黑龙江省实验中学2024-2025学年高三学年上学期第四次月考
数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：高三数学备课组
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果复数的实部与虚部相等，那么（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．4 B．或1 C． D．4或
5．已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．8 C．24 D．
6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（ ）
A． B．
C． D．
7．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数，，当取到最大值时对应的x用密位制表示为（ ）
A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00
8．已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9．已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则直线的方程为
B．若直线与圆相切于点，则
C．若直线与圆相切，则直线的方程为或
D．若点是圆上任意一点，则的最大值为
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有且仅有一个对称中心；
B．值域为；
C. 当时，恒有成立；
D．若，且，则.
11.正方体的棱长为2，分别为的中点，为上靠近的三等分点，则下列正确的有（ ）
A.沿正方体表面从A到E的最短距离为
B.为内的一动点，则最小值为
C.为线段上的动点，则到底面的距离与它到点C的距离之和最小值为
D.是直线上的动点，则的最大值为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知等差数列，，则 ．
13．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 ．
14．如图，函数的部分图象如图所示，已知点A，D为的零点，点B，C为的极值点，，则 .
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.已知圆C： 关于直线 对称，且圆心在x轴上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程.
16．的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
17．四棱锥中，平面，，，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.
18．已知函数．
（1）当时求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）当求函数的单调区间；
（3）若时，，求的取值范围．
19．已知数列，若为等比数列，则称具有性质.
(1)若数列具有性质，且，，求的值；
(2)若，判断并证明数列是否具有性质；
(3)设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式.编号：64617340069655343177 黑龙江省实验中学
黑龙江省实验中学2024-2025学年高三学年上学 17.(15分)
期第四次月考数学答题卡
学号： 姓名：
1．答题前请将姓名、班级、考场、学号等填写清楚
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡 学号二维码或条形码
皮擦干净
3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写 粘贴区
4．须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书
写无效
正确填涂 缺考标记
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合要求） （ 共 40分 ）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.(15分)
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0
分） （ 共 18分 ）
9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） （ 共 15分 ）
12 13
14
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤） （ 共 77分 ）
15.(13分)
第1页（共2页）
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
编号：64617340069655343177 黑龙江省实验中学
18.(17分) 19.(17分)
第2页（共2页）
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}高三学年上学期第四次月考数学答案
一、单选题
1．已知集合 A 1,0,1, 2 ,B x∣1 2x 4 ，则 A B （ ）
A． 1,0,1 B． 0,1,2 C． 0,1 D． 1,2
【答案】C
【详解】 B x∣1 2x 4 x∣0 x 2 ，则 A B 0,1 .
故选：C.
2 bi
2．如果复数 (b R)的实部与虚部相等，那么b （ ）
i
A． 2 B．1 C．2 D．4
【答案】A
2 bi i(b 2i)
【详解】 b 2i，所以实部为b，虚部为 2，所以 b 2．
i i
故选：A．
x2 y23．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0
15
的长轴长为 8，且离心率为 ，则C的标准方程为（ ）
a b 4
2
A x x
2 y2 x2 y2 x2 y2
． y2 1 B． 1 C． 1 D． 1
16 64 49 16 15 64 4
【答案】A
【详解】由题意易得 2a 8，则 a 4，
15
因为椭圆C的离心率为 ，所以 c 15 ，
4
则b2 16 15 1，
x2
故C的标准方程为 y2 1，
16
故选：A．
4．已知向量 a x 3,4 ,b x, 1 ，若 a b a b ，则实数 x的值为（ ）
A．4 B． 4或 1 C． 1 D．4或 1
【答案】B
a
b
【详解】将 a b
两边平方，得 a b 0 ，
由 a
x 3,4 ,b x, 1 得 x 3 x 4 1 0，
即 x2 3x 4 0，解得 x 4或 1.
