2025届高考数学一轮复习专题训练 指数函数与对数函数（含解析）

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2025届高考数学一轮复习专题训练 指数函数与对数函数
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设,则的分数指数幂形式为( )
A. B. C. D.
2．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
3．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．设函数在区间上单调递减,则a的取值集合为( )
A. B. C. D.
5．如图,①②③④中不属于函数,,的一个是( )
A.① B.② C.③ D.④
6．设,,,则a,b,c的大小关系为( ).
A. B. C. D.
7．已知的定义域为,为奇函数,为偶函数,若当时,,则( )
A. B.0 C.1 D.e
8．设，,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知大气压强随高度的变化满足关系式,是海平面大气压强,.我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表：
平均海拔
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围,设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为,,则( )
A. B. C. D.
10．下列命题中的真命题是( )
A.， B.，
C.， D.，
11．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知,符号表示不大于x的最大整数,比如,,若函数有且仅有2个零点,则实数a的取值范围是_________.
13．已知函数为奇函数,则实数_________.
14．函数的值域是R,则实数a的取值范围是_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知,且,求的值.附立方差公式：
16．(1)求值：;
(2)化简：;
(3)化简：.
17．已知是函数的零点,.
（1）求实数a的值;
（2）若方程有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
18．已知函数，，记.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）是否存在实数a，使得当时，的值域为？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，则说明理由.
19．已知函数的定义域为D，.
（1）若，求函数的值域；
（2）若，且，求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选:D.
2．答案：A
解析：因函数在上单调递增,
则,,
则.
3．答案：A
解析：函数在上单调递增，
而函数在区间上单调递增，
则有函数
在区间上恒正且单调递增，
因此且，
解得，
∴实数a的取值范围是.
4．答案：C
解析：令,则对称轴为,则,即,
又因为在上有意义,
所以,即,故.
故选:C.
5．答案：B
解析：根据函数与关于y对称,可知①④正确,
函数为单调递增函数,故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B.
6．答案：A
解析：依题意,,,即,
而,所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：为奇函数,即,所以关于中心对称;为偶函数,即,所以关于直线对称,所以,故,即是周期为8的周期函数,所以,故选C.
8．答案：D
解析：，,,
.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：设在第一级阶梯某处的海拔为,则,即.
因为,所以,解得,A正确;
由,得.当时,,即,所以,B错误;
设在第二级阶梯某处的海拔为,在第三级阶梯某处的海拔为,
则两式相减可得.
因为,,所以,则,
即,故,C,D均正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：指数函数值域为，所以，，A选项正确；
当时，，所以，是假命题，B选项错误；
当时，，所以，C选项正确；
函数值域为R，所以，D选项正确
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：①若，则函数是R上的增函数，
函数的图象的对称轴方程为，故A符合，B不符合;
②若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与y轴的负半轴相交，
故选：AC.
12．答案：
解析：当时,由可得,
问题转化为直线于函数在上的图象有两个交点,如下图所示:
当直线经过点时,则有,可得;
当直线经过点时,则有,可得.
由图可知,当时,直线于函数在上的图象有两个交点.
因此,实数a的取值范围是.
故答案为:.
13．答案：2
解析：设,则,可得,即函数的定义域为,
则,即,
即,解得.
故答案为:2.
14．答案：
解析：函数的值域是R,
所以的值域包含;
由于,当且仅当时,即时,等号成立;
所以;
所以.
故答案为:.
15．答案：
解析：因为,且,所以,得,
所以.
16．答案：(1)2;
(2);
(3)
解析：(1)
;
(2)

;
;
(3).
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）是函数的零点
,解之得;
（2）由（1）得,则,
则方程
可化为,
,两边同乘得:
,则此方程有三个不同的实数解.
令则,则,解之得或,
当时,,得;
当时,,则此方程有两个不同的实数解,
则,解之得.
则实数k的取值范围为.
18．答案：（1）；
（2）奇函数，证明见解析；
（3）不存在，理由见解析
解析：（1）由题意知
要使有意义，则有，得
所以函数的定义域为：
（2）由（1）知函数的定义域为：，关于原点对称，
函数为上的奇函数.
（3），
假设存在这样的实数a，则由，，
可知
，，，
令，则在上递减，在上递减，
m，n是方程，即有两个在上的实数解
问题转化为：关于x的方程在上有两个不同的实数解
令，
则有，
解得，又，
故这样的实数a不存在.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，由解得，
令，当时t取最大值，
所以，从而的值域为.
（2）由于，且，
所以方程的两根分别为m，n，且，，
又，即，
将，代入整理得
，
从而，
所以
即实数的取值范围为.
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