第1章集合、常用逻辑用语与不等式第1节集合
考点一：元素与集合
（1）集合元素的三个特性： 确定性 、 无序性 、 互异性 ；
（2）集合的三种表示方法： 列举法 、 描述法 、 图示法 ；
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ；不属于，记为 ；
（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数 集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示 整数 集，Q表示 有理数 集，R表示实数集.
提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一个集合.（ √ ）
（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（ × ）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（ × ）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（ × ）
2.已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（ ）（确定性）
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：（1）因为A＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6个元素.故选C.
3.训练T1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，则集合A中的元素个数为（ ）（确定性）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：C 因为x∈Z，且∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.故选C.
4.设集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若∈A，则a＝ 1或 .（确定性）
解析：由题得A＝{－1，5}，则＝－1或＝5，解得a＝1或.
5.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝ 1或4 .（互异性）
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
6.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（ ）（互异性）
A.0 B.1 C.2 D.4
解析：（2）由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2.
7.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝ － .（互异性）
解析：令m＋2＝3，得m＝1，此时2m2＋m＝3，不合题意.令2m2＋m＝3，得m＝－或m＝1（舍去）.若m＝－，则m＋2＝，满足条件，所以m＝－.
8.若，则 ．（互异性）
【答案】2【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.
【详解】因为，所以或，若，，不满足互异性；
若或2，又，所以，故答案为：2.
9.若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ．（互异性）
【答案】且且【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由元素的互异性，可知，解得:且且.故答案为：且且
10.已知集合，若，则实数 .（互异性）
【答案】0【分析】讨论、求参数，结合集合的性质确定参数值.
【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性；
若，则，故，满足题设，所以.故答案为：0
11.集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
【答案】或【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.
【详解】由方程，则或，当存在两个相等的实数根时，，解得，此时方程的解为，符合题意；
当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，
此时，则方程另一个解为，符合题意.
综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.故答案为：或.
12.若，则 .
【答案】【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，∵集合中有元素，∴，又∵，∴，则，
∴，∴，解得：或，当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，，满足，∴，则.
故答案为：.
考点二：集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 符号语言 图形语言
子集 集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素 A （或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A A B（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒（1）A B包含两层含义：A B或A＝B；（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 两种情况讨论，不要忽略A＝ 的情况.（2）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集.（ × ）
（二2）P5自测T3.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（ ）
A.2∈P B.P＝{－2，2} C.{ } P D.P N
解析：AB P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正确. 不是P中的元素，故C错误.因为－2 N，故P N错误，故D错误.
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，则满足A C B的集合C的个数为（ ）
A.4 B.6 C.7 D.8
解析：C ∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A C B，∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个.
3.已知集合，，若，则 .
【答案】【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案.
【详解】依题意可知，由于，所以，此时，
所以，解得或（舍去），所以.故答案为：.
4.已知集合，，若，则 ．
【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.
【详解】集合，，由，得，又，
因此，所以.故答案为：3
5.已知集合，则的取值集合为 .
【答案】【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值.
【详解】由题意可知：，因为,所以当时，；
当时，则,则或，解得或，综上得，a的取值集合是.故答案为：
6.已知集合，，则的概率为 ．
【答案】【分析】根据给定条件，利用列举法写出样本空间的所有样本点，再结合一元二次方程解集确定事件发生的样本点即得.【详解】等价于，记该事件为，
由于，，因而取值情况如表所示．
1 2 3
1
2
3
样本空间共有9个样本点，方程的判别式，
当取，，，，，时，，则，；
当取时，，，；
当取时，，但方程有两个无理根，不符合题意；
当取时，，，，
因此事件有8个样本点，那么所求概率．故答案为：
7．已知集合，，则的子集个数 ．
【答案】【分析】解不等式可得集合与，进而可得及其子集个数.
【详解】由已知，，
所以，所以的子集个数为，故答案为：.
