2024.3.29重庆市科学城八中思维训练(1）
一、填空题(本大题共20空，每空2分，共40分
1．（2024.3.29·科学城八中）将 4、6、8、9、10、12、13、14、17填入图中的圆圈内，使得每条直线上的数之和都相等。
【答案】
【知识点】数字问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵每条直线上的数之和都相等，
∴C+14+F=6+E+F，
∴E-C=8，
∴E=17，C=9，
∵计算可得4、6、8、9、10、12、13、14、17的和除以3等于31是每条直线上的数之和，
∴F=31-6-17=8，
∴D=31-4-14=13，
∴B=31-13-6=12，
∴A=31-12-9=10．
【分析】 根据每条直线上的数之和都相等，求得E-C=8，再依次求即可．
2．（2024.3.29·科学城八中） 。
【答案】
【知识点】裂项
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=
故答案为：
【分析】可以用裂项拆分的方法，把原式变为，再消项进行简便计算即可求出结果。
3．（2024.3.29·科学城八中）定义一种运算，若，则 。
【答案】2.35
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】 解：7m+3×7=37.45
7m+21=37.45
7m=37.45-21
7m=16.45
m=2.35
故答案为：2.35。
【分析】 根据题意，7#m=7m+3×7=37.45，求出m的值即可。
4．（2024.3.29·科学城八中）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有 个五角星。
【答案】6067
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】 解：∵第一个图形五角星数目：1+3=1+3×1，
第二个图形五角星数目：1+3+3=1+3×2，
第三个图形五角星数目：1+3+3+3=1+3×3，
第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3=1+3×4，
……
第n个图形五角星数目：1+3+3+ +3=1+3×n=1+3n，
∴第2022个图形中五角星数目为：1+3×2022=6067．
故答案为：6067．
【分析】 第一个图形五角星数目：1+3=1+3×1，第二个图形五角星数目：1+3+3=1+3×2，第三个图形五角星数目：1+3+3+3=1+3×3，第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3=1+3×4，……，得出第n个图形五角星数目：1+3+3+ +3=1+3×n，即可得出第2022个图形中五角星数目．
5．（2024.3.29·科学城八中）已知三个合数A，B，C两两互质，且，那么的最大值为 。
【答案】1626
【知识点】最大与最小；分解质因数
【解析】【解答】 ：因为11011×28=（11×11×13×7）×（2×2×7）=（11×11×13）×（7×7）×（2×2），
要使A+B+C最大，且A、B、C为两两互质的合数，则A=11×11×13=1573，B=7×7=49，C=2×2=4，
那么A+B+C=1626．
故答案为：1626．
【分析】 因为A×B×C=（11×11×13×7）×（2×2×7）=（11×11×13）×（7×7）×（2×2），要满足是合数和两两互质，则A+B+C的最大值是11×11×13+7×7+2×2=1626．据此解答．
6．（2024.3.29·科学城八中）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为0.5米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是 米/秒。
【答案】6
【知识点】流水行船基础
【解析】【解答】 解：设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒，
根据题意得：55×60（x+0.5）=65×60（x-0.5），
解得：x=6，
∴骑士号在静水中的航行速度是6米/秒．
故答案为：6．
【分析】 设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒，由两船往返的时间均为10-8=2小时（即120分钟）及两船同向行驶的时间是10分钟，可得出任一船顺流航行时间是55分钟，逆流航行时间为65分钟，利用航程=航速×时间，结合两港之间的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
7．（2024.3.29·科学城八中）A，B，C，D，E五人在一次满分为100分的考试中，五人得分各不相同，且得分都是整数，已知A得94分；B是第一名；C得分是A与D的平均分；D得分是五人的平均分；E比C多2分，是第二名。那么B得了 分。
【答案】98
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】 解：∵C得分是A与D的平均分，
∴C得分在A与D的得分之间，
若A＞D，则C＞D，D为最低分，与D得分是五人的平均分矛盾，舍去，
若A＜D，则A＜C＜D，
∵A得94分最低，
∴其他4个人的分数在95到100分之间，
∵A的得分是94分是偶数，C得分是A与D的平均分且为整数，故D的得分为96分或98分，
若D的得分是98分，则C的得分=（94+98）÷2=96（分），
∵E比C多2分，
∴E的得分=96+2=98，
∵B是第一名，
∴B的得分是99分或100分，
当B的得分=99时，五人的平均分=（94+99+96+98+98）÷5=97≠D的得分，
当B的得分=100时，五人的平均分=（94+100+96+98+98）÷5=97.2≠D的得分，
若D的得分=96时，则C的得分=（94+96）=95（分），E的得分=95+2=97，由96×5=（94+B的得分+95+96+97）=98，
综上所述，B的得分是98分，
故答案为：98．
【分析】 根据题意，分两步同理，第一步根据已知条件推出A外的4个人的分数在95到100分之间，第二步，先推出“D的得分是偶数”，是96或98，于是得到结果．
8．（2024.3.29·科学城八中）李叔叔通过网络召集了一批户外爱好者包车前往郊区爬山，租车费用由大家平摊。后来有6人因加班不能前往，于是去的每人要多出5元；临出发，又来了1人搭车，结果每人比原计划只多出4元，租车费用是 元。
【答案】600
【知识点】列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【解答】 解：由题意，设原计划有x人参加，每人出y元，
∴
∴
∴
∴xy=30×20=600（元）．
答：租车费用是600元．
故答案为：600．
【分析】 依据题意，设原计划有x人参加，每人支出的费用为y元，根据总费用相同列出方程求解即可．
