(共35张PPT)
8.3 完全平方公式与平方差公式
第八章 整式乘法与因式分解
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
完全平方公式
平方差公式
添括号
知1－讲
感悟新知
知识点
完全平方公式
1
1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍 .
用字母表示：( a+b) 2=a2+2ab+b2，( a－b) 2=a2－2ab+b2.
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一 个三项式，其中两项是左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的 2 倍 .
2. 理解字母 a， b 的意义：公式中的字母 a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式 .
3. 口诀记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样 .
感悟新知
2. 完全平方公式的几种常见变形公式
(1) a2+b2=(a+b) 2 － 2ab=( a－ b) 2+2ab；
(2) (a+b) 2=( a － b) 2 +4ab；
(3) (a － b) 2=(a+b) 2 － 4ab；
(4) (a+b) 2+( a － b) 2=2(a2+b2)；
知1－讲
感悟新知
(5) (a+b) 2 －(a－ b) 2=4ab；
(6) ab= ［(a+b) 2 －(a2+b2)］ = ［(a+b) 2 －(a － b) 2］；
(7) (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(8) a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［(a+b) 2+(b+c) 2+(a+c) 2］ .
知1－讲
知1－练
感悟新知
[母题 教材P75例1、例2]计算：
(1) ( x+7y) 2；
例1
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算 .
解： ( x+7y) 2
=x2+2· x·(7y) +(7y) 2
=x2+14xy+49y2；
知1－练
感悟新知
解：(－ 4a+5b) 2
=(5b － 4a) 2
=(5b) 2 － 2· (5b) · (4a) +(4a) 2
=25b2 － 40ab+16a2；
(2)(－ 4a+5b) 2；
知1－练
感悟新知
解： (－ 2m － n) 2
=(2m+n) 2
=(2m) 2+2· (2m) · n+n2
=4m2+4mn+n2；
(3)(－ 2m － n) 2；
知1－练
感悟新知
解 ：(2x+3y)(－ 2x － 3y)
= －(2x+3y) 2
= － ［(2x) 2+2· (2x) · (3y) +(3y) 2］
= －(4x2+12xy+9y2)
= － 4x2 － 12xy － 9y2.
(4) (2x+3y)(－ 2x － 3y) .
两个二项式相乘，若两项都相同或都互为相反数，则用完全平方公式计算 .
知1－练
感悟新知
方法点拨
1. 利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤：
(1)确定公式中的a、b；
(2)确定和差关系；
(3)选择公式；
(4)计算结果 .
2. 两个易错点：
(1)套用公式时千万不能漏掉 “2ab”项；
(2)两个平方项的底数要带上括号 .
知1－练
感悟新知
[母题 教材P77练习T2(2)]计算：(1)9952；
例2
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可 .
解：9952=(1 000－5) 2
=1 0002－2×1 000×5+52
=1 000 000－10 000+25=990 025；
知1－练
感悟新知
解： (30 )2
= (30 + )2
=302+2×30× +()2
=900+20+=920 .
(2) (30 )2.
知1－练
感悟新知
方法点拨
利用完全平方公式进行数值运算时，主要是将底数拆成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
1.将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；
2.将带分数拆分成整数部分与真分数的和或差 .
感悟新知
知2－讲
知识点
平方差公式
2
1. 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 .
用字母表示：( a+b)(a－b) =a2－b2.
感悟新知
知2－讲
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
(1)位置变化 ( b+a)(－b+a)=( a+b)( a－b)=a2－b2
(2)符号变化 (－a－b)( a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b) 2－a2=b2－a2
(3)系数变化 (3a+2b)(3a－2b)=(3a) 2－ (2b) 2 =9a2－4b2
(4)指数变化 ( a3 +b2)( a3－b2)=( a3) 2－ (b2) 2 =a6－b4
(5)增项变化 ( a－b+c)( a－b－c)=( a－b) 2－c2
(6)连用公式 ( a+b)( a－b）( a2+b2)=(a2－b2)( a2+b2)
=a4－b4
知2－讲
感悟新知
特别解读
1.公式的特征：
等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数 .
等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
2. 理解字母 a，b 的意义：平方差公式中的 a，b 既可代表一个单项式，也可代表一个多项式 .
感悟新知
知2－练
计算：
(1)(5m－3n)(5m+3n)；
例3
解：(5m － 3n)(5m+3n)
=(5m) 2 － (3n) 2
=25m2 － 9n2；
知2－练
感悟新知
解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”， 然后根据平方差公式进行计算 .
知2－练
感悟新知
解法提醒
运用平方差公式计算的 3 个关键步骤：
第 1 步：利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如(1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整 .
第 2 步：找准公式中的 a、 b 分别代表哪个单项式或多项式 .
第 3 步：套用公式计算，注意将底数带上括号.如(1)中(5m) 2不能写成 5m2.
知2－练
感悟新知
解： (－2a2+5b)(－2a2－5b)
=(－ 2a2) 2 －(5b) 2
=4a4 － 25b2；
(2) (－2a2+5b)(－2a2－5b)；
知2－练
感悟新知
解： (x+y )(－ x+y )
=( y+x)( y － x)=y2 －( x2)=y2 － x2；
(3) (x+y )(－ x+y )；
(4)(－3y－4x)(3y－4x) .