考点三：集合的基本运算
类别 表示 并集 交集 补集
图形语言
符号语言 A∪B＝ {x｜x∈A，或x∈B} A∩B＝{x｜x∈A， 且x∈B} UA＝ {x｜x∈U，且x A}
常用结论：
1.子集的传递性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
3.等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
1.（2023·全国乙卷2题）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（ ）
A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U
解析：A 因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以 UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}.故选A.
2.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝ R ，A∩B＝ {x｜－1＜x≤1或4≤x＜5} .
解析：因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，借助数轴如图①，
所以A∪B＝R，如图②，所以A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}.
3.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.9
解析：C 因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论2得A∩B的子集个数为23＝8，故选C.
4.（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
解析：（1）法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法）集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
5.（2023·全国乙卷2题）设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝
A. U（M∪N） B.N∪ UM C. U（M∩N） D.M∪ UN
解析：A因为M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以 U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故选A.
6.设集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A.{x｜x＞－1} B.{x｜x≥1} C.{x｜－1＜x＜1} D.{x｜1≤x＜2}
解析：D 因为集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x｜1≤x＜2}.故选D.
7.（2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A.2∈M B.3∈M C.4 M D.5 M
解析：A 由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
8.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，则（ ）
A.P Q B.Q P C.P∩Q＝P D.P∪Q＝Q
解析：B 由题意，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}＝{－1，0，1}，P＝{x｜x＜3}，故Q P，故A错误，B正确，又P∩Q＝{－1，0，1}＝Q，P∪Q＝{x｜x＜3}＝P，故C、D错误.故选B.
9.集合A，B满足A∪B＝{2，4，6，8，10}，A∩B＝{2，8}，A＝{2，6，8}，则集合B中的元素个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：B 因为A∩B＝{2，8}，故{2，8} B，又A＝{2，6，8}，故6 B，又A∪B＝{2，4，6，8，10}，故B＝{2，4，8，10}，即集合B中的元素个数为4.故选B.
10.（多选）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则（ ）
A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x｜x≥0} C.（ UA）∩B＝{－1} D.A∩B的非空真子集个数是6
解析：ACD A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B错误； UA＝{x｜x＜－，x∈Z}，所以（ UA）∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，则A∩B的非空真子集个数是23－2＝6，故D正确.故选A、C、D.
11.（多选）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，则集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（ ）
A.M∩N B. RM C. R（M∩N） D. R（M∪N）
解析：BC 因为集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}， RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以 R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}， R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故选B、C.
12.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∩B＝ （2，3） ，A∪B＝ （1，4） ，（ RA）∪B＝ （－∞，1]∪（2，＋∞） .
解析：由已知得A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜2＜x＜4}，所以A∩B＝{x｜2＜x＜3}，A∪B＝{x｜1＜x＜4}，（ RA）∪B＝{x｜x≤1或x＞2}.
13.（2024·重庆质量调研）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－2x2≥－15}，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，则A∩ UB＝（ ）
A.［－，2） B.（－3，－］ C.（－3，3] D.（2，3]
解析：A 因为U＝R，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，所以 UB＝{x｜－3＜x＜2}，又A＝{x｜x－2x2≥－15}＝{x｜2x2－x－15≤0}＝{x｜－≤x≤3，所以A∩ UB＝{x｜－≤x＜2}，故选A.
14.已知全集，集合，，则 ．（结果用区间表示）
【答案】【分析】根据题意结合一元二次不等式可得集合，再根据集合的交集和补集运算求解.
【详解】因为，则或，
又因为，所以.故答案为：.
15.已知集合，，则 .
【答案】【分析】求得，，进而可求.
【详解】由，可得， 所以，，
由，解得， .故答案为：.
16.已知，，，则 ．
【答案】【分析】根据根号下大于等于0得到集合，再根据指数函数值域得到集合，再结合集合交并补运算即可.
【详解】由题意可得或，
，所以，所以．故答案为：.