9．（2024.3.29·科学城八中）为了响应国家节约粮食的号召，某学校食堂推出儿童饭和成人款的男生饭、女生饭，其种36份饭种，儿童饭份数的 等于女生饭份数的 ，等于男生饭份数的 ，儿童饭有 份。
【答案】8
【知识点】分数除法的应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，儿童饭有：
=
=
=
=
=
＝8（份）
答：儿童饭有8份
故答案为：8
【分析】根据题意，儿童饭份数的等于女生饭份数的，等于男生饭份数的，把儿童饭的份数看作单位“1”，则女生饭份数是儿童饭的，男生饭的份数是儿童饭的，则一共有份，对应的是36份，用，即可解答。
10．（2024.3.29·科学城八中）若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克。今有载重量为1.5吨的汽车。至少需要 辆车，才能把这些箱货物一次全部运走。
【答案】16
【知识点】除数是小数的小数除法；不等式
【解析】【解答】 解：19.5吨=19500千克，1.5吨=1500千克，
最有利情况，每箱货物的重量能被1500千克整除，则每辆车都能满载，
需要19.5÷1.5=13（辆），
最不利情况，每辆车都不能满载，则空载量最大，
因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱，每箱300千克，每车能装5箱，如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了，此时，每车载重301×4=1204千克，空载1500-1204=296千克，19500÷1204=16 236，也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装16车后，因为每辆车空载296千克，所以余下236千克可以装在任意一辆车中．
至少需要16辆车才能把这些货物一次运走．
故答案为：16
【分析】 汽车的载重量是1.5吨，如果每箱的重量是300千克（或＜1500的＜353的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了1.5吨货物，这是最有利的情况，此时需要汽车19.5÷1.5=13（辆），如果装箱的情况不能是汽车满载，那么13辆汽车就不能把这批货物一次运走，为了确保把这些货物一次运走，需要从最不利的情况来考虑，最不利的情况就是使每辆车晕的尽量少，即空载最多，因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱，每箱300千克，每车能装5箱，如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了，此时，每车载重301×4=1204千克，空载1500-1204=296千克，19500÷1204=16 236，也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装16车后，因为每辆车空载296千克，所以余下236千克可以装在任意一辆车中．综上所述，16辆车可确保将这批货品一次运走．
11．（2024.3.29·科学城八中）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，如图图A中外面正方形的面积是16平方分米，将图B放进图A组成一个新的图C，图C中小正方形的面积是 平方分米。
【答案】8
【知识点】正方形的面积
【解析】【解答】解：16÷2=8（平方分米），
图C中小正方形的面积是8平方分米．
故答案为：8．
【分析】 图A中外面正方形的面积是16平方分米，如图分割，图C中外面大正方形的边长等于小正方形的对角线的长度，平均分成四份，小正方形的面积就是大正方形面积的一半，据此解答即可．
12．（2024.3.29·科学城八中）一个校长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中(铁块底面与容器底面平行)，铁块还没有完全浸没时，水就满了(如下图)。这个铁块的体积是 cm2。
【答案】400
【知识点】水中浸物模型
【解析】【解答】解：根据题意，可得
10×10×10-10×10×7
＝1000-700
＝300（cm3）
300÷6＝50（cm2）
50×8＝400（cm3）
答：这个铁块的体积是400cm3。
故答案为：400
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出水深7cm时的水的体积；当放入一个铁块水满时的体积是正方体容器的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出此时的体积包含浸没在水中6cm高的铁块的体积与原来水的体积两部分，所以减去原来水的体积，就是浸没在水中6cm高的铁块的体积；再根据长方体的底面积＝体积÷高，其中高是6cm，得到铁块的底面积；最后用铁块的底面积乘高8cm，求出这个铁块的体积。
13．（2024.3.29·科学城八中）如图，两个三角形均为等边三角形，并且小三角形的边长是大三角形边长的一半，那么小三角形的面积与中间空白部分面积的比是 。
【答案】1：3
【知识点】比的应用
【解析】【解答】 解：设大三角形的边长为a，高为h，
那么小三角形的边长是a÷2，高是h÷2，
大三角形的面积：a×h÷2=ah，
小三角形的面积：（a÷2）×（h÷2）÷2=ah，
小三角形的面积与大三角形面积的比是：ah：ah=1：4；
小三角形的面积与大三角形面积的比是1：4；
小三角形的面积与中间空白部分面积的比是1：3
故答案为：1：3．
【分析】 设大三角形的边长为a，高为h，那么小三角形的边长是a÷2，高是h÷2，由此根据三角形的面积公式S=ah，分别求出大三角形与小三角形的面积，再写出对应的比即可．
14．（2024.3.29·科学城八中）已知[6， 2]=8， [8， 3]=10， [11， 4]=14， [62， 51]=22； 若[22， x]=25， 则x=
【答案】9.5
【知识点】定义新运算；算式的规律
【解析】解：根据题意，可得
[22，x]=2×（22-x）=25
解得，x=9.5
【分析】观察题目给出的几组式子，可以总结出规律[a，b]=2（a-b），据此求解即可。
15．（2024.3.29·科学城八中）小孟有10张飞行系精灵的卡片、15张草系精灵的卡片和20张火系精灵的卡片。他把这45张卡片放在袋子里，闭着眼睛向外摸卡片。那么他至少摸 张，才能保证摸出的卡片中同时有飞行系精灵和火系精灵的卡片。
【答案】36
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】 解：根据题干分析可得：
15+20+1=36（张）
至少需要取36张．
故答案为：36
【分析】 把三种卡片看做三个抽屉，考虑最差情况：15张草系精灵和20张火系精灵的卡片全部摸出，此时只剩下10张飞行系精灵，只要再任取一张，就能保证取出的卡片中同时有飞行系精灵和火系精灵的卡片，即至少要取15+20+1=36（张），据此即可解答问题．