故选：B.
x2 y25．已知 F1，F2为椭圆C : 1的两个焦点，P、Q为 C上关于坐标原点对称的两点，且 PQ F1F ，16 4 2
则四边形 PF1QF2的面积为（ ）
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
A．10 B．8 C．24 D．15 3
【答案】B
C : x
2 y2
【详解】椭圆 1中， a 4,c 16 4 2 3，
16 4
因为 P、Q为 C上关于坐标原点对称的两点，所以 OP OQ ，
又 OF1 OF2 ，故四边形 PF1QF2 为平行四边形，
又 PQ F1F2 ，故四边形 PF1QF2 为矩形，即 PF1⊥PF2，
由勾股定理得 PF 21 PF
2
2 F1F
2
2 4c
2 48①，
由椭圆定义得 PF1 PF2 2a 8②，
PF 2 PF 2式子②平方得 1 2 2 PF1 PF2 64，
结合①得 PF1 PF2 8，
故四边形 PF1QF2的面积为 PF1 PF2 8 .
故选：B
6．如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 平面 ABCD，E, F 分别为 PB, BC的中点，则
AF DE的一个充要条件为（ ）
A． PA AB B． PF BD
C． AB AD D． AB 2AD
【答案】C
【详解】因为 PA 平面 ABCD且底面 ABCD为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 0,0,0 ，设 AB 2a， AD 2b, PA m，
则 B 2a,0,0 ,P 0,0,m ,D 0,2b,0 ，则 E a, 0,
m
，F 2a,b,0 ，
2
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
故 AF 2a,b,0 ，DE m a, 2b, ，
2
AF DE的充要条件为 AF DE 0即：
AF DE的充要条件为 2a2 2b2 0即：
AF DE的充要条件为 a b，即 AF DE的充要条件为 AB AD，
故 C正确，D错误；
PA AB即 2a m，此时得不到 2a 2b，故 A错误；
对于 B， PF 2a,b, m ， BD 2a , 2b,0 ，
若 PF BD，则 PF BD 0即 4a2 2b2即 2a b，
由 A的分析可得 AF DE的充要条件为不是 PF BD，故 B错误；
综上，选 C.
故选：C
1
7．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的 称为 1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧
6000
的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，
单位名称可以省去，如 15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数
3 f x 3x 2cosx， x , ，当 f (x)取到最大值时对应的 x用密位制表示为（ ） 2 2
A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00
【答案】C
【详解】由题设， f (x) 3 2sin x，在 x [ ,
4 )时 f (x) 0
4 3
，在 x ( , ]时 f (x) 0，
2 3 3 2
所以 f (x)在 x [
, 4 ) 4 3 上递增，在 x ( , ]上递减，即 f (x) f (
4
max ) ，2 3 3 2 3
故 f (x)取到最大值时对应的 x用密位制表示为 40—00.
故选：C
f x x2 m g x ln 1 3x x 1 ,2 8．已知函数 与函数 的图象上至少存在一对关于 x轴对称的点，x 2
则实数m的取值范围是（ ）
5
A． ln 2, 2
5 5
B
． 2 ln 2, ln 2
C ． ln 2, 2 ln 2
D． 2 ln 2,2 4 4 4
【答案】D
2 1
【详解】原问题等价于 h x f x g x x ln x 3x m在 , 2 有零点， 2
而 h x 2x 1 3 1 2x 1 x 1 ，
x x
1
∴ x ,1
,h x 0， h x 单调递减， x 1,2 , h x 0， h x 单调递增，
2
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
又 h 1 m 2,h 2 ln 2 2 m,h 1 ln 2
5
m，
2 4
1
由 ln 2
1
h 2 h 可判断 ，2 2
因而 h x 的值域为 m 2,m ln 2 2 ，
又 h x 有零点，有m 2 0 m ln 2 2，
所以m 2 ln2,2 .
故选：D.
