江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

1
2024-2025学年上学期12月月考高二数学试卷
能力提升卷
（测试时间：120分钟满分：150分）
第I卷（选择题共60分）
一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 已知数列{an}等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝（）
A. 2 B.
C. 3 D.
（2021年四川省泸县第二中学高一月考）
2. 已知函数，若数列满足，则（）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
3. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则的值为（）.
A. B. 1 C. D. 2
4. 已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（）
A. 1 B. 2 C. D.
（2021年陕西西北工业大学附属中学高一月考）
5. 数列满足，，则（）
A. B. C. D.
6. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
（2021年浙江杭州市杭十四中高二期中）
7. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. （0，1） D.
8. 设直线与函数的图象交于点，与直线交于点．则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分）
（2021年福建省福州第一中学高三开学考试）
9. 设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D. 与均为的最大值
10. 已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（）
A.
B.
C. 若该数列的前三项依次为，，，则
D. 数列为递减的等差数列
11. 对于函数，下列说法正确的是（）
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在上恒成立，则
12. 已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（）
A. 为单调递增的等差数列
B.
C. 为单调递增的等比数列
D. 使得成立n的最大值为6
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
（2021年山西高三模拟）
13. 设数列的前项和为，且，，则__________.
14. 朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．
15. 已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.
（2021年江苏高三专题练习）
16. 已知函数在R数上单调递增，且，则的最小值为__________，的最小值为__________.
四、解答题（共6个小题，共70分）
17. 设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，，________．
（1）求数列通项公式；
（2）若，求数列的前n和．
18. 已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
19已知函数()．
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，．
20. 已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
21. 设函数
（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.
（2）讨论在上的单调性；
（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.
22. 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性.
（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年上学期12月月考高二数学试卷
能力提升卷
一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）
1.
【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】A
二、多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分）
9.
【答案】BD
10.
【答案】AC
11
【答案】ACD
12.
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13
【答案】1189
14.
【答案】
15.
【答案】
16.
【答案】 ①. . ②. .
四、解答题（共6个小题，共70分）
17.
【解析】
【分析】（1）若选①可得为常数数列，即可求出；若选②利用时，可得，即可得为常数数列，即可求出；若选③当时，利用可得，即可得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；
（2）利用错位相减法求和；
【详解】选条件①时，
（1）时，整理得，所以.
（2）由（1）得：，
设，其前项和为，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
选条件②时，
（1）由于，所以①，当时，②，
①②得：，
，整理得，所以.
（2）由（1）得：，
设，其前项和为，
所以 ①，
②，
①②得：，
故，
所以.
选条件③时，
由于， ①
②
①②时，，整理得（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2）由（1）得：，
设，其前项和为，
所以①，
②，
①②得：，
故，
所以.
18.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，则，可得，所以，
因为，，所以，整理得，解得，
所以；
（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，
当为奇数时，，
当偶数时，，
对任意的正整数，，
，①，
由①得，②，
①②得，
化简得
因此，数列的前项和为.
19.
【详解】（1）的定义域为，，
若函数有两个极值点，则有两个变号零点，
等同于，
即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，
令，的定义域为，则，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，
则为的极大值，也为最大值，
当时，，
当时，，
当时，且为正数，
则的图像如图所示，则此时；
（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，
则，令，
则，
当时，，，，
则，则在时单调递增，
又，
∴时，，则在时单调递增，
∴当时，即当时，．
20.
【详解】（1），所以数列为等比数列，公比，所以，所以
（2）证明：
【点睛】放缩法的注意事项：
（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
21.
【详解】（1）由于函数在上递增，在上递减，
由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，
∵，
故，
此时满足是极大值点，所以；
（2）∵，
∴，
①当时，在上单调递增.
②当，即或时，，
∴在上单调递减.
③当且时，由 得.
令得；
令得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上递增；
当或时，在上递减；
当且时，在上递增，在上递减.
（3）令，
，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得最小值为，
又当，
所以函数大致图象为：
由图象知：.
不妨设，则有，
要证，只需证即可，
令，
则
在上单调递增，
故
即，
，
.
22.
（1）先求出函数的导数，再对a进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；
（2）对a进行分类讨论，分为，，三种情况，利用导数研究函数的最值，从而进行分析求解即可.
【详解】（1）由，得，
当时，对任意，，所以单调递减；
当时，令，得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）存在满足条件的实数，且实数的值为，
理由如下：
①当，且时，由（1）知，在上单调递减，
则时，，
则，
所以此时不满足题意；
②当时，由（1）知，在上，单调递增，
在上，单调递减，
则当时，，
当时，对任意，
，
所以此时不满足题意；
③当时，令（），
由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减，
所以，，
若对任意的，总存在，使得，
则，，即，
所以，解得，
综上，存在满足题意的实数，且实数的值为.
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