16．（2024.3.29·科学城八中）一列火车驶过250米长的隧道用了20秒。若将火车的速度提高一半，则通过长330米的隧道只用了16秒，则这列火车的全长为 来，火车行驶的速度为 米。
【答案】150；20
【知识点】列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】解：设火车的长度为x米，
根据题意，得
解得x=150，
（米/秒）
故答案为：150；20．
【分析】两次通过火车的长度不变，根据速度有等量关系：
17．（2024.3.29·科学城八中）中国跳水梦之队圆满结束了东京奥运之族。小将全红婵“一鸣惊人”在女子10米跳水决赛中上演“水花消失术”以三跳满分的成绩拿到这个项目的最高分，在赛后的一次新老运动员直播连线时一名老将说： “我比你大10岁。”小将全红婵说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次。这名老将今年 岁。
【答案】24
【知识点】年龄问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得
10÷（2－1）
＝10÷1
＝10（岁）
10＋4＝14（岁）
14＋10＝24（岁）
这名老将今年24岁。
故答案为：24
【分析】年龄差不会变，根据年龄差和倍数关系，可以求出上次年龄差对应的倍数差，用除法即可求出上次小将全红婵的年龄，再加上4年就是今年的年龄，再加上10岁就是这名老将的年龄。
18．（2024.3.29·科学城八中）妈妈让鹏鹏去超市买一些水果。回家后妈妈问鹏鹏买了几个水果，鹏鹏说，自己买的水果除了6个不是火龙果剩下全是火龙果，除了7个不是桔子剩下全是桔子，除了8个不是梨子剩下全是梨子，除了9个不是桃子剩下全是桃子，那么鹏鹏到底买了 个桔子。
【答案】3
【知识点】差倍问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得
（6＋7＋8＋9）÷（4－1）
＝30÷3
＝10（个）
10－7＝3（个）
答： 鹏鹏买了3个桔子
故答案为：3
【分析】因为水果总数=火龙果+6=桔子+7=梨子+8=桃子+9，火龙果+6+桔子+7+梨子+8+桃子+9=4x水果总数，所以水果总数= （6+7+8+9） ÷（4-1）
19．（2024.3.29·科学城八中）一个等腰三角形底和高的比是8：3，如果沿着它的高剪开后，拼成一个长方形，这个长方形的面积是192平方厘米，然后再把拼成的长方形卷成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积 立方厘米（π＝3）
【答案】256
【知识点】长方形的面积；圆柱的体积（容积）；比的应用
【解析】【解答】 解：设等腰三角形底和高分别是8x、3x厘米，
8x×3x÷2=192，
12x2=192，
x2=192÷12，
x2=16，
x=4；
8×4=32（厘米），
3×4=12（厘米）；
圆柱的底面半径是：32÷2÷π÷2=（厘米），
圆柱的体积是：π（）2×12，
=×12，
=×12，
=256（立方厘米）；
圆柱的体积是256立方厘米．
故答案为：256
【分析】 长方形卷成一个最大的圆柱，这个圆柱应以长方形的长边为底面周长，短边为高；这个长方形的长即最大的圆柱的底面周长等于等腰三角形底的一半，因此根据面积不变列方程：8x×3x÷2=192，就可以求出圆柱的底面周长和高，进而可以求出半径；然后根据圆柱的体积公式V=sh代入数据即可解答．
20．（2024.3.29·科学城八中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为m厘米，宽为n厘米）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 厘米。（用带有m和n的字母来代替）
【答案】4n
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】 解：设小长方形的长为a，宽为b，
上面的长方形周长：2（m-a+n-a），下面的长方形周长：2（m-2b+n-2b），
两式联立，总周长为：2（m-a+n-a）+2（m-2b+n-2b）=4m+4n-4（a+2b），
∵a+2b=m（由图可得），
∴阴影部分总周长为4m+4n-4（a+2b）=4m+4n-4m=4n（厘米）．
故答案为：4n．
【分析】 设图①小长方形的长为a，宽为b，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和，根据题意得到a+2b=m，代入计算即可得到结果．
二、计算题(共6 题, 每小题3分, 共18分)80 图②
21．（2024.3.29·科学城八中）计算下面各题。(能简算的要简算)
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：原式=
=
=
=
=
（2）解：原式=
=
=194
（3）解：原式=
=
=
=
（4）解：原式=
=
=3
（5）解：原式=
=
=
=
=4
（6）解：原式=
=
=
=
【知识点】分数的巧算；分数加减混合运算及应用；分数与分数相乘；分数乘法与分数加减法的混合运算；分数除法与分数加减法的混合运算；分数乘法运算律；分数裂项
【解析】【分析】（1）将除法换算成乘法，然后再进行约分，运算即可
（2）利用乘法分配律，将式子进行变形：，最后再进行约分运算即可
（3）将拆分成，然后再利用乘法分配律，对式子进行变形：，最后再进行约分运算即可；
（4）先将带分数化成假分数：，然后再将式子转变下分式形式：，最后再进行约分即可
（5）先对小括号里面的分式进行通分运算，然后再将中括号里面的除法换算成乘法，最后再进行运算即可
（6）对分式进行裂项：，然后再进行运算即可
三、解决问题(共7题，每小题6分，共42分
22．（2024.3.29·科学城八中）在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段，，求三角形BEF的面积。
【答案】解：根据题干分析可得：
×（3×6+2×3+4×6），
=×（18+6+24），
=×48，
=24，
6×6-24，
=36-24，
=12，
答： 三角形BEF的面积是12．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】 ① 三角形BEF的面积 =正方形的面积-（△ABE的面积+△EDF的面积+△BCF的面积）；
②AE=3，DF=2，所以可得：ED=6-3=3，CF=6-2=4，由此可以求得这三个三角形的面积之和为：×（3×6+2×3+4×6），由此即可求出三角形BEF的面积 ．
