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参考答案及评分说明
一、选择题。
1—5ACCDC 6—10ABCBA
二、填空题。
11.-3
12.
13.22，14（填对一空得2分，两空都对得3分）
14.①③④
15.
三、解答题。
16.解：原式=（每一个部分算对给1分，共4分）
=（5分）
=6（6分）
17.证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵∠ACB=90°
∴四边形CFDE是矩形（3分）
∵CD是∠ACB的平分线
∴DE=DF（5分）
∴四边形CFDE是正方形（6分）
18.解：设该童装4月份的销售单价为x元，依题意
（2分）
解得x=200（4分）
检验：当x=200是原分式方程的解（5分）
答：该童装4月份的销售单价为200元。（6分）
19.解：（1）（次）
∴估计她有240次成绩为A等级。（2分）
（2）记全红婵的平均成绩为，陈芋汐的平均成绩为，则
（分）（3分）
（分）（4分）
∴她们的平均分都是9.86分。
（3）选择陈芋汐，因为她的方差更小，成绩更稳定。（5分）
（4）依题意列表如下：
A A B C E
A AA AA AB AC AE
B AB AB BB BC BE
B AB AB BB BC BE
C AC AC BC CC CE
D AD AD BD CD DE
由表格可知，所有可能的结果有25种，且它们出现的可能性相等，两人成绩均不低于C等级（记为事件M）的结果有16种。（7分）
∴P(M)=
即她们本次比赛夺冠的概率为。（8分）
20.解：（1）∵点A（4，a）在直线上
∴a=1（1分）
∵点A（4，1）在双曲线上
∴m=4（2分）
（2）联立，解得，
∴B（1，4）（3分）
过点A作AP∥y轴，交x轴于点M，过点B作BP∥x轴，交y轴于点N，AP与BP交于点P，则P（4，4）。
（4分）
（5分）
（6分）
（7分）
∴（8分）
21.（1）证明：连接OD。
∵OB=OD
∴∠1=∠2
∵∠3=∠1+∠2
∴∠3=2∠1
∵∠A=2∠1
∴∠3=∠A（1分）
∵∠C=∠C
∴△CDO∽△CBA（2分）
∴∠CDO=∠CBA=90°
∴AC是 O的切线。（3分）
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DE，过点D作DG⊥BE于点G。
∵BE是 O直径，BE⊥AB
∴AB是 O切线
由切线长定理可知AB=AD
∵∠A=60°
∴△ABD为等边三角形
∠1=∠A=30°
∵cos30°=
∴BD=
∵sin∠4=
∴DF=
∴（5分）
∵∠3=∠A=60°
∴∠5=180°-∠3=120°
∴（6分）
∵sin∠1=
∴DG=
∴（7分）
∴（8分）
22.解：（1）（2分）
∵
∴（3分）
（2）∵-2<0，对称轴为x=5
由二次函数图像和性质可知，当时，S随x增大而减小。（5分）
∴当x=6时，S有最大值，且平方米。（6分）
（3）令S=42，则
解得，（8分）
∵公路宽不少于10米
∴（9分）
即AD边为3米。（10分）
23.解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形
∴AC=AB=
在Rt△ABC中，由勾股定理可知BC=（1分）
同理可求CE=（2分）
∴BE=BC+CE=（3分）
（2）由旋转可知∠BCE=90°
在Rt△BCE中，由勾股定理可知BE=
∵∠A=∠EDF=90°，∠AFB=∠DFE
∴△AFB∽△DFE
∴（5分）
设EF=x，BF=，则
解得（6分）
∴（7分）
（3）过点E作EG⊥BC的延长线于点G。
由旋转可知∠ECG=45°
又∵∠ACB=45°
∴∠FCE=180°-∠ECG-∠ACB=90°
在Rt△CGE中，sin∠ECG=
∴（8分）
∴CG=EG=1
在Rt△BGE中，由勾股定理可知（9分）
∵∠A=∠ECF=90°，∠AFB=∠CFE
∴△AFB∽△CFE（10分）
∴
∴（11分）
24.解：（1）∵点在直线上
∴m=5
∴
∵抛物线经过点，，
∴
解得
∴抛物线的解析式为（3分）
（2）设点P的横坐标为t，则
∴（4分）
（5分）
∵
∴
若，则
∴（6分）
若，则
∴（7分）
综上所述，，（8分）
（3）连接FC，易求，以及直线FC的解析式为。
（9分）
过点Q作QH∥y轴，交FC于点H。设点Q的横坐标为m，则
∴
∵，对称轴为
由二次函数的图像和性质可知，当时，有最大值，且最大值为。（11分）
∴四边形OFQC的最大面积为。（12分）中小学教育资源及组卷应用平台
2024利川市初中数学学业水平考试模拟试题
一、选择题。（每小题3分，共30分）
1.近两年，哈尔滨因将旅游业成功升华到爱国教育而火爆出圈，震撼国际社会。据统计，哈尔滨市2024年接待游客总量为135000000人次，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2.以下四个图片分别是湖北农村信用社、中国农业银行、中国工商银行、中国邮储银行的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知一个正多边形的内角和等于2340°，则它的一个外角是（ ）