17.已知集合，，则 .
【答案】【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】由，得到，所以，或，
又易知的定义域为，所以，所以，故答案为：.
18.已知集合，，则 ．
【答案】或【分析】由定义域可得，由一元二次不等式的解法可得，利用交集、补集运算求解即可．【详解】由题，
所以或．故答案为：或
考点四：参数问题
1.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是 （－∞，1] .
解析：如图，在数轴上表示出A，B.由结论3可得A B，所以a≤1.
2.（必修第一册第9页5（2）题改编）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.（－∞，1] C.（1，＋∞） D.（－∞，1）
解析：B 因为A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B A.用数轴表示其关系如图.所以实数a的取值范围为a≤1.故选B.
3.已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，则实数a的取值范围为 （3，＋∞） .
解析：因为A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A B.①当A＝ 时，2a－3＞a，则a＞3，满足题意；②当A≠ 时，用数轴表示其关系如图，所以即所以a不存在，综上所述，实数a的取值范围为（3，＋∞）.
4.（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为 5 .
解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，则A B，所以所以m≥5，故m的最小值为5.
5.训练T2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≥2 B.m＜2 C.m≤2 D.m＞2
解析：C ∵A＝{x｜2＜x＜3}，∴ RA＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∵（ RA）∪B＝R，∴m≤2.
6.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝
A.2 B.1 C. D.－1
解析：B 由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
7.已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜a≤x＜a＋2}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是 [－2，－1] .
解析：由题意知，若A∪B＝R，画出数轴如图，则必有解得－2≤a≤－1，即实数a的取值范围为[－2，－1].
8.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ，则所有满足条件的实数m的取值范围是（ ）
A.－≤m＜ B.m≥0 C.m≥ D.0≤m＜
解析：B 由A∩B＝ ，得：①若2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；②若2m＜1－m，即m＜时，因为A∩B＝ ，则或解得0≤m＜，综上所述m≥0.故选B.
考点五：集合的新定义问题
1（2024·长沙模拟）给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（ ）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B.正整数集是闭集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
解析：C 选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6 M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3） （A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误.
2.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝ {x｜－3≤x＜0或x＞3} .
解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
3.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是 27 .
解析：不妨令A＝{1，2，3}，因为A1∪A2＝A，当A1＝ 时，A2＝{1，2，3}，当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27（种）不同的分拆.
考点六：你中有我，我中有你（Venn图）一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（ ）
解析：A 因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A.
2.（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.[－1，3] B.（3，＋∞）C.（－∞，3] D.[－1，3）
解析：（2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（ UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故选D.
3.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为
A.{x｜x≥1} B.{x｜x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1≤x＜2}
解析：C ∵全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，∴ UB＝{x｜x≤1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x≤1}＝{x｜－1＜x≤1}.故选C.
4．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9
【答案】D【分析】利用韦恩图法即可快速求解.
【详解】设同时学习必修二和选修一的有x人，则，解得，
即同时学习必修二和选修一的有3人，则只学习必修一的有（人），故选：D.
5．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再求出，则图中阴影部分所表示的集合为.
【详解】由，即，解得，
所以，又，所以，
所以图中阴影部分所表示的集合为.故选：A
6．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断.
【详解】图中阴影部分表示的集合为.故选：D．
7．设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【分析】解不等式得到，利用补集和交集概念求出答案.
【详解】因为等价于，解得，所以，所以或，
则由韦恩图可知阴影部分表示．故选：B．
8．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人
【答案】B【分析】利用容斥原理可得.
【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合，
则参加田径运动的同学人数，参加球类运动会的同学人数，
两次运动会都参赛的同学人数，则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为
.故选：B.第1章集合、常用逻辑用语与不等式第1节集合
考点一：元素与集合
（1）集合元素的三个特性： 、 、 ；
（2）集合的三种表示方法： 、 、 ；
（3）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ；
（4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示 集，Q表示 集，R表示实数集.