23．（2024.3.29·科学城八中）秋冬季节来临，我国很多地方出现了雾霾天气，加之国内疫情反复，口罩仍是供不应求。下面是小商品批发市场KN95 口罩批发信息。张老板从批发市场共批发口罩12捆，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的，第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩。除去运输、人员工资等支出320元，张老板一共赚多少元？
口罩批发信息 1.10捆起批（每捆口罩50只） 2. 每捆批发价100元 3.超过10捆，超过部分每捆优惠
【答案】解：=1180（元）
=2200（元）
2200-1180-320=700（元）
答：张老板一共赚700元。
【知识点】分数乘法的应用；分段计费问题
【解析】【分析】首先计算出口罩的进价成本，即“10捆口罩，每捆100元，超过10捆，超过部分每捆优惠 “，列式为=1180（元）；再计算出总收入，即“ 共批发口罩12捆，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的 第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩 ”，列式为=2200（元）。最后根据公式“利润=收入-成本-其他支出”，列式为2200-1180-320=700（元）。
24．（2024.3.29·科学城八中）3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？
【答案】解：第二只猴子吃了总数的：（1-）×=，
第三只猴子吃了总数的：（1--）×=，
剩下6个桃子占总数的：1---=，
桃子的总数：6÷=18（个）．
答：篮里原有桃子18个．
【知识点】分数乘法的应用
【解析】【分析】 由题得第一只猴子吃了那么第二只猴子吃了总数的（1-）×，第三只猴子吃了总数的（1--）×，然后找出剩下6个桃子占总数的几分之几即可．
25．（2024.3.29·科学城八中）一批商品，按期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售，这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82%，问：打了多少折扣？
【答案】解：设现价是原价的x%
（0.7×1.5+0.3×1.5x%-1）÷0.5=0.82
0.05+0.45x%=0.41
x=80
80%=八折
答：打了八折。
【知识点】列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【分析】 此题因为商品件数和原价都不知道，所以可以把商品件数和单价都看成单位“1”，然后列出等式求解。
26．（2024.3.29·科学城八中）如， 长方形ABCD的周长为40， 和 都是等腰直角三角形，且每个面积都是16，连接AF、DE、EC、FB，那么形成的阴影部分的面积是多少？
【答案】解：如图，连接EF并两端延长交AB、CD于点G、H
等腰三角形ABE的面积为16，
因为， AB2=64，则这个等腰直角三角形的斜边（也是长方形ABCD的宽）为AB=8，
GE=FH=4，进一步得到AD=12，AD：EF=12：4=3：1
按比例、利用蝴蝶定理如图标记面积
长方形ABCD的面积为8×12 =96，梯形ADFE的面积为（96-16×2）+2=32，从而得到阴影部分的面积为
答：阴影部分的面积是16
【知识点】组合图形面积的巧算；三角形的面积
【解析】【分析】图中求阴影部分面积，已知的却是长方形的周长，可以从两个等腰直角三角形的面积，得到长方形的宽的长度，从而得到长方形的长的长度。再连接EF，可以在上面梯形AEFD和下面梯形EFCB中使用蝴蝶定理
27．（2024.3.29·科学城八中）三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分。考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少，各科都是如此记分。已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分。并且已知乙英语考试得了第一名，网数学第二是谁？
【答案】解：由乙英语第一，至少乙得3分，且总分为9分。所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分。
又由甲总分为22分，所以考试科目不少于3科。
因为三人共得40分，而每科分配得分情况相同，故考试科目数应是40的约数，而3，6，7都不是40的约数，所以只可能是4科或5科。
若4科，每科共为10分。按名次分配应有4种：（7，2，1），（6，3，1），（5，4，1），（5，3，2）。
由甲共得22分，且至多有3科第一（英语不是第一），则后三种情况不成立，因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了22分。
又由乙得9分，且英语第一。如果按（7，2，1）分配，即便其他三科都是最后一名，得1分，总分也超过9分。
所以，以上几种情况不能成立。
若是5科，每科共为8分，按名次分配只有两种：（5，2，1）；（4，3，1）；
而后一种也不能成立，原因仍然是不能与甲22分吻合。
所以只有（5，2，1）符合题意。
按照这种分配方案：乙的得分情况是5，1，1，1，1。
甲的得分情况是5，5，5，5，2，且得2分的科目只能是英语，所以数学第二只能是丙。
【知识点】策略问题
【解析】【分析】由乙英语第一，可以得到科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分；由甲得的分数，可以得到考试科目不少于3科。由三人得到的一共得到的分数40分，考试科目数应是40的约数，考试科目只能是4科或5科。然后分情况讨论即可。
28．（2024.3.29·科学城八中）童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负责配送药物，只要护士下单，它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问
（1）第三次相遇距离B点多远？
（2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？
【答案】（1）解：乐乐每秒跑0.2米，童童每秒跑10.2米，两人速度比为10.2∶0.2=51∶1，所以乐乐跑1个来回的时间是童童跑51个来回的时间，所以104×3÷（10.2+0.2）×0.2
=312÷10.4×0.2
=30×0.2
=6（米）
答：第三次相遇距离B点6米。
（2）解：60÷0.2=300（秒）
104÷10.2=
28+1=29（次）
答：他们共相遇了29次。
【知识点】多次相遇与追及
【解析】【分析】（1）第三次相遇时，两人共同跑了3个来回，用路程÷速度和，算出他们跑了的时间，用速度×时间，即可算出第三次相遇时他们共同跑了多少米；
（2）用路程÷速度，算出乐乐打扫到60米处时，用时多少；童童每跑一个来回的时间是104÷10.2=（秒），用用时÷跑1个来回用时，即可算出乐乐跑的次数；乐乐跑的次数＋1，就是他们相遇的次数；据此即可解答。
