第1章集合、常用逻辑用语与不等式第2节常用逻辑用语
考点一：1充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出关系 p q p q p q
条件关系 p是q的 条件，q是p的 条件 p不是q的 条件，q不是p的 条件 p是q的 条件，简称 条件
提醒 （1）A是B的充分不必要条件 A B且BA；（2）A的充分不必要条件是B B A且AB.
常用结论：1.1充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（ ）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（ ）
2.（2023·天津高考2题）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
3.设x∈R，则“x＞0”是“2x＞2”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.（2023·全国甲卷7题）设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.已知a，b都是实数，那么“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f（x）＝（2－a）x为增函数，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
12.（多选）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（ ）
A.xc2＞yc2 B.＜＜0 C.｜x｜＞｜y｜ D.ln x＞ln y
13．已知向量，，则“”是“或”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．命题，命题函数且在上单调，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二：1.2充分条件与必要条件求参数
1.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围是 .
2.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为 .
3.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.x∈P是x∈S的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
4.设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 .
5.（多选）使≥1成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.0＜x＜1 B.0＜x＜2 C.x＜2 D.0＜x≤2
6.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是实数.若A是B的充要条件，则b＝ ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 .
7．“”是直线和圆相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三：2全称量词和存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 的命题叫做全称量词命题 含有 的命题叫做存在量词命题
类别 全称量词 存在量词
命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“ ” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“ ”
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（ ）
2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A. x∈R，x2＋2x＋1＞0 B.对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜b C.若2x为偶数，则x∈N D.π是无理数
考点四：3.全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
简记 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定
提醒 对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（ ）
T2.已知命题p： x∈R，x＞sin x，则p的否定为（ ）
A. x∈R，x＜sin x B. x∈R，x≤sin x C. x∈R，x≤sin x D. x∈R，x＜sin x
3.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是 .
4.已知命题p： x∈R，x＝－1或x＝2，则（ ）
A. p： x R，x≠－1或x≠2 B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x∈R，x＝－1且x＝2 D. p： x R，x＝－1或x＝2
5.下列命题为真命题的是（ ）
A. x∈R，ln（x2＋1）＜0 B. x＞2，2x＞x2
C. α，β∈R，sin（α－β）＝sin α－sin β D. x∈（0，π），sin x＞cos x
6.（2024·石家庄模拟）已知命题p： x∈（0，＋∞），ln x＝1－x，则命题p的真假及 p依次为
A.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x B.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
C.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x D.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
7.命题“ x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（ ）
A. x∈R，1＜f（x）≤2 B. x∈R，1＜f（x）≤2
C. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2 D. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2
8.能说明命题“ x∈R且x≠0，x＋≥2”是假命题的x的值可以是 （写出一个即可）.
9.命题“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（ ）
A. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 B. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 D. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
考点五：常用结论：2.命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
1.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题 p是 命题（填“真”或“假”）.
2.已知命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－，0） B.（0，） C.（，＋∞） D.（1，＋∞）
3.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是 .
4.若命题“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.3
5.（多选）已知命题p： x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q： x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是（ ）
A.p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0” B.q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1＞0”
C.若p为假命题，则a的取值范围是（－∞，－5） D.若q为真命题，则m的取值范围是（－2，2）
6．若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
7．已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ．
8．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ．
9．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
10．已知命题.若为假命题，则的取值范围为 .
考点六：其它
1.已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为 .
2.已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是 .第1章集合、常用逻辑用语与不等式第2节常用逻辑用语
考点一：1充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题
推出关系 p q p q p q
条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称充要条件
提醒 （1）A是B的充分不必要条件 A B且BA；（2）A的充分不必要条件是B B A且AB.
常用结论：1.1充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系
设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（ √ ）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（ √ ）
2.（2023·天津高考2题）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析：B 由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b时，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.
3.设x∈R，则“x＞0”是“2x＞2”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：B 若2x＞2，则x＞1，因为（1，＋∞） （0，＋∞），所以由结论1得“x＞0”是“2x＞2”的必要不充分条件.故选B.
4.设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B.
5.（2023·全国甲卷7题）设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：（2）甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.
6.已知a，b都是实数，那么“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A 方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆 方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圆 a＋1＞0 a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的充分不必要条件.