二、多选题
9．已知点 A 3, 4 在直线 l上，圆C : x 1 2 y 2 2 4，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆C关于直线 l对称，则直线 l的方程为 x y 1 0
B．若直线 l与圆C相切于点 B，则 AB 2
C．若直线 l与圆C相切，则直线 l的方程为 y 4或 x 3
D．若点 P是圆C上任意一点，则 AP 的最大值为 2 2 4
【答案】ABC
【详解】对于 A中，由圆C : x 1 2 y 2 2 4，得圆心C 1, 2 ，半径 r 2，
4 2
若圆C关于直线 l对称，则直线 l经过圆心C，所以直线 l的斜率为 k 1，
3 1
此时直线方程为 y 2 x 1 ，即 x y 1 0，所以 A正确；
对于 B中，若直线 l与圆C相切于点 B，
ABC π AB AC 2 2则 ， BC 8 4 2，所以 B正确；
2
对于 C中，当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x 3，圆心C到直线 l的距离为 2 r，所以直线 l与
圆C相切，满足要求；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y 4 k x 3 ，
即 kx y 4 3k 0，若直线 l与圆C相切，
k 2 4 3k
则圆心C到直线 l的距离 d r 2，解得 k 0，
k 2 1
所以直线 l的方程为 y 4，
综上所述，若直线 l与圆C相切，则直线 l的方程为 x 3或 y 4，所以 C正确.
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
对于 D中，由 AC 3 1 2 4 2 2 2 2， AP 的最大值为 AC r 2 2 2，所以 D错误；
故选：ABC
2
10．已知函数 f x x 1 x 2 ，则下列结论正确的是（ ）x x 1
A． f x 有且仅有一个对称中心；
B． f x 值域为 , 2 [2, ；
C. 当 x 0时，恒有 f (x) ln x 1成立；
D．若 x1 0，x2 0，x1 x2，且 f x1 f x2 ，则 x1 x2 2 .
【答案】ACD
2
【详解】对于 A， f x x 1 x 的定义域为 {x | x 0}2 ，x x 1
( x)2 1 x x2 1 x
又 f x f x ，
x ( x)2 1 x x
2 1
所以 f x 为奇函数，故 A正确；
x2 1 1
对于 B，由对勾函数性质知： t x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，且值域为
x x
t 2, ，
y 1而 t 在 t 2, 上递增，所以 f x 在 0,1 5 上单调递减，在 1, 上单调递增，且 f x ,
t 2
，
由奇函数的对称性知： f x 5在 , 1 上单调递增，在 1,0 上单调递减，且 f x , ， 2
f x , 5 5所以 值域为
,
2
，故 B错误；
2
2
对于 C，当 x 0 时， f x x x 1 x 1 x 2 x 2 0 恒成立，x x 1 x x 1
所以恒有 f x x 成立，故 C正确；
1
2
1 1
f 1
x 1 x2 x
对于 D x，由 1 2 2 f x ， x 1 x 1 x
x 1 x
因为 x1 0，x2 0，x1 x2 ，且 f x1 f x2 ，
1 1 1
所以 x2 x x x 2 xx ，故 1 2 1 1 2 ，当且仅当 x1 1 时等号成立，1 x1 x1
而 x1 1 时， x2 x1 1 ，故等号不成立，所以 x1 x2 2 ，故 D正确；
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
故选：ACD
1
【点睛】关键点点睛：对于 D，关键是求出 f f x ，根据基本不等式判定.