1 / 12024.3.29重庆市科学城八中思维训练(1）
一、填空题(本大题共20空，每空2分，共40分
1．（2024.3.29·科学城八中）将 4、6、8、9、10、12、13、14、17填入图中的圆圈内，使得每条直线上的数之和都相等。
2．（2024.3.29·科学城八中） 。
3．（2024.3.29·科学城八中）定义一种运算，若，则 。
4．（2024.3.29·科学城八中）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有 个五角星。
5．（2024.3.29·科学城八中）已知三个合数A，B，C两两互质，且，那么的最大值为 。
6．（2024.3.29·科学城八中）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为0.5米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是 米/秒。
7．（2024.3.29·科学城八中）A，B，C，D，E五人在一次满分为100分的考试中，五人得分各不相同，且得分都是整数，已知A得94分；B是第一名；C得分是A与D的平均分；D得分是五人的平均分；E比C多2分，是第二名。那么B得了 分。
8．（2024.3.29·科学城八中）李叔叔通过网络召集了一批户外爱好者包车前往郊区爬山，租车费用由大家平摊。后来有6人因加班不能前往，于是去的每人要多出5元；临出发，又来了1人搭车，结果每人比原计划只多出4元，租车费用是 元。
9．（2024.3.29·科学城八中）为了响应国家节约粮食的号召，某学校食堂推出儿童饭和成人款的男生饭、女生饭，其种36份饭种，儿童饭份数的 等于女生饭份数的 ，等于男生饭份数的 ，儿童饭有 份。
10．（2024.3.29·科学城八中）若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克。今有载重量为1.5吨的汽车。至少需要 辆车，才能把这些箱货物一次全部运走。
11．（2024.3.29·科学城八中）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，如图图A中外面正方形的面积是16平方分米，将图B放进图A组成一个新的图C，图C中小正方形的面积是 平方分米。
12．（2024.3.29·科学城八中）一个校长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中(铁块底面与容器底面平行)，铁块还没有完全浸没时，水就满了(如下图)。这个铁块的体积是 cm2。
13．（2024.3.29·科学城八中）如图，两个三角形均为等边三角形，并且小三角形的边长是大三角形边长的一半，那么小三角形的面积与中间空白部分面积的比是 。
14．（2024.3.29·科学城八中）已知[6， 2]=8， [8， 3]=10， [11， 4]=14， [62， 51]=22； 若[22， x]=25， 则x=
15．（2024.3.29·科学城八中）小孟有10张飞行系精灵的卡片、15张草系精灵的卡片和20张火系精灵的卡片。他把这45张卡片放在袋子里，闭着眼睛向外摸卡片。那么他至少摸 张，才能保证摸出的卡片中同时有飞行系精灵和火系精灵的卡片。
16．（2024.3.29·科学城八中）一列火车驶过250米长的隧道用了20秒。若将火车的速度提高一半，则通过长330米的隧道只用了16秒，则这列火车的全长为 来，火车行驶的速度为 米。
17．（2024.3.29·科学城八中）中国跳水梦之队圆满结束了东京奥运之族。小将全红婵“一鸣惊人”在女子10米跳水决赛中上演“水花消失术”以三跳满分的成绩拿到这个项目的最高分，在赛后的一次新老运动员直播连线时一名老将说： “我比你大10岁。”小将全红婵说：“上次你比我大一倍。”运动会四年开一次。这名老将今年 岁。
18．（2024.3.29·科学城八中）妈妈让鹏鹏去超市买一些水果。回家后妈妈问鹏鹏买了几个水果，鹏鹏说，自己买的水果除了6个不是火龙果剩下全是火龙果，除了7个不是桔子剩下全是桔子，除了8个不是梨子剩下全是梨子，除了9个不是桃子剩下全是桃子，那么鹏鹏到底买了 个桔子。
19．（2024.3.29·科学城八中）一个等腰三角形底和高的比是8：3，如果沿着它的高剪开后，拼成一个长方形，这个长方形的面积是192平方厘米，然后再把拼成的长方形卷成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积 立方厘米（π＝3）
20．（2024.3.29·科学城八中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为m厘米，宽为n厘米）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 厘米。（用带有m和n的字母来代替）
二、计算题(共6 题, 每小题3分, 共18分)80 图②
21．（2024.3.29·科学城八中）计算下面各题。(能简算的要简算)
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
三、解决问题(共7题，每小题6分，共42分
22．（2024.3.29·科学城八中）在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段，，求三角形BEF的面积。
23．（2024.3.29·科学城八中）秋冬季节来临，我国很多地方出现了雾霾天气，加之国内疫情反复，口罩仍是供不应求。下面是小商品批发市场KN95 口罩批发信息。张老板从批发市场共批发口罩12捆，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的，第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩。除去运输、人员工资等支出320元，张老板一共赚多少元？
口罩批发信息 1.10捆起批（每捆口罩50只） 2. 每捆批发价100元 3.超过10捆，超过部分每捆优惠
24．（2024.3.29·科学城八中）3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？
25．（2024.3.29·科学城八中）一批商品，按期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售，这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82%，问：打了多少折扣？
26．（2024.3.29·科学城八中）如， 长方形ABCD的周长为40， 和 都是等腰直角三角形，且每个面积都是16，连接AF、DE、EC、FB，那么形成的阴影部分的面积是多少？
