第1章集合、常用逻辑用语与不等式第3节等式性质与不等式性质
知识梳理：
1.比较实数的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a b；如果a－b等于0，那么a b；如果a－b是负数，那么a b.反过来也成立；
（2）符号表示：a－b＞0 a b；a－b＝0 a b；a－b＜0 a b.
2.等式的基本性质
（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b b＜a；
（2）传递性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac bc；a＞b，c＜0 ac bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可开方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
考点一：比较两个数（式）的大小
解题技法 比较大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
1.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（ ）
A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N
2.比较两数的大小：＋ ＋.
3.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（ ）
A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定
4.若a＝，b＝，则a b（填“＞”或“＜”）.
5. 若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q C.p＞q D.p≥q
6.（2024·韶关模拟）已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则（ ）
A.m≥n B.m＞n C.m≤n D.m＜n
（填“＞”“＜”或“＝”）.
8.已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a 2b－（填“＞”“＜”或“＝”）.
9.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
10.（2024·渭南模拟）若a＞0，b＞0，则p＝（ab与q＝abba的大小关系是（ ）
A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q
11.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＜b≤c B.b≤c＜a C.b＜c＜a D.b＜a＜c
12.（1）已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
考点二：不等式的基本性质
1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（ ）
（2）若a＞b，则ac2＞bc2.（ ）
（3）若＞1，则a＞b.（ ）
（4）a＝b ac＝bc.（ ）
2.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A.ac＞bc B.＜ C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c
3.（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若a＜b，则ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，则＞ C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，则＞
4.（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（ ）
A.ad＞bc B.＋＜0 C.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）
5.（多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（ ）
A.b＞a＞0 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a D.b＜a＜0
6.若a，b∈R，且a＞｜b｜，则（ ）
A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞
7.已知a＋b＜0，且a＞0，则（ ）
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
8.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd C.若a＞b，则＞ D.若a＜b＜0，c＜0，则＜
9.（多选）设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
A.＞ B.ac＜bc C.a（b－c）＞b（a－c） D.＞
10．若，则使“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最小值为2
C． D．的最小值为2
12．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
13．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为4
14．已知且，．则下列关系一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
15．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
考点三：不等式性质的应用
1.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为 .
2.（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
3.已知1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是 .
4.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是 .
5.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范围.
6.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为 .第1章集合、常用逻辑用语与不等式第3节等式性质与不等式性质
知识梳理：
1.比较实数的大小
（1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a ＞ b；如果a－b等于0，那么a ＝ b；如果a－b是负数，那么a ＜ b.反过来也成立；
（2）符号表示：a－b＞0 a ＞ b；a－b＝0 a ＝ b；a－b＜0 a ＜ b.
2.等式的基本性质
（1）对称性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b b＜a；
（2）传递性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c ＞ b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac ＞ bc；a＞b，c＜0 ac ＜ bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可开方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
考点一：比较两个数（式）的大小
解题技法 比较大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
（2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
1.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（ ）
A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N
解析：A 因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故选A.
2.比较两数的大小：＋ ＞ ＋.
解析：因为（＋）2＝17＋2，（＋）2＝17＋2，所以（＋）2＞（＋）2，所以＋＞＋.
3.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（ A ）
A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定
4.若a＝，b＝，则a ＜ b（填“＞”或“＜”）.
解析：（1）∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A.
（2）易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
5. 若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q C.p＞q D.p≥q
解析：B p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·（－）＝＝，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B.
6.（2024·韶关模拟）已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则（ ）
A.m≥n B.m＞n C.m≤n D.m＜n
解析：A 由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝（－1）2＋（－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n，故选A.
＜ （填“＞”“＜”或“＝”）.
解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2＜＋，所以＜.
8.已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a ＜ 2b－（填“＞”“＜”或“＝”）.
解析：因为a≠b，a＜0，所以a－（2b－）＝＜0，所以a＜2b－.
9.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若a＞b，a＜0且b＜0，则＜（答案不唯一） .
解析：若a＞b，a＜0且b＜0，则＜，证明：－＝，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，则－＝＜0，故＜.
10.（2024·渭南模拟）若a＞0，b＞0，则p＝（ab与q＝abba的大小关系是（ ）
A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q
解析：A ＝＝＝（，若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0，∴＞1；若0＜a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，∴＞1，若a＝b，则＝1，∴p≥q.故选A.
11.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＜b≤c B.b≤c＜a C.b＜c＜a D.b＜a＜c
解析：A ∵c－b＝4－4a＋a2＝（a－2）2≥0，∴c≥b，又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，两式相减得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∴b－a＝a2＋1－a＝（a－）2＋＞0，∴b＞a，∴a＜b≤c.
12.（1）已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
解：（1）＋－（＋）＝＋＝（a－b）·（－）＝.
∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴≥0.∴＋≥＋.
