、D之间的距离的平均值是________米；
任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房的高.(结果精确到0.1米.参考数据：，)
答案：任务一：10
任务二：楼房的高为19.3米
解析：任务一：(米)，
故答案为：10
任务二：
如图，过点D作于点G；作于点F，交于点H.过点H作于点P.则易得，.
∵，，∴；
在中，，
在中，，，
∴
又∵，∴，
在中，
米.
答：楼房的高为19.3米.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
为对应的俯角，
故选D.
2．如图，从点A观测点D的仰角是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：从点A观测点D的视线是，水平线是，
从点A观测点D的仰角是.
故选：B.
3．在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为( )米
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图所示，米，米
在中，，
，
又四边形BCED是矩形，
米，
，
所以，旗杆的高为（）米.
故选：C.
4．某火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得A、Q的距离是米，仰角为，此时火箭A的高度是( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：A
解析：由题意得，米，
在中，
解得：，
火箭的高度是米.
故选：A.
5．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木(如图)，固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：根据题意可知：，
故选：C.
6．如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.65°
答案：B
解析：如图，标注字母，由题意得：，，，
，
，
.
故选：B
7．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）( )
A.米 B.25米 C.米 D.50米
答案：A
解析：设米，
在中，，
，即，
整理得：米，
在中，，
，即，
整理得：米，
米，
，即，
解得：，
这栋楼的高度为米.
故选：A.
8．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角，楼高米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.则斜坡CD的长度为( ).
A. B. C. D.
答案：A
解析：过点D作于点F，则四边形AEDF为矩形
，，
设米，在中，米，米，
在中，，
(米)，
，
，
解得：(米).
故选A
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端C处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米.（参考数据：，，，）
答案：74
解析：由题知，，，，
，
在，，
，
，
在中，，
，
.
故答案为：74.
10．如图,从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为,看这栋楼底部C的俯角β为,无人机与楼的水平距离为,则这栋楼的高度为________m.
答案：
解析：如图,作于点D,则,
在中,,
,
在中,,
,
,
即这栋楼的高度为,
故答案为：.
11．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，则支架的长为_______cm.（结果精确到lcm，参考数据：，，）
答案：49
解析：如图，过点C作于点D，
在中，，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：49.
12．如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
（2）量得测角仪的高度米；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离米.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，
旗杆的高度可表示为__________.
答案：米
解析：
过点C作，垂足为F，
，
四边形是矩形，
米，米，
在中，，
，即，
，
（米），
故答案为：.
13．如图,热气球的探测器显示,从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为,看这栋高楼底部C的俯角为,热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度为_________米.
答案：
解析:过A作,垂足为D.
在中,,m,m,在中,,m,m,m.故答案为.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是.测得斜坡的倾斜角是，求斜坡上相邻两树间的坡面距离（结果保留小数点后一位）.
答案：
解析：设斜坡上相邻两树间的坡面距离为，
则由题意知，
解得.
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约为.
15．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台B的俯角.求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）.
答案：
解析：由题意得，在中，，，
，
.
答：飞机A与指挥台B的距离约为.
16．在一次数学综合实践活动中,某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度.如图,在点A处测得山顶E的仰角为,向山的方向前进,在点C处测得山顶E的仰角为,已知观测点A,C到地面的距离,.求小山的高度(精确到).(参考数据：,,,)
答案：
解析：依题意可知,,,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∴.
17．如图,某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪,经测量,,,已知米,米.求两栋楼楼顶A,C之间的距离.(参考数据：,,,测角仪的高度忽略不计).
答案：A,C之间的距离为100米
解析：如图,过点C作,交于点F.
在中,,
∴是等腰直角三角形,∴米,
在中,,
∴,
∴,∴米.
由题意,得(米),(米),
∴(米),
在中,(米).
∴A,C之间的距离为100米.
18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°.
(1)求的度数；
(2)求该铁塔PC的高度.(结果精确到0.1米；参考数据：，)
答案：(1)
(2)14.2
解析：(1)延长PC交直线AB于点F，则，
依题意得：，，，
∴；
(2)设米，则米，
在中，米，米，
在中，，
，
，
(米)，
即该铁塔PC的高度约为14.2米.
19．如图，小睿为测量公园的一凉亭的高度，他先在水平地面点E处用高的测角仪测得顶部A的仰角为，然后沿方向向前走到达点G处，在点G处用高的测角仪测得顶部A的仰角为.求凉亭的高度（，结果精确到）.
（参考数据：，，，，，）
答案：
解析：联结并延长，交于点C，由题意得：
，，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
解得，经检验：是原方程的根，
答：凉亭的高约为.
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