27．（2024.3.29·科学城八中）三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分。考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少，各科都是如此记分。已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分。并且已知乙英语考试得了第一名，网数学第二是谁？
28．（2024.3.29·科学城八中）童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负责配送药物，只要护士下单，它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问
（1）第三次相遇距离B点多远？
（2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】数字问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵每条直线上的数之和都相等，
∴C+14+F=6+E+F，
∴E-C=8，
∴E=17，C=9，
∵计算可得4、6、8、9、10、12、13、14、17的和除以3等于31是每条直线上的数之和，
∴F=31-6-17=8，
∴D=31-4-14=13，
∴B=31-13-6=12，
∴A=31-12-9=10．
【分析】 根据每条直线上的数之和都相等，求得E-C=8，再依次求即可．
2．【答案】
【知识点】裂项
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=
故答案为：
【分析】可以用裂项拆分的方法，把原式变为，再消项进行简便计算即可求出结果。
3．【答案】2.35
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】 解：7m+3×7=37.45
7m+21=37.45
7m=37.45-21
7m=16.45
m=2.35
故答案为：2.35。
【分析】 根据题意，7#m=7m+3×7=37.45，求出m的值即可。
4．【答案】6067
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】 解：∵第一个图形五角星数目：1+3=1+3×1，
第二个图形五角星数目：1+3+3=1+3×2，
第三个图形五角星数目：1+3+3+3=1+3×3，
第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3=1+3×4，
……
第n个图形五角星数目：1+3+3+ +3=1+3×n=1+3n，
∴第2022个图形中五角星数目为：1+3×2022=6067．
故答案为：6067．
【分析】 第一个图形五角星数目：1+3=1+3×1，第二个图形五角星数目：1+3+3=1+3×2，第三个图形五角星数目：1+3+3+3=1+3×3，第四个图形五角星数目：1+3+3+3+3=1+3×4，……，得出第n个图形五角星数目：1+3+3+ +3=1+3×n，即可得出第2022个图形中五角星数目．
5．【答案】1626
【知识点】最大与最小；分解质因数
【解析】【解答】 ：因为11011×28=（11×11×13×7）×（2×2×7）=（11×11×13）×（7×7）×（2×2），
要使A+B+C最大，且A、B、C为两两互质的合数，则A=11×11×13=1573，B=7×7=49，C=2×2=4，
那么A+B+C=1626．
故答案为：1626．
【分析】 因为A×B×C=（11×11×13×7）×（2×2×7）=（11×11×13）×（7×7）×（2×2），要满足是合数和两两互质，则A+B+C的最大值是11×11×13+7×7+2×2=1626．据此解答．
6．【答案】6
【知识点】流水行船基础
【解析】【解答】 解：设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒，
根据题意得：55×60（x+0.5）=65×60（x-0.5），
解得：x=6，
∴骑士号在静水中的航行速度是6米/秒．
故答案为：6．
【分析】 设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒，由两船往返的时间均为10-8=2小时（即120分钟）及两船同向行驶的时间是10分钟，可得出任一船顺流航行时间是55分钟，逆流航行时间为65分钟，利用航程=航速×时间，结合两港之间的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
7．【答案】98
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】 解：∵C得分是A与D的平均分，
∴C得分在A与D的得分之间，
若A＞D，则C＞D，D为最低分，与D得分是五人的平均分矛盾，舍去，
若A＜D，则A＜C＜D，
∵A得94分最低，
∴其他4个人的分数在95到100分之间，
∵A的得分是94分是偶数，C得分是A与D的平均分且为整数，故D的得分为96分或98分，
若D的得分是98分，则C的得分=（94+98）÷2=96（分），
∵E比C多2分，
∴E的得分=96+2=98，
∵B是第一名，
∴B的得分是99分或100分，
当B的得分=99时，五人的平均分=（94+99+96+98+98）÷5=97≠D的得分，
当B的得分=100时，五人的平均分=（94+100+96+98+98）÷5=97.2≠D的得分，
若D的得分=96时，则C的得分=（94+96）=95（分），E的得分=95+2=97，由96×5=（94+B的得分+95+96+97）=98，
综上所述，B的得分是98分，
故答案为：98．
【分析】 根据题意，分两步同理，第一步根据已知条件推出A外的4个人的分数在95到100分之间，第二步，先推出“D的得分是偶数”，是96或98，于是得到结果．
8．【答案】600
【知识点】列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【解答】 解：由题意，设原计划有x人参加，每人出y元，
∴
∴
∴
∴xy=30×20=600（元）．
答：租车费用是600元．
故答案为：600．
【分析】 依据题意，设原计划有x人参加，每人支出的费用为y元，根据总费用相同列出方程求解即可．
9．【答案】8
【知识点】分数除法的应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，儿童饭有：
=
=
=
=
=
＝8（份）
答：儿童饭有8份
故答案为：8
【分析】根据题意，儿童饭份数的等于女生饭份数的，等于男生饭份数的，把儿童饭的份数看作单位“1”，则女生饭份数是儿童饭的，男生饭的份数是儿童饭的，则一共有份，对应的是36份，用，即可解答。
10．【答案】16
【知识点】除数是小数的小数除法；不等式
【解析】【解答】 解：19.5吨=19500千克，1.5吨=1500千克，