（2）证明：∵bc≥ad，＞0，∴≥，∴＋1≥＋1，∴≤.
考点二：不等式的基本性质
1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（ √ ）
（2）若a＞b，则ac2＞bc2.（ × ）
（3）若＞1，则a＞b.（ × ）
（4）a＝b ac＝bc.（ × ）
2.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A.ac＞bc B.＜ C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c
解析：D 对于选项A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确.对于选项B，当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确.对于选项C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确.选项D正确，故选D.
3.（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若a＜b，则ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，则＞ C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，则＞
解析：BD A中，当c＝0时不成立，故A不正确；B中，由真分数性质知B正确；C中，因为a＞b，（－c）＜（－d），不满足不等式的同向可加性，故C不正确；D中，因为ab＜0，所以a，b异号，所以当a＞b时a＞0且b＜0，＞，故D正确.综上可知B、D正确.
4.（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（ ）
A.ad＞bc B.＋＜0 C.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）
解析：BCD 因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正确.
5.（多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（ ）
A.b＞a＞0 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a D.b＜a＜0
解析：BD 对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确.故选B、D.
6.若a，b∈R，且a＞｜b｜，则（ ）
A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞
解析：B由a＞｜b｜得，当b≥0时，a＞b，当b＜0时，a＞－b，综上可知，当a＞｜b｜时，则a＞b成立，故选B.
7.已知a＋b＜0，且a＞0，则（ ）
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
解析：A 法一 由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故选A.
法二 令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，故选A.
8.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd C.若a＞b，则＞ D.若a＜b＜0，c＜0，则＜
解析：AD 对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等号方向不变，故正确.对于B，当a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1时，ac＝bd，故错误.对于C，当c＜0时，＜，故错误.对于D，－＝，因为b－a＞0，c＜0，ab＞0，所以－＜0，即＜，故正确.故选A、D.
9.（多选）设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
A.＞ B.ac＜bc C.a（b－c）＞b（a－c） D.＞
解析：ABC 对于A，∵a＞b＞1，c＜0，∴－＝＞0，∴＞，故A正确；对于B，∵a＞b＞1，c＜0，∴ac＜bc，故B正确；对于C，∵a＞b＞1，∴a（b－c）－b（a－c）＝ab－ac－ab＋bc＝－c（a－b）＞0，∴a（b－c）＞b（a－c），故C正确；对于D，∵＜0，a＞b＞1，∴＜，故D错误.
10．若，则使“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性结合充分条件的定义即可得解.
【详解】对于A，因为，所以，选项A正确；
对于B，满足，选项错B错误；
对于C，，当时，，选项错C错误；
对于D，，因为，所以，选项D正确.故选：AD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最小值为2
C． D．的最小值为2
【答案】AD【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.
【详解】对于A，若，则，A正确;
对于B，或，因为不知道和的大小关系，B错误；
对于C，若，则，而
，但是与的大小不能确定，故C错误；
对于D，，当且仅当，即取等号，D正确.故选：AD
12．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；
对于B，因，若取，，，，则，，所以，故B错误；
对于C，因，若取，，，，则，，所以，故C错误；
对于D，因为，则，又因则，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．故选：AD．
13．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，，则的最小值为4 D．若，，，则的最小值为4
【答案】ACD【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，举反例即可判断B选项，根据基本不等式即可判断CD选项.
【详解】对于A，，，所以，故A正确；
对于B，当，时，，故B错误；
对于C，若，，，则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为4，故C正确；
对于D，因为，，，则，即，
解得，当且仅当时取得等号，故的最小值为4，故D正确．故选：ACD.
14．已知且，．则下列关系一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，利用特殊值法可排除BC，利用作差比较法可判断D选项.
【详解】由题意可知，，对于A，由，，根据同向可加性得，故A正确；
对于B，取，验证B错误；对于C，若，等式不成立，故C错误；
对于D，两式做差得，
因为，所以，所以，故D正确.故选：AD.
15．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意；
对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意；
对于C，因为，所以，即，故C符合题意；
对于D，取，但有，故D不符合题意.故选：ABC.
考点三：不等式性质的应用
1.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为 （－6，5） .
解析：∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.
2.（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 （0，13） ，ab的取值范围是 （－3，15） .
解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15.
3.已知1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是 （，） .
解析：设a＋2b＝x（a＋b）＋y（a－b），则a＋2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，即解得即a＋2b＝（a＋b）－（a－b），由1＜a＋b＜3，则＜（a＋b）＜，由0＜a－b＜2，则－2＜－（a－b）＜0，－1＜－（a－b）＜0，故＜（a＋b）－（a－b）＜.
4.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是 （－3，－1） .
解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c，因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得＜－1，所以－3＜＜－1.
5.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范围.
解：因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，所以－12＜a－b＜45.
又＜＜，则＜＜，即＜＜4.因为＝＋1，所以＜＜5.
6.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为 （，） .
解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范围是（，）.
