2025届高考数学一轮复习专题训练 数列（含解析）

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2025届高考数学一轮复习专题训练 数列
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知数列为等比数列，且，，则( )
A.63 B. C.81 D.
2．已知等比数列中，，，则公比q为( )
A. B.2 C. D.4
3．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,分形几何具有自身相似性,从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个和整体全等的图形.如图的雪花曲线,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图2,如此继续下去,得图(3)不断重复这样的过程,便产生了雪花曲线.记为第n个图形的面积,如果这个作图过程可以一直继续下去,则将趋近于多少( )
A. B. C. D.
4．观察数列1,,,4,,,7,,,,则该数列的第12项等于( )
A. B.12 C. D.
5．已知等比数列的公比,且,则等于( )
A.100 B.80 C.60 D.40
6．已知等比数列满足，，则其公比( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．已知两个等差数列，的前n项和分别是，，且，则( )
A. B. C. D.
8．记数列的前n项和为,则“为等差数列”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是等比数列,是其前n项和,满足,则下列说法中正确的有( )
A.若是正项数列，则是单调递增数列
B.—定是等比数列
C.若存在，使对都成立，则是等差数列
D.若存在,使对都成立,则是等差数列
10．已知为等差数列的前n项和,且,,则下列结论正确的是( )
A. B.为递减数列 C. D.
11．已知数列满足，且，则以下正确的有( )
A. B.数列是等差数列
C.数列是等比数列 D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的值为___________.
13．设等比数列满足,,则的最大值为_____________.
14．已知，数列的前n项和为，则_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．记为数列的前n项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16．已知数列的前n顶和为.且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中，，求数列的前n项和.
17．若数列的各项均为正数,对任意,有,则称数列为“对数凹性”数列．
（1）已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由;
（2）若函数有三个零点,其中．
证明：数列,,,为“对数凹性”数列;
（3）若数列的各项均为正数,,记的前n项和为,,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在常数t,使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
18．对于数列,,…,,定义变换T,T将数列变换成数列,,…,,,记,,.对于数列,,…,与,,…,,定义.若数列,,…,满足,则称数列A为数列,
（1）若数列,,1,1,,,写出,并求.
（2）对于任意给定的正整数,是否存在数列A,使得 若存在,写出一个数列A;若不存在,说明理由.
（3）若数列A满足,求数列A的个数.
19．已知数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：C
解析：因为数列为等比数列，
设公比为q，且，
所以，所以，
所以，
所以，
故选：C.
2．答案：C
解析：.
故选：C.
3．答案：A
解析：由题意知,初始三角形的面积,
第一次操作后,增加了3个边长为的等边三角形,
此时面积：,
第二次操作后,增加了个边长为的等边三角形,
此时面积,
第n次操作后,增加了个边长为的等边三角形,此时面积
当时,,.
故选：A.
4．答案：D
解析：通过观察数列得出规律,数列中的项是按正整数顺序排列,
且个为一循环节,由此判断第12项是,故D项正确.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为,
所以,
故选：B.
6．答案：B
解析：设等比数列的公比为q，则由题得，
所以.
故选：B
7．答案：B
解析：因为，，都是等差数列，
所以可设，，其中0，
所以
，
所以，，所以.故选B.
8．答案：C
解析：若为等差数列,则.
若,则,.
两式相减,得,即,
所以,,
两式相减,得,即,
所以数列为等差数列.
所以“为等差数列”是“”的充要条件.
故选:C.
9．答案：AC
解析：,即,
解得:或2
A.,则,
即,故递增,正确;
B.n为偶数时,,故错误;
C.存在,使对都成立，则，故是等差数列，
D.当n为偶数时，，当n为奇数时，，显然不是等差数列
10．答案：ACD
解析：设等差数列的公差为d,因为,,
所以,解得,
所以,故A正确;
因为,所以为递增数列,故B错误;
由,,有,故C正确;
,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：数列满足，且，
可得时，
，当成立.
即有，，又，
可得，是公比为2的等比数列，不是等差数列，故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
12．答案：2，4，14
解析：由题意可得，
则，
由于为整数，
则为15的正约数，
则的可能取值有3，5，15，
因此，正整数n的可能取值有2，4，14.
故答案为：2，4，14
13．答案：64
解析：设等比数列的公比为q,由得,,
解得.所以,
于是当或4时,取得最大值.
14．答案：
解析：因为，
所以
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，解得.
当时，，所以，即，
又，所以，故，
所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）方法一：，
所以.
故，
所以
，
.
方法二：，
将改写为，其中，
则，
将代入上式得.
16．答案：(1)
(2)，
解析：(1)当时，
可得：；
当时，，，两式相减，
得：，即，
所以：.
(2)当时，；
当时，，
所以，
所以：
，
时，，上式也成立
所以：，
17．答案：（1）只有1,2,4,3,2是“对数凹性”数列,理由见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1,3,2,4中不成立,
所以数列1,3,2,4不是“对数凹性”数列;
而数列1,2,4,3,2中均成立,所以数列1,2,4,3,2是“对数凹性”数列;
（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根,
所以,
又,所以,
显然,即不是的零点,
又,
令,则也有三个零点,
即有三个零点,
则有三个零点,
所以有两个零点,
所以同上有,
故数列,,,为“对数凹性”数列
（3）将p,q互换得：,所以,
令,得,
所以,故数列是等差数列,
记,所以,
所以,
又因为,所以,
所以,所以为单调递增的等差数列,
所以.
所以
所以,数列是“对数凹性”数列.
18．答案：（1）
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）因为,,1,1,,,由变换T的定义,
得,1,1,,,1;,1,,,1,.
所以.
（2）对于数列,,…,,,,…,,,
所以
因为数列A为数列,所以.
对于数列,,…,,令,
则对于数列,,…,,中相邻的两项,,
若,则;若,则.
记中有t(且)个,则有个1,
则.
因为与n的奇偶性相同,与n的奇偶性不同,
所以不存在符合题意的数列.
（3）首先证明.
对于数列,,…,,有,,…,,,
,......,,,,......,,,
,,…,,,,,…,,.
因为,
,
所以,故.
其次,由数列A为数列可知,,解得,
这说明数列,,…,,中任意相邻两项不同的情况有2次.
则数列A中的个数为时,符合题意的数列A都有n个,
所以数列A的个数为.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）当时，，得，
当时，，得，
所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列，
所以.
（2）由（1）可得，
，所以，
所以
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