最有利情况，每箱货物的重量能被1500千克整除，则每辆车都能满载，
需要19.5÷1.5=13（辆），
最不利情况，每辆车都不能满载，则空载量最大，
因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱，每箱300千克，每车能装5箱，如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了，此时，每车载重301×4=1204千克，空载1500-1204=296千克，19500÷1204=16 236，也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装16车后，因为每辆车空载296千克，所以余下236千克可以装在任意一辆车中．
至少需要16辆车才能把这些货物一次运走．
故答案为：16
【分析】 汽车的载重量是1.5吨，如果每箱的重量是300千克（或＜1500的＜353的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了1.5吨货物，这是最有利的情况，此时需要汽车19.5÷1.5=13（辆），如果装箱的情况不能是汽车满载，那么13辆汽车就不能把这批货物一次运走，为了确保把这些货物一次运走，需要从最不利的情况来考虑，最不利的情况就是使每辆车晕的尽量少，即空载最多，因为353×4＜1500，所以每辆车至少装4箱，每箱300千克，每车能装5箱，如果每箱比300千克略多一点，比如301千克，那么每车就只能装4箱了，此时，每车载重301×4=1204千克，空载1500-1204=296千克，19500÷1204=16 236，也就是说，19.5吨货物按最不利的情况，装16车后，因为每辆车空载296千克，所以余下236千克可以装在任意一辆车中．综上所述，16辆车可确保将这批货品一次运走．
11．【答案】8
【知识点】正方形的面积
【解析】【解答】解：16÷2=8（平方分米），
图C中小正方形的面积是8平方分米．
故答案为：8．
【分析】 图A中外面正方形的面积是16平方分米，如图分割，图C中外面大正方形的边长等于小正方形的对角线的长度，平均分成四份，小正方形的面积就是大正方形面积的一半，据此解答即可．
12．【答案】400
【知识点】水中浸物模型
【解析】【解答】解：根据题意，可得
10×10×10-10×10×7
＝1000-700
＝300（cm3）
300÷6＝50（cm2）
50×8＝400（cm3）
答：这个铁块的体积是400cm3。
故答案为：400
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，先求出水深7cm时的水的体积；当放入一个铁块水满时的体积是正方体容器的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出此时的体积包含浸没在水中6cm高的铁块的体积与原来水的体积两部分，所以减去原来水的体积，就是浸没在水中6cm高的铁块的体积；再根据长方体的底面积＝体积÷高，其中高是6cm，得到铁块的底面积；最后用铁块的底面积乘高8cm，求出这个铁块的体积。
13．【答案】1：3
【知识点】比的应用
【解析】【解答】 解：设大三角形的边长为a，高为h，
那么小三角形的边长是a÷2，高是h÷2，
大三角形的面积：a×h÷2=ah，
小三角形的面积：（a÷2）×（h÷2）÷2=ah，
小三角形的面积与大三角形面积的比是：ah：ah=1：4；
小三角形的面积与大三角形面积的比是1：4；
小三角形的面积与中间空白部分面积的比是1：3
故答案为：1：3．
【分析】 设大三角形的边长为a，高为h，那么小三角形的边长是a÷2，高是h÷2，由此根据三角形的面积公式S=ah，分别求出大三角形与小三角形的面积，再写出对应的比即可．
14．【答案】9.5
【知识点】定义新运算；算式的规律
【解析】解：根据题意，可得
[22，x]=2×（22-x）=25
解得，x=9.5
【分析】观察题目给出的几组式子，可以总结出规律[a，b]=2（a-b），据此求解即可。
15．【答案】36
【知识点】鸽巢问题（抽屉原理）
【解析】【解答】 解：根据题干分析可得：
15+20+1=36（张）
至少需要取36张．
故答案为：36
【分析】 把三种卡片看做三个抽屉，考虑最差情况：15张草系精灵和20张火系精灵的卡片全部摸出，此时只剩下10张飞行系精灵，只要再任取一张，就能保证取出的卡片中同时有飞行系精灵和火系精灵的卡片，即至少要取15+20+1=36（张），据此即可解答问题．
16．【答案】150；20
【知识点】列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】解：设火车的长度为x米，
根据题意，得
解得x=150，
（米/秒）
故答案为：150；20．
【分析】两次通过火车的长度不变，根据速度有等量关系：
17．【答案】24
【知识点】年龄问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得
10÷（2－1）
＝10÷1
＝10（岁）
10＋4＝14（岁）
14＋10＝24（岁）
这名老将今年24岁。
故答案为：24
【分析】年龄差不会变，根据年龄差和倍数关系，可以求出上次年龄差对应的倍数差，用除法即可求出上次小将全红婵的年龄，再加上4年就是今年的年龄，再加上10岁就是这名老将的年龄。
18．【答案】3
【知识点】差倍问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得
（6＋7＋8＋9）÷（4－1）
＝30÷3
＝10（个）
10－7＝3（个）
答： 鹏鹏买了3个桔子
故答案为：3
【分析】因为水果总数=火龙果+6=桔子+7=梨子+8=桃子+9，火龙果+6+桔子+7+梨子+8+桃子+9=4x水果总数，所以水果总数= （6+7+8+9） ÷（4-1）
19．【答案】256
【知识点】长方形的面积；圆柱的体积（容积）；比的应用
【解析】【解答】 解：设等腰三角形底和高分别是8x、3x厘米，
8x×3x÷2=192，
12x2=192，
x2=192÷12，
x2=16，
x=4；
8×4=32（厘米），
3×4=12（厘米）；
圆柱的底面半径是：32÷2÷π÷2=（厘米），
圆柱的体积是：π（）2×12，
=×12，
=×12，
=256（立方厘米）；
圆柱的体积是256立方厘米．
故答案为：256
【分析】 长方形卷成一个最大的圆柱，这个圆柱应以长方形的长边为底面周长，短边为高；这个长方形的长即最大的圆柱的底面周长等于等腰三角形底的一半，因此根据面积不变列方程：8x×3x÷2=192，就可以求出圆柱的底面周长和高，进而可以求出半径；然后根据圆柱的体积公式V=sh代入数据即可解答．
20．【答案】4n
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】 解：设小长方形的长为a，宽为b，
上面的长方形周长：2（m-a+n-a），下面的长方形周长：2（m-2b+n-2b），