x
11.正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E、G分别为CC1、D1C1的中点，F 为棱 AB上靠近 B的三等
分点，则下列正确的有（ ）
A.沿正方体表面从 A到 E的最短距离为 17
B. P1为 A1BD内的一动点，则 AP1 P1F
4 2
最小值为
3
8
C. P2为线段BE上的动点，则 P2到底面 ABCD的距离与它到点 C的距离之和最小值为 5
D. P3是直线 A1D1上的动点，则 | AP3 | | P3G |的最大值为 5
【答案】BCD
三、填空题
12．已知等差数列 an ， a1 a5 a2 3，则 S7 ．
【答案】21
【详解】设等差数列 an 的公差为 d，
由 a1 a5 a2 3，可得 a1 a1 4d a1 d 3，即 a1 3d 3 a4，
S a则 1 a7 7 2a4 77 7 a 21．2 2 4
故答案为：21．
13．在三棱锥 A BCD中，AB AD BD 2,BC CD 2，平面 ABD 平面CBD，则三棱锥 A BCD外
接球表面积为 ．
4πR2 4π 4 16π【答案】表面积为
3 3
【详解】取 BD中点M ，连接MA,
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
AB AD BD 2,，故MA^ BD，
由于平面 ABD 平面CBD，且交线为 BD，MA 平面 ABD，
故 AM 平面CBD，
又 BC CD 2， BD 2，故△BCD为等腰直角三角形，故MB MC MD ，
因此外接球的球心O在 AM 上，
AM 3 AB 3,BM 1 BD 1,
2 2
2
设球半径为 R，则OB R MB 2 OM 2 AO 12 3 R R ，
2
解得 R ，
3
故表面积为 4πR2
4 16π
4π ，
3 3
14．如图，函数 f x 3 sin x 0,0 π 的部分图象如图所示，已知点 A，D为 f x 的零点，
1 2
点 B，C为 f x 的极值点， AB DC AB ，则 .
2
5 5
【答案】 /
6 6
D 1 ,0 2π 1 π 1 π【详解】由图可得 ，又T ，则 A
, 0
B ， , 3
，
3 3 3 2
1 π C , 3 ，则 AB
π π , 3 ，DC , 3
，
3 2 2 2
2 2 2
则 AB
π 1 π
DC 2 3 3
3π 3
，化简得 0，
4 2 2 4 8 2 2
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
0 π π 1又 ，则 ，则有 π 2kπ k Z ，
2 2 3
5π 2kπ k 5π解得 Z ，又0 π，则 .
6 6
5π
故答案为： .
6
x210．已知函数 f x 1 x 2 ，则下列结论正确的是（ ）x x 1
A． f x 有且仅有一个对称中心；
B． f x 值域为 , 2 [2, ；
C. 当 x 0时，恒有 f (x) ln x 1成立；
D．若 x1 0，x2 0，x1 x2，且 f x1 f x2 ，则 x1 x2 2 .
【答案】ACD
2
A f x x 1 x【详解】对于 ， 的定义域为 {x | x 0}2 ，x x 1
f x ( x)
2 1 x x2 1 x
又
x ( x)2
f x ，
1 x x2 1
所以 f x 为奇函数，故 A正确；
x2 1 1
对于 B，由对勾函数性质知： t x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，且值域为
x x
t 2, ，
而 y t
1
在 t 2, 上递增，所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 5 上单调递增，且 f x ,
t 2
，
5
由奇函数的对称性知： f x 在 , 1 上单调递增，在 1,0 上单调递减，且 f x ,
2
，
所以 f x 值域为 ,
5
5
2
, ，故 B错误；
2
2
C x 0 f x x x 1 x 1 x对于 ，当 时， 2 x 2 0 恒成立，x x 1 x x 1
所以恒有 f x x 成立，故 C正确；
2
1 1 1
f 1
x x 1 x
2 x
对于 D，由 f x ，
x 1 1
2
x 1 x
2
x x
1
因为 x1 0，x2 0，x1 x2 ，且 f x1 f x2 ，
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
x 1 1 1所以 2 ，故 x1 x2 x1 2 x1 2 ，当且仅当 x1 1x 时等号成立，1 x1 x1
而 x1 1 时， x2 x1 1 ，故等号不成立，所以 x1 x2 2 ，故 D正确；
故选：ACD
四、解答题
15.已知圆 C： x y Dx Ey 12 0关于直线 x y 2 0对称，且圆心在 x轴上.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)点M 1, 5 ，过点M 作圆C的两条切线，切点分别为E,F，求 EF 所在的直线方程.