提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一个集合.（ ）
（3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（ ）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（ ）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（ ）
2.已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
3.训练T1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，则集合A中的元素个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.设集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若∈A，则a＝ .
5.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝ .
6.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
7.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝ .
8.若，则 ．
9.若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ．
10.已知集合，若，则实数 .
11.集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
12.若，则 .
考点二：集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 符号语言 图形语言
子集 集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素 A （或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A A B（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒（1）A B包含两层含义：A B或A＝B；（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 两种情况讨论，不要忽略A＝ 的情况.（2）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集.（ ）
（二2）P5自测T3.（多选）已知集合P＝{x｜x2＝4}，则（ ）
A.2∈P B.P＝{－2，2} C.{ } P D.P N
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，则满足A C B的集合C的个数为（ ）
A.4 B.6 C.7 D.8
3.已知集合，，若，则 .
4.已知集合，，若，则 ．
5.已知集合，则的取值集合为 .
6.已知集合，，则的概率为 ．
7．已知集合，，则的子集个数 ．
考点三：集合的基本运算
类别 表示 并集 交集 补集
图形语言
符号语言 A∪B＝ {x｜x∈A，或x∈B} A∩B＝{x｜x∈A， 且x∈B} UA＝ {x｜x∈U，且x A}
常用结论：
1.子集的传递性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
3.等价关系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
1.（2023·全国乙卷2题）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（ ）
A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U
2.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .
3.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.9
4.（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
5.（2023·全国乙卷2题）设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝
A. U（M∪N） B.N∪ UM C. U（M∩N） D.M∪ UN
6.设集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A.{x｜x＞－1} B.{x｜x≥1} C.{x｜－1＜x＜1} D.{x｜1≤x＜2}
7.（2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A.2∈M B.3∈M C.4 M D.5 M
8.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，则（ ）
A.P Q B.Q P C.P∩Q＝P D.P∪Q＝Q
9.集合A，B满足A∪B＝{2，4，6，8，10}，A∩B＝{2，8}，A＝{2，6，8}，则集合B中的元素个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10.（多选）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则（ ）
A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x｜x≥0} C.（ UA）∩B＝{－1} D.A∩B的非空真子集个数是6
11.（多选）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，则集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（ ）
A.M∩N B. RM C. R（M∩N） D. R（M∪N）
12.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∩B＝ ，A∪B＝ ，（ RA）∪B＝ .
13.（2024·重庆质量调研）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－2x2≥－15}，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，则A∩ UB＝（ ）
A.［－，2） B.（－3，－］ C.（－3，3] D.（2，3]
14.已知全集，集合，，则 ．（结果用区间表示）
15.已知集合，，则 .
16.已知，，，则 ．
17.已知集合，，则 .
18.已知集合，，则 ．
考点四：参数问题
1.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是 .
2.（必修第一册第9页5（2）题改编）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.（－∞，1] C.（1，＋∞） D.（－∞，1）
3.已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，则实数a的取值范围为 .
4.（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为 .
5.训练T2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≥2 B.m＜2 C.m≤2 D.m＞2
6.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝
A.2 B.1 C. D.－1
7.已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜a≤x＜a＋2}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是 .
8.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ，则所有满足条件的实数m的取值范围是（ ）
A.－≤m＜ B.m≥0 C.m≥ D.0≤m＜
考点五：集合的新定义问题
1（2024·长沙模拟）给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（ ）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B.正整数集是闭集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
2.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝ .
3.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是 .
考点六：你中有我，我中有你（Venn图）一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（ ）
2.（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.[－1，3] B.（3，＋∞）C.（－∞，3] D.[－1，3）
3.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为
A.{x｜x≥1} B.{x｜x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1≤x＜2}
4．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（ ）人，只学习必修一的有（ ）人.
A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9
5．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
7．设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A． B． C． D．
8．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人