7.记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：B 若数列{an}是等差数列，则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2；当数列{an}的前n项和满足S3＝3a2时，数列不一定是等差数列，如：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5；所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件，故选B.
8.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），则“m＝－3”是“a∥b”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A 若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
9.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有实根；q：函数f（x）＝（2－a）x为增函数，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：B 方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1） （－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.
10.（2023·北京高考8题）若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：C 法一 因为xy≠0，且＋＝－2 x2＋y2＝－2xy x2＋y2＋2xy＝0 （x＋y）2＝0 x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.
法二 充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2.
必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.
11.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
解析：C 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
12.（多选）下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（ ）
A.xc2＞yc2 B.＜＜0 C.｜x｜＞｜y｜ D.ln x＞ln y
解析：ABD 对于A选项，若xc2＞yc2 ，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由＜＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出＜＜0（因为x，y的正负不确定），所以“＜＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.
13．已知向量，，则“”是“或”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.
14．在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A【分析】先将代入余弦定理，利用基本不等式得到，从而得到，接着根据得到可能为钝角，不满足成等比数列，从而得答案.
【详解】当成等比数列时，，所以，当且仅当时等号成立，
又，所以，所以，充分性满足；当时，，
而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足.
则“成等比数列”是的充分不必要条件.故选：A.
15．设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】先根据空间公理确定平面；再根据面面平行的判定定理和性质可得出充分性成立；最后根据面面平行的性质及线面位置关系可得出必要性不成立.
【详解】设两条相交的直线，确定一个平面，因为，，直线，相交，，，
所以根据面面平行的判定定理可得：，又因为，，直线，相交，，，
所以根据面面平行的判定定理可得： ，所以，充分性成立；
由，，可的：，或，，必要性不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A.
16．命题，命题函数且在上单调，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可.
【详解】设，则可化为．
充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，
且当时，，在上单调递增，
当时，，此时没有意义，故充分性不成立．
必要性：若在上单调递减，则，所以在上单调递减，
且在上恒成立，所以，得，所以当时，在上单调递增；
若在上单调递增，则，所以在上单调递减，
且在上恒成立，所以，得，不符合题意，舍去.
综上可知，当函数在上单调时，，因此必要性成立．所以是的必要不充分条件．故选：B．
考点二：1.2充分条件与必要条件求参数
1.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围是 （3，＋∞） .
解析：因为“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，所以（m，＋∞）是（3，＋∞）的真子集，由图可知m＞3.
2.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为 [0，3] .
解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S P，∴解得0≤m≤3，故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
3.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.x∈P是x∈S的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P S.∴[－2，10] [1－m，1＋m].∴或∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞）.
4.设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 [2，＋∞） .
解析：由题意知{x｜1＜x＜2} {x｜（x－a）（x－1）≤0}，则a＞1，即{x｜1＜x＜2} {x｜1≤x≤a}，从而a≥2.
5.（多选）使≥1成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.0＜x＜1 B.0＜x＜2 C.x＜2 D.0＜x≤2
解析：AB 由≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.
6.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是实数.若A是B的充要条件，则b＝ ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （，＋∞） .
解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝；若A是B的充分不必要条件，则A B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞}，故＜2，即b＞，故b的取值范围是（，＋∞）.
7．“”是直线和圆相交的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】圆的圆心，半径为，若直线和圆相交，
则，解得，所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件.故选：B.
8．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A
9．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断即得.【详解】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D
10．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由，得，由必要不充分条件可得的取值范围.
【详解】由，得，因为不等式成立的一个必要不充分条件是，
所以.故选：A
11．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】解分式不等式求集合，根据必要条件有是的子集，即可求参数范围.
【详解】解不等式，即，得，故，所以的一个必要条件是，
对于A，不是的子集，故A错误；
对于B，不是的子集，故B错误；
对于C，是的子集，故C正确；
对于D，不是的子集，故D错误；故选：C
12．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意是的子集，从而求解.
【详解】，因为的充分条件是，所以，则，故选：B.
考点三：2全称量词和存在量词
类别 全称量词 存在量词
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有 全称量词 的命题叫做全称量词命题 含有 存在量词 的命题叫做存在量词命题
类别 全称量词 存在量词
命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“ x∈M，p（x） ” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“ x∈M，p（x） ”
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（ × ）
2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A. x∈R，x2＋2x＋1＞0 B.对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜b C.若2x为偶数，则x∈N D.π是无理数
解析：B 对于A， x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.