D E D2 E 2
【详解】（1）∵圆 C 的方程的圆心坐标为 , ，半径2 2 r 12 ， 4
∴由圆心在 x轴上，圆关于直线 x y 2 0对称得到， E 0
D E
， 2 0，
2 2
∴ E 0,D 4， ∴所求圆 C 的标准方程为 x 2 y 16.
（2）x+5y+14=0
2 2 2
16．VABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a，b， c，已知 c 2b cos A a b c 0．
2b
(1)若a 4，b c 8，求VABC的面积；
c
(2)若角C为钝角，求 的取值范围．
b
【答案】(1) 4 3 (2) 2,
a2 b2 2
【详解】（1）因为 c 2b cos A c 0，由余弦定理可得 c 2b cos A acosC 0，
2b
由正弦定理得 sinC 2sin B cos A sin AcosC 0，
又因为 sinC cos A sin AcosC sin A C sin π B sinB ，
则有 sin B 1 2cos A 0，
因0 B π， sin B 0，则 cos A
1
，
2
π
且0 A π，故 A ．
3
由余弦定理， a2 b2 c2 2bccos A，代入得，b2 c2 bc 16，
因b c 8，则有 b c 2 3bc 16，即得bc 16，
故VABC 1 1 3的面积 S bc sin A 16 4 3．
2 2 2
b c c sinC 2π
（2）由正弦定理， 可得 ，且C B，
sin B sinC b sinB 3
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
sin 2π B 3 1
代入化简得： c sinC 3 cosB sinB 2 2 3 1．
b sin B sin B sin B 2 tan B 2
0 B π
C 2 π因 为钝角，故由 0 B
2π π
，可得 ，
B 6
3 2
3 3 3 c
则0 tan B ， ，即 2，
3 2 tan B 2 b
c
故 的取值范围是 2,
b
17．四棱锥P ABCD中，PA 平面 ABCD，AD∥BC，AD CD，AD CD 2，BC 2 2，PA 1，
N为 PC的中点.
(1)求证：DN / /平面 PAB；
(2)求点 N到平面 PAB的距离；
(3)在线段PD上，是否存在一点M ，使得平面MAC与平面 ACD的夹角为 45 ？如果存在，求出 BM 与平
面MAC所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.
2 6
【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3)存在，
9
1
【详解】（1）取 PB中点 E，连接 AE， EN，则 EN BC ,EN / /BC ，
2
AD 1又 BC ,AD / /BC ，所以 EN / /AD且 EN AD，
2
所以四边形 ADNE为平行四边形，则 DN / /AE ，
又DN 平面 PAB， AE 平面 PAB，
所以DN / /平面 PAB .
（2）由已知得， AB 2， AC 2， BC 2 2，
AB2 AC 2 BC 2 ， AB AC，
又 PA 平面 ABCD， AB, AC 平面 ABCD，
所以 PA AB,PA AC，建立如图空间直角系 A xyz .
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
则 0,0,0 ， B 2,0,0 ，C 0,2,0 ，D 1,1,0 ， 0,0,1 ， N 0,1,
1
.
2
显然平面 PAB的法向量 r 0,1,0 AN 1 ， 0,1, 2 ，
AN r 1
点N到平面 PAB的距离 d 1.r 1
（3）假设存在点M 满足题意，令 PM PD， 0,1 ，则M , ,1 ，
m 显然平面 ACD的法向量 0,0,1 ，设平面 AMC的法向量为 = , ,
n AC 0 2y 0
由 n 1 ,0,
n AM 0 x y 1 z 0
，取 ，
cos45 cosm ,n m n 2
m n
，
(1 )2 2 2
即 2 2
1
1 2 2 2 ，解得 .
2
1 1 1 M 5 , , ， BM ,
1 , 1 n 1， , 0,
1
.
2 2 2 2 2 2 2 2
记 BM 与平面MAC所成角为 ，
则 sin cosBM, n
BM n 1 2 6
BM n
27 1 9 .
