高数人教A版（2019）选择必修第二册 5.1.2 导数的概念及其几何意义（第2课时）课件（21页ppt）

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选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 1.特殊到一般的数学素养和逻辑推理素养.
2.体会平均变化率与割线斜率、瞬时变化率与切线斜率，理解导数的几何意义． 2.特殊到一般的数学抽象素养.
3.理解导函数的概念，弄清f'(x0)、 f ′(x)的区别与内在联系. 3.特殊到一般的数学抽象素养.
温故知新
如果当 x→0时, 平均变化率无限接近一个确定的值, 即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处可导, 并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x=x ，即
f′(x0)=.
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
2.求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法
①求函数的增量:
y=f(x0+ x)-f(x0).
②求平均变化率：
.
③取极限得导数值:
简记：一差、二比、三极限.
f′(x0)=.
1.导数的概念
温故知新
3.抛物线的切线斜率
抛物线y=f(x)在x=x0处割线的斜率
k1=.
抛物线y=f(x)在x=x0处切线的斜率
k=.
新知探究
我们知道，导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，那么导数f'(x0)的几何意义是什么
观察函数y=f(x)的图像（如右图），
平均变化率
表示什么
瞬时变化率
f′(x0)=.
表示什么？
容易发现，平均变化率
表示割线P0P的斜率.
知新探究
如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)), 如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0 , f(x0)), 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线(tangent line).
此处曲线y=f(x)在点P0处的切线是从割线（平均变化率）出发，利用极限思想到瞬时变化率去定义的；而初中所学过的圆的切线则是从交点个数定义的.
此处切线的定义与初中学过的圆的切线的定义有什么不同
知新探究
与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似 , 容易知道 , 割线P0P的斜率k= .
记△x=x-x0, 当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时，即当△x→0时，k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.
因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0.
k0==f ′(x0).
这就是导数的几何意义.
知新探究
继续观察：可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.
进一步地，利用信息技术工具将 点P0附近的曲线不断放大， 可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.
因此，在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.
数学上常用简单的对象刻画分组的对象.例如，用有理数3.1416近似代替无理数，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线.这是微积分中重要思想方法--以直代曲.
知新探究
【例1】如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t0，t1 ，t2 附近的变化情况
解：
我们用曲线h(t)在t=t0, t1, t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
⑴当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
⑵当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
⑶当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时, 在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
知新探究
1.函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为锐角
通过例1，你能总结一下如何根据导数的取值情况来判断函数在某点的增减吗？
f′(x0) >0 函数y=f(x)在x0附近单调递增
2.函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为零角
f′(x0) =0 函数y=f(x)在x0附近没有增减
3.函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为钝角
f′(x0) <0 函数y=f(x)在x0附近单调递减
某点处导数为正，则函数在该点附近单调递增.某点处导数为负，则函数在该点附近单调递减.
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P
P0
P4
P3
P2
P1
知新探究
.
结合右图，你能总结一下如何根据导数的取值情况来判断函数在某点的增减快慢吗？
函数在
函数在
导数的绝对值越大，增（减）的速度越快
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P
P0
P4
P3
P2
P1
知新探究
【例2】下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
解：
血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看, 它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.
如图所示，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
知新探究
【例2】下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
解：
作t=0.8处的切线, 并在切线上取两点, 如(0.7, 0.91), (1.0, 0.48), 则该切线的斜率
k=,
∴f′(0.8)≈-1.4.
知新探究
【例2】下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
解：
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f'(t) 0.4 0 -0.7 -1.4
知新探究
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到, 当x=x0时, f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样, 当x变化时, y= f ′(x)就是x的函数, 我们称它为y=f(x)的导函数(derived function)(简称导数), y=f(x)的导函数有时也记作y',即
f ′(x)=y'=.
函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)等于函数f(x)的导(函)数f ′(x)在点x0处的函数值.
⑴由f′(x0)=y′|x=x =知f′(x0)表示一个确定的数，是x=x0处的导数；
⑵导函数f ′(x)是指某一区间内任意的x而言的,就是函数f(x)的导数.
初试身手
∵，
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.0C.0C
解：
而f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率;f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
∴根据图象可知0故选C.
课堂小结
1.导数的概念
f′(x0)=.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0.
k0==f ′(x0).
3.导函数的概念
f ′(x)=y'=.
函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)等于函数f(x)的导(函)数f ′(x)在点x0处的函数值.
作业布置
作业：
P70-71 习题5.1 第5,6，7，10,12题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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