两式联立，总周长为：2（m-a+n-a）+2（m-2b+n-2b）=4m+4n-4（a+2b），
∵a+2b=m（由图可得），
∴阴影部分总周长为4m+4n-4（a+2b）=4m+4n-4m=4n（厘米）．
故答案为：4n．
【分析】 设图①小长方形的长为a，宽为b，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和，根据题意得到a+2b=m，代入计算即可得到结果．
21．【答案】（1）解：原式=
=
=
=
=
（2）解：原式=
=
=194
（3）解：原式=
=
=
=
（4）解：原式=
=
=3
（5）解：原式=
=
=
=
=4
（6）解：原式=
=
=
=
【知识点】分数的巧算；分数加减混合运算及应用；分数与分数相乘；分数乘法与分数加减法的混合运算；分数除法与分数加减法的混合运算；分数乘法运算律；分数裂项
【解析】【分析】（1）将除法换算成乘法，然后再进行约分，运算即可
（2）利用乘法分配律，将式子进行变形：，最后再进行约分运算即可
（3）将拆分成，然后再利用乘法分配律，对式子进行变形：，最后再进行约分运算即可；
（4）先将带分数化成假分数：，然后再将式子转变下分式形式：，最后再进行约分即可
（5）先对小括号里面的分式进行通分运算，然后再将中括号里面的除法换算成乘法，最后再进行运算即可
（6）对分式进行裂项：，然后再进行运算即可
22．【答案】解：根据题干分析可得：
×（3×6+2×3+4×6），
=×（18+6+24），
=×48，
=24，
6×6-24，
=36-24，
=12，
答： 三角形BEF的面积是12．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】 ① 三角形BEF的面积 =正方形的面积-（△ABE的面积+△EDF的面积+△BCF的面积）；
②AE=3，DF=2，所以可得：ED=6-3=3，CF=6-2=4，由此可以求得这三个三角形的面积之和为：×（3×6+2×3+4×6），由此即可求出三角形BEF的面积 ．
23．【答案】解：=1180（元）
=2200（元）
2200-1180-320=700（元）
答：张老板一共赚700元。
【知识点】分数乘法的应用；分段计费问题
【解析】【分析】首先计算出口罩的进价成本，即“10捆口罩，每捆100元，超过10捆，超过部分每捆优惠 “，列式为=1180（元）；再计算出总收入，即“ 共批发口罩12捆，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的 第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩 ”，列式为=2200（元）。最后根据公式“利润=收入-成本-其他支出”，列式为2200-1180-320=700（元）。
24．【答案】解：第二只猴子吃了总数的：（1-）×=，
第三只猴子吃了总数的：（1--）×=，
剩下6个桃子占总数的：1---=，
桃子的总数：6÷=18（个）．
答：篮里原有桃子18个．
【知识点】分数乘法的应用
【解析】【分析】 由题得第一只猴子吃了那么第二只猴子吃了总数的（1-）×，第三只猴子吃了总数的（1--）×，然后找出剩下6个桃子占总数的几分之几即可．
25．【答案】解：设现价是原价的x%
（0.7×1.5+0.3×1.5x%-1）÷0.5=0.82
0.05+0.45x%=0.41
x=80
80%=八折
答：打了八折。
【知识点】列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【分析】 此题因为商品件数和原价都不知道，所以可以把商品件数和单价都看成单位“1”，然后列出等式求解。
26．【答案】解：如图，连接EF并两端延长交AB、CD于点G、H
等腰三角形ABE的面积为16，
因为， AB2=64，则这个等腰直角三角形的斜边（也是长方形ABCD的宽）为AB=8，
GE=FH=4，进一步得到AD=12，AD：EF=12：4=3：1
按比例、利用蝴蝶定理如图标记面积
长方形ABCD的面积为8×12 =96，梯形ADFE的面积为（96-16×2）+2=32，从而得到阴影部分的面积为
答：阴影部分的面积是16
【知识点】组合图形面积的巧算；三角形的面积
【解析】【分析】图中求阴影部分面积，已知的却是长方形的周长，可以从两个等腰直角三角形的面积，得到长方形的宽的长度，从而得到长方形的长的长度。再连接EF，可以在上面梯形AEFD和下面梯形EFCB中使用蝴蝶定理
27．【答案】解：由乙英语第一，至少乙得3分，且总分为9分。所以科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分。
又由甲总分为22分，所以考试科目不少于3科。
因为三人共得40分，而每科分配得分情况相同，故考试科目数应是40的约数，而3，6，7都不是40的约数，所以只可能是4科或5科。
若4科，每科共为10分。按名次分配应有4种：（7，2，1），（6，3，1），（5，4，1），（5，3，2）。
由甲共得22分，且至多有3科第一（英语不是第一），则后三种情况不成立，因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了22分。
又由乙得9分，且英语第一。如果按（7，2，1）分配，即便其他三科都是最后一名，得1分，总分也超过9分。
所以，以上几种情况不能成立。
若是5科，每科共为8分，按名次分配只有两种：（5，2，1）；（4，3，1）；
而后一种也不能成立，原因仍然是不能与甲22分吻合。
所以只有（5，2，1）符合题意。
按照这种分配方案：乙的得分情况是5，1，1，1，1。
甲的得分情况是5，5，5，5，2，且得2分的科目只能是英语，所以数学第二只能是丙。
【知识点】策略问题
【解析】【分析】由乙英语第一，可以得到科目不会多于7科，且每科第一名至多得8分；由甲得的分数，可以得到考试科目不少于3科。由三人得到的一共得到的分数40分，考试科目数应是40的约数，考试科目只能是4科或5科。然后分情况讨论即可。
28．【答案】（1）解：乐乐每秒跑0.2米，童童每秒跑10.2米，两人速度比为10.2∶0.2=51∶1，所以乐乐跑1个来回的时间是童童跑51个来回的时间，所以104×3÷（10.2+0.2）×0.2
=312÷10.4×0.2
=30×0.2
=6（米）
答：第三次相遇距离B点6米。
（2）解：60÷0.2=300（秒）
104÷10.2=
28+1=29（次）
答：他们共相遇了29次。
【知识点】多次相遇与追及
【解析】【分析】（1）第三次相遇时，两人共同跑了3个来回，用路程÷速度和，算出他们跑了的时间，用速度×时间，即可算出第三次相遇时他们共同跑了多少米；
（2）用路程÷速度，算出乐乐打扫到60米处时，用时多少；童童每跑一个来回的时间是104÷10.2=（秒），用用时÷跑1个来回用时，即可算出乐乐跑的次数；乐乐跑的次数＋1，就是他们相遇的次数；据此即可解答。
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