4 2
存在点M ，满足要求，且 BM MAC 2 6与平面 所成角的正弦值为 .
9
18．已知函数 f (x) (x 1)lnx a(x 1) ．
（1）当 a 4时求曲线 y f (x)在 (1， f （1） )处的切线方程；
（2）当 a= 0 时求函数 y = f(x)的单调区间；
（3）若 x 1时， f (x) 0，求 a的取值范围．
【解析】（1）当 a 4时， f (x) (x 1)lnx 4x 4，
1
x 0， f (x) lnx 3，
x
f 1 （1） ln1 3 2，又 f （1） 0，
1
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
曲线 y f (x)在 (1， f （1） )处的切线方程为：
y 0 2(x 1)，即 2x y 2 0．
（2）（0， ）
1
（3）令 g(x) f (x) lnx 1 a，
x
g (x) 1 1 x 1则 ，
x x2 x2
当 x (1, )时， g (x) 0恒成立，
即 f (x)在 (1, )上单调递增， f （1） 2 a，
①当 a 2时， f （1） 0，故 f （a）在 (1, )上单调递增，且 f （1） 0，此时 a 2符合题意；
②当 a 2时，由 f （1） 0及 f (x)在 (1, )上单调递增，知 x0 1，
使得 f (x0 ) 0，即 f (x0 ) 0，不符合题意，
综上， a的取值范围是 ( ， 2]．
19．已知数列 an ，若 an an 1 为等比数列，则称 an 具有性质 P .
(1)若数列 an 具有性质 P，且 a1 a2 1， a3 3，求 a5的值；
(2) n若bn 2
n 1 ，判断并证明数列 bn 是否具有性质 P；
(3) 2设 c1 c2 L cn n n，数列 dn 具有性质 P，其中 d1 1，d3 d2 c1，d2 d3 c2 ，试求数列 dn 的
通项公式.
【答案】(1) a5 11；
(2)数列 bn 具有性质 P，证明见详解；
n
(3) d 2 ( 1)
n 1
,n N*n 3
【详解】（1）由题意数列 an 具有性质 P, an an 1 为等比数列，设公比为 q，
由 a1 a2 1,a3 3,得a1 a2 2, a2 a3 4，
q 2, a3 a4 8, a4 5 ，又 a4 a5 16， a5 11 .
（2）数列 bn 具有性质 P；证明如下：
n
因为bn 2 ( 1)
n
，
b b 2n ( 1)n 2n 1 ( 1)n 1 3·2n所以 n n 1 ，
b b 3 2n 1
则 n 1 n 2 n 2，即 bn bn 1 为等比数列，bn bn 1 3 2
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
所以数列 bn 具有性质 P .
（3 2）因为 c1 c2 cn n n，则 c1 2 .
当 n 2 2， c1 c2 cn 1 (n 1) n 1，
故 cn n
2 n (n 1)2 n 1 2n, n 2 ，
c1 2适合该式，故 cn 2n，
所以由 d1 1,d3 d2 c1,d2 d3 c2 ，
得 d1 1, d3 d2 2, d2 d3 4, d1 1, d2 1, d3 3,
d1 d2 2, d2 d3 4，
因为数列 dn 具有性质 P，故 dn dn 1 为等比数列，设其公比为q ，则 q 2，
d d n n 1 n故 n n 1 2 , dn 1 dn 2 2 ， dn 2 dn 2 .
当 n为偶数时，dn dn dn 2 dn 2 dn 4 d4 d2 d2
n
2n 2 2n 4 2 1 22 1 ，
3
当 n为奇数时，dn dn dn 2 dn 2 dn 4 d3 d1 d1
2 2n 1 1 n
2n 2 2n 4 21 1 1 2 1 ，
3 3
2n ( 1)n 1
故 dn ,n N
* .
3
{#{QQABIQSAggAAABAAABgCAwUgCkGQkgEACagOxBAAsAIBCQFABAA=}#}
