数列 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练（含解析）

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数列 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知数列满足，则使其前n项和取最大值的n的值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
2．已知等差数列的前n项和为，，，则( )
A.数列单调递减 B.数列单调递增
C.有最大值 D.有最小值
3．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于( )
A.12 B.13 C.14 D.15
4．已知d为等差数列的公差，为数列的前n项和.若为递减数列，则下列结论正确的为( )
A.数列为递减数列
B.数列是等差数列
C.若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为
D.若，，则
5．已知等差数列的前n项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6．已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则( )
A.公差d的取值范围是 B.
C. D.
7．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A. B.
C.（p，q为常数） D.
8．在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
9．下列四个结论正确的有( )
A.任何数列都有通项公式
B.给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列
C.给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式
D.数列的通项是项数n的函数
10．已知数列的通项公式为,则下列说法正确的有( )
A.若,则数列单调递减
B.若对任意,都有,则
C.若,则对任意i,,都有
D.若的最大项与最小项之和为正数,则,
11．对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当（，）时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法( )
A.过程全部正确 B.时证明正确
C.过程全部不正确 D.从到的推理不正确
12．在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人( )
A.第二天走了96里路
B.第三天走的路程占全程的
C.第一天走的路程比后五天走的路程多6里
D.第五天和第六天共走了30里路
13．已知等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为.若，，则( )
A. B.当且仅当时，取得最小值
C.（，） D.的正整数n的最大值为11
14．已知数列是等比数列，则( )
A.是等比数列 B.是等比数列
C.是等比数列 D.是等比数列
15．记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则( )
A.，，成等差数列 B.，，成等差数列
C. D.
16．已知等差数列的前n项和为，公差.若，则( )
A. B. C. D.
17．记为等差数列的前n项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
18．已知正项数列的前n项和为，且，则( )
A.是递减数列 B.是等差数列 C. D.
19．在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则( )
A. B. C. D.
20．已知数列的前4项依次为2，0，2，0，则数列的通项公式可能是( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：BC
解析：令，解得，故数列的前12项大于0，第13项等于0，第13项后面的项均小于0.所以数列的前12项和或前13项和最大，故使其前n项和取最大值的n的值为12或13.故选BC.
2．答案：AC
解析：因为，且，所以是关于n的递减数列，即数列单调递减，故A正确，B错误；
，又，，故一定有最大值，没有最小值，故C正确，D错误.故选AC.
3．答案：AD
解析：因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，.所以，所以，即满足的最大的正整数k一定不等于12.，，故时，，即满足的最大的正整数k一定不等于15.当时，，则满足的最大的正整数k为14；当时，，则满足的最大的正整数k为13.故满足的最大的正整数k为13或14，一定不等于12与15.故选AD.
4．答案：BCD
解析：由数列是递减的等差数列得.
对于A，不妨举例数列为4，3，2，1，0，，，，…，则，，，这三项不构成递减数列，故A错误；
对于B，，是关于n的一次函数，因此是等差数列，故B正确；
对于C，前10项中，奇数项的和为，偶数项的和，所以，设，，则，解得，所以公差，故C正确；
对于D，，则，，则，所以，故D正确.故选BCD.
5．答案：ABC
解析：因为是等差数列，所以.
根据题意，又，所以，
从而，，故选项A，B正确；又，所以，故选项C正确；
对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.故选ABC.
6．答案：BCD
解析：由题意得，，，所以，解得，所以，故A错误；
，故B正确；
由，得，故C正确；
由等差数列的性质，得，故D正确.故选BCD.
7．答案：BCD
解析：对于选项A，数列，1，3是等差数列，取绝对值后1，1，3不是等差数列，故选项A不符合题意；
对于选项B，若数列为等差数列，根据等差数列的定义可知，数列为常数列，故数列为等差数列，故选项B符合题意；
对于选项C，若数列为等差数列，设其公差为d，则为常数，故数列为等差数列，故选项C符合题意；
对于选项D，若数列为等差数列，设其公差为d，则为常数，故数列为等差数列，故选项D符合题意.故选BCD.
8．答案：BD
解析：由得，当时，，，…，，，将各式相加得，则.当时，，满足上式，所以，当时，.故选BD.
9．答案：BD
解析：对于A，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，例如：的近似值构成的数列3，3.1，3.14，3.142，…，就没有通项公式，A错误；对于B，根据数列的表示方法可知，B正确；对于C，给出了数列的有限项，数列的通项公式不一定唯一，例如：1，，1，，…，其通项公式既可以写成，也可以写成，C错误；对于D，根据数列是从正整数集（或它的有限子集），到实数集R的函数可知，D正确.故选BD.
10．答案：ACD
解析：A:,
,
因为,,所以,所以,
所以,即数列单调递减,故A正确;B:,
当n为偶数时,必成立,c任意,
当n为奇数且时,为
等价于
等价于,而,所以,综上,故B错误;C:显然当i,j同奇或同偶时,必有,当i为奇数,j为偶数时,,
因为为奇数,2c为偶数,,所以,
所以,故C正确;
D:先考虑最大项,最小项和为0,再调整;若和为0,则c必为相邻两整数正中间,如:上图是情形,;
当时,会有,,如下图
当时,会有,,如下图
即c靠近偶数时,的最大项与最小项之和为正数,
临界值为,,故D正确.
11．答案：BD
解析：当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确，故选BD.
12．答案：AC
解析：设此人第n天走了里路，则数列是首项为，公比q为的等比数列.因为，所以，解得.对于A，由于，所以此人第二天走了96里路，所以A正确；对于B，由于，，所以B错误；对于C，由于，，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C正确；对于D，由于，所以D错误.
13．答案：AC
解析：对于A，因为，所以，所以，解得，故A正确；对于B，因为，，所以当，时，，当，时，，所以当或时，取得最小值，故B错误；对于C，（，），（，），所以（，），故C正确；对于D，，，由，得，即，所以，即，所以，解得，又，所以，故正整数n的最大值为12，故D错误.
14．答案：ABC
解析：由题意得，当时，，.
A √ 当时，，故是等比数列.
B √ 当时，，故是等比数列.
C √ 当时，，故是等比数列.
D × 当时，，显然不是等比数列.
15．答案：ABD
解析：由，，，…成等差数列，可得，，成等差数列，故A正确；由数列是等差数列，得，，成等差数列，故B正确；由A选项知，即，故D正确；因为，所以不成立，故C错误.
16．答案：BD
解析：
A × 若，即等差数列前8项和达到最大，则等差数列的首项一定为正数，且公差.
B √
C × .
D √ 因为，所以.
17．答案：ABD
解析：
A √ ，所以.
B √ 由解得所以.
C ×
D √ .
18．答案：ACD
解析：当时，，又，所以.当时，，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，故D正确；因为，，所以，故B错误；因为，也满足上式，所以是递减数列，故A正确；，即，故C正确.
19．答案：AC
解析：因为，，所以，故C正确；数列中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，所以，，故A正确，B错误；对于D，设数列中的第k项是数列中的第m项，则，所以当时，，即数列中的第503项是中的第2011项，故D错误.
20．答案：ABC
解析：
A √ ，，，.
B √ ，，，.
C √ ，，，.
D × ，，，.
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