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5.4.4正、余弦函数的最值、值域及求参---自检定时练--解析版
单选题
1．已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（ ）．
A．－6 B．－3 C． D．
【答案】B
【分析】求得复合三角函数值域即可得解.
【详解】因为，所以，，
，，
∴，，
故选：B．
2.函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果.
【详解】如图为函数在的图象，易知，时，函数的值域为.
故选：C.
3.设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】依题意可知和分别是函数的最小值点和最大值点，可知的最小值就是函数的半周期长．
【详解】因为对于任意的，都有，所以，
即和和分别是函数的最小值点和最大值点，所以的最小值即为函数的半周期长，
而函数的最小正周期为，
因此．
故选：B.
4.若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】由题意可得当时，取得最大值，所以，可求出，再由，求出的范围，即可得出答案.
【详解】由题意可得当时，取得最大值，所以，，．
由在上单调递减，得，
所以．所以或．经检验，或均满足条件．
故选：D．
5．若存在，使，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合余弦函数的性质，得到关于的不等式，从而得解.
【详解】因为，，所以，
因为存在，使，
所以，即，
结合的图象，可得，解得.
故选：D.
6．已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简函数，求得，根据题意，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
因为，可得，
因为函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，
则满足，解得，所以的取值范围为.
故选：C.
多选题
7．已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．的周期为
D．在上值域为
【答案】AD
【分析】运用正弦型函数的性质公式计算判断即可.
【详解】最小值为，A正确；
当时，，故在上不单调，故B错误；
周期为，C错误；
时，，当,即时，
取得最小值，最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为，
故值域为，D正确.
故选：AD.
8．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由题可得，观察函数图象得出的最大值和最小值即可判断.
【详解】的定义域为，值域为，
则，则观察函数图象可得，
的最大值为，的最小值为，
，故可能是.
故选：ABC.
9．对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为1
C．的最小值为4 D．最小值为
【答案】BD
【分析】根据题意，结合基本不等式，以及对勾函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，
当且仅当时，即，显然不成立，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由，令，
可得，则函数在为单调递减函数，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，令，
可得，根据对勾函数的性质，可得在为单调递增函数，
所以，所以D正确.
故选：BD.
填空题
10.函数，的值域是 ．
【答案】
【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到，进而求得函数的值域.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
所以值域为，
综上所以．
图象为：
故答案为：
11.函数的最小值为 ．
【答案】1
【分析】利用分离常数整理函数，根据三角函数的值域以及不等式性质，可得答案.
【详解】，因为，
分母不为0，则，则，得，
故函数的最小值为1．
故答案为：.
12.若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案.
【详解】，，，
因为上恰有两个最大值，
所以，解得.
故答案为：
13.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围.
【详解】观察在上的图象，
当时，或，
当时，，
所以的最小值为：，
的最大值为：，
所以的取值范围为.
故答案为：
解答题
14.求函数的值域为.
【答案】
【分析】根据已知化简可得.换元令，可得，.根据二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】，
令，
因为，所以，
所以.
根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，有最大值.
又，，
所以的最小值为，函数的值域为.
15．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦函数的单调增区间列出不等式并求解即得.
（2）利用正弦函数的性质求出在指定区间上的值域.
【详解】（1）由，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）当时，，
则，
于是，
因此，
所以函数的值域为．
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5.4.4正、余弦函数的最值、值域及求参---自检定时练--学生版
【1】知识清单
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R
值域 [－1,1]
单调性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
最值 时，取得最大值1；时，取得最小值-1 时，取得最大值1；时，取得最小值-1
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（ ）．
A．－6 B．－3 C． D．
2.函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3.设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
4.若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．若存在，使，则正数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
多选题
7．已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．的周期为
D．在上值域为
8．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
9．对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为1
C．的最小值为4 D．最小值为
填空题
10.函数，的值域是 ．
11.函数的最小值为 ．
12.若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ．
13.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ．
解答题
14.求函数的值域为..
15．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的值域．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B C B D D C AD ABC BD
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】
【答案】
14.【答案】
15.【【答案】(1) (2)
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