考点四：3.全称量词命题和存在量词命题的否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
简记 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 x∈M， p（x） x∈M， p（x）
提醒 对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（ √ ）
T2.已知命题p： x∈R，x＞sin x，则p的否定为（ ）
A. x∈R，x＜sin x B. x∈R，x≤sin x C. x∈R，x≤sin x D. x∈R，x＜sin x
解析：C 对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，p： x∈R，x＞sin x，则p的否定为： x∈R，x≤sin x.故选C.
3.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是 存在一个等边三角形，它不是等腰三角形 .
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形.
4.已知命题p： x∈R，x＝－1或x＝2，则（ ）
A. p： x R，x≠－1或x≠2 B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x∈R，x＝－1且x＝2 D. p： x R，x＝－1或x＝2
解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“ x∈R，x≠－1且x≠2”.
5.下列命题为真命题的是（ ）
A. x∈R，ln（x2＋1）＜0 B. x＞2，2x＞x2
C. α，β∈R，sin（α－β）＝sin α－sin β D. x∈（0，π），sin x＞cos x
（2）∵x2＋1≥1，∴ln（x2＋1）≥0，故A是假命题；当x＝3时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin（α－β）＝sin α－sin β，故C是真命题；当x＝∈（0，π）时，sin x＝，cos x＝，sin x＜cos x，故D是假命题.故选C.
6.（2024·石家庄模拟）已知命题p： x∈（0，＋∞），ln x＝1－x，则命题p的真假及 p依次为
A.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x B.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
C.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x D.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
解析：B 当x＝1时，ln x＝1－x＝0，故命题p为真命题；因为p： x∈（0，＋∞），ln x＝1－x，所以 p： x∈（0，＋∞），ln x≠1－x.
7.命题“ x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（ ）
A. x∈R，1＜f（x）≤2 B. x∈R，1＜f（x）≤2
C. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2 D. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2
解析：D 存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“ x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.
8.能说明命题“ x∈R且x≠0，x＋≥2”是假命题的x的值可以是 －1（答案不唯一） （写出一个即可）.
解析：由于当x＞0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋＝－2.
9.命题“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（ ）
A. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 B. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 D. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
解析：D 改写为 ， 改写为 ，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“ x∈R， n∈N*，都有n＞x2”.
考点五：常用结论：2.命题p和 p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
1.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题 p是 假 命题（填“真”或“假”）.
解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以 p为假命题.
2.已知命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－，0） B.（0，） C.（，＋∞） D.（1，＋∞）
解析：C 因为命题“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“ x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞.
3.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是 （－∞，－8]∪[0，＋∞） .
解析：由结论2得 x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.
4.若命题“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.3
解析：A由题意， x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因为函数h（x）＝x2－2x在（－1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1.
5.（多选）已知命题p： x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q： x∈R，x2＋mx＋1＞0，则下列说法正确的是（ ）
A.p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0” B.q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1＞0”
C.若p为假命题，则a的取值范围是（－∞，－5） D.若q为真命题，则m的取值范围是（－2，2）
解析：AD A、B选项，p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.
6．若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【详解】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.
7．已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ．
【答案】（答案不唯一）【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解.
【详解】对于，，当时，对于，，则可取任意负数，如；故答案为：.
8．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ．
【答案】【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解.【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，
不妨设，其开口向上，对称轴方程为，
则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当即时，在上单调递增，此时有，解得，
故此时满足题意的实数不存在；
情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时有，只需，解不等式组得，
故此时满足题意的实数的范围为；
情形三：当即时，在上单调递减，此时有，解得，
故此时满足题意的实数不存在；综上所述：的取值范围是.故答案为：.
9．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意可知：命题：，.是真命题，①当时，结论显然成立；
②当时，则，解得；故答案为：.
10．已知命题.若为假命题，则的取值范围为 .
【答案】【分析】首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题，从而转化为恒成立，利用导数研究最值，即可求出的取值范围.
【详解】为假命题 为真命题，故，
令，则，令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故答案为：.
考点六：其它
1.已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为 （－∞，－2] .
解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
2.已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是 （－∞，0） .
解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.