A.30° B.36° C.24° D.45°
4.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是（ ）
A.“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件。
B.“拋一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每拋两次就有一次正面朝上。
C. 折线统计图既能清楚地看出数量的多少，又能看出数量的增减变化的趋势。
D. 为了了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查.
6.如图所示，是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图，这个几何体只能是（ ）
7.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=2，将Rt ABC沿着CB向右平移至Rt DEF，连接AD，BD，若BD⊥DE，则平移距离为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
8.一次函数的图象如图所示，则不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
9.如图， O外有一点P，连接PO并延长，交 O于点A，B，过点P作 O的切线，切点为C，连接AC，BC，已知PC=4，PA=2，则BC的长度为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点P是AD上一个动点，E是AB边的中点，已知△ABC的边长为a，则PE+PB的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题。（每小题3分，共15分）
11.化简： 。
12.若反比例函数上有三点，，，则，，的大小关系为 。（用“<”连接）
13.中国古代数学著作《周髀算经》中记载了这样一道题目：鸡兔同笼不知数，上有三十六头，下有五十双脚，则鸡有 只，兔有 只。
14.如图，二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点是，下列说法：①；②；③若点，是图象上两点，则；④图象与轴的另一个交点坐标为。其中正确的是 。
15.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点O，点A的坐标为，则点D的坐标为 。
三、解答题。（共75分）
16.（6分）
计算：
17.（6分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F。求证：四边形CFDE是正方形。
18.（6分）
商场经营的某品牌童装，4月的销售额为20000元，为扩大销量，5月份商场对这种童装打9折销售，结果销量增加了50件，销售额增加了7000元．求该童装4月份的销售单价？
19.（8分）
新生代跳水能手陈芋汐和全红婵是我国乃至世界跳水界的悍将，每当她们代表中国参加各类国际赛事，总能为国家争得耀眼荣光。为了监测她们的训练状态，教练对她们最近的训练成绩作出统计分析如下：
【收集数据】从她们最近的常规训练中随机选取了5次成绩。（每次训练满分为10分）
【整理数据】将成绩按分数从高到低分别记为A（10分）、B（9.9分）、C（9.8分）、D（9.7分）、E（9.6分）五个等级。
【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图：
【分析数据】两位运动员的成绩分析统计如下表：
姓 名 平均分 中位数 众数 方差
全红婵 9.9 10 0.0224
陈芋汐 9.9 9.9 0.0104
根据以上统计数据，解答下列问题：
（1）若全红婵在最近一个月内进行了600次跳水训练，请你估计她有多少次成绩为A等级？
（2）请你计算样本数据中两位运动员的平均成绩；
（3）若从她们两人中选择一个参加明年的世锦赛，你估计教练会选择谁？为什么？
（4）在某次大型比赛中，陈芋汐和全红婵组成双人跳水组合，若她们各自的表现均不低于C等级就能夺冠，请你用列举法求出她们本次比赛夺冠的概率。
20.（8分）
如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点A（4，a）和点B，连接OA，OB。
（1）求a，m的值；
（2）求△OAB的面积。
21.（8分）
如图，在 ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的 O经过点D。
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若∠A=60°， O的半径为2，求阴影部分的面积。
22.（10分）
如图，农户王某的房屋前有一条公路，公路对面有一面墙MN，墙长为8米，房屋与墙之间的距离为15米。王某计划用一段长为19m的篱笆靠墙围一个矩形菜园ABCD，并在AB边上开一道1m长的木门。设AD边的长为xm，矩形的面积为S。
（1）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，S有最大值？求出S的最大值。
（3）若菜园面积为42m2，政府要求公路宽不少于10米，
则AD边多长？
23.（11分）
如图1，线段BE上有一点C，以BC为斜边作等腰直角三角形ABC，以CE为斜边作等腰直角三角形CDE，已知AB=，CD=1。
（1）求BE的长度；
（2）如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转90°，则点D刚好落在线段AC上，连接BE，交AC于点F，求BF的长度；
（3）如图3，将△CDE绕点C逆时针旋转45°，连接BE，交AC于点F，求BF的长度。
图1 图2 图3
24.（12分）
如图1，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE=2ED时，求点P的坐标；
（3）如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，点Q在第一象限内的抛物线上，求四边形OFQC的最大面积。