(－3y－4x)(3y－4x)
=( － 4x － 3y)( － 4x+3y)
=( － 4x) 2 － (3y) 2=16x2 － 9y2.
感悟新知
知2－练
[母题 教材P77练习T2(1)]计算：(1) 10.3×9.7；
例4
解题秘方： 找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算 .
解：10.3×9.7
=(10+0.3)×(10－0.3)
=102－0.32
=100－0.09
=99.91；
知2－练
感悟新知
解：2 023×2 025－2 0242
=(2 024－1)×(2 024+1) －2 0242
=2 0242－1－2 0242
=－1.
(2)2 023×2 025－2 0242.
知2－练
感悟新知
方法点拨
运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式 .
感悟新知
知3－讲
知识点
添括号
3
1. 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号 .
用字母表示：a+b+c=a+( b+c) =a－( －b－c)；
a－b－c=a－(b+c) =a+(－b－c) .
感悟新知
知3－讲
2. 添括号法则的应用 添括号在利用乘法公式的计算中应用广泛，利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，特别是利用 “括号前面是负号的时候，括到括号里的各项都要改变符号”来变形 .
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值 .
2. 添括号是否正确，可利用去括号检验 .
知3－练
感悟新知
[母题 教材P77例4(1)P78例5]计算：
(1) (2x－y+4)(2x+y－4)；
例5
解： (2x－y+4)(2x+y－4)
=［2x－( y－4)］［2x+( y－4)］
=(2x) 2－( y－4) 2
=4x2－y2+8y－16；
知3－练
感悟新知
解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算 .
知3－练
感悟新知
方法点拨
两个三项式相乘，各项既有符号相同的也有符号不同的，可通过变形用平方差公式计算 .
确定平方差公式中的 “a”、“b”的方法：完全相同的项为“a”，绝对值相同符号相反的项为“b”.
三个数和的完全平方，利用添括号和整体思想转化为两个数和的完全平方进行计算，也可以直接套用三个数和的完全平方公式： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac进行计算 .
知3－练
感悟新知
解： ( m－2n+1)(－2n－1+m)
=［( m － 2n) +1］［( m － 2n) － 1］
=( m － 2n) 2 － 12
=m2 － 4mn+4n2 － 1；
(2) ( m－2n+1)(－2n－1+m)；
知3－练
感悟新知
解： (2a+3b－1)(1－2a－3b)
=(2a+3b － 1)［ － (2a+3b － 1)］
= － ［(2a+3b) － 1］ 2
= － ［(2a+3b) 2 － 2(2a+3b) +12］
= － (4a2+12ab+9b2 － 4a － 6b+1)
= － 4a2 － 12ab － 9b2+4a+6b － 1
= － 4a2 － 9b2 － 12ab+4a+6b － 1；
(3)(2a+3b－1)(1－2a－3b)；
知3－练
感悟新知
解：(3a－b+c) 2
=［(3a － b) +c］ 2
=(3a － b) 2+2c(3a － b) +c2
=9a2 － 6ab+b2+6a － 2bc+c2
=9a2+b2+c2 － 6ab+6ac － 2bc.
(4)(3a－b+c) 2.
完全平方公式与平方差公式
添括号
乘法
公式
完全平方公式
平方差公式(共29张PPT)
8.4 因式分解
第八章 整式乘法与因式分解
第1课时
提公因式法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
因式分解
公因式
用提公因式法分解因式
知1－讲
感悟新知
知识点
因式分解
1
1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 .
感悟新知
2. 整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，它们是互逆的变形 .
因式分解
即：多项式 整式的积 .
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 .
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 因式分解的对象是多项 式， 结果是整式的积 .
2. 因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变 .
3. 因式分解必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止 .
知1－练
感悟新知
下列变形中属于因式分解的有( )
① 8xy3=2xy·4y2；② x2+1=x (x+ )；
③( x+5)( x － 5) =x2 － 25；④ x2+2x － 3=x(x+2) － 3；
⑤ x2y+xy2=xy( x+y) .
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
例1
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别 .
解法提醒
识别因式分解的两个关键词：
“多项式”说明等式的左边是多项式，即分解的对象是多项式 .
“整式的积”说明右边的结果是整式的积 .
一句话：因式分解是整式的和差化积的变化过程 .
知1－练
感悟新知
解：①中等号的左边不是多项式，所以①不是因式分解；②中 不是整式，所以②不是因式分解；③是整式的乘法，所以③不是因式分解；④中等号右边不是积的形式，所以④不是因式分解；⑤符合因式分解的定义，所以⑤是因式分解 .
答案：D
知1－练
感悟新知
下列因式分解正确的是( )
x3y － 2x2y+xy=xy( x2 － 2x)
B. x2 － x+= (x － )2
C. x2 － 2x+4=( x － 2) 2
D. 4x2 － y2=(4x+y)(4x － y)
例2
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断 .
思路点拨
还没有学习因式分解的方法，要判断因式分解的正确性，可以通过逆向变形(整式乘法)检验因式分解是否正确 .
知1－练
感悟新知
解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项 B.
答案：B
知1－练
感悟新知
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题： 已知二次三项式 x2－4x+m 分解因式后有一个因式是 x+3，求其另一个因式及 m 的值 .
解：设另一个因式为 x+n， 则 x2－4x+m=( x+3)(x+n)，即 x2－4x+m=x2+( n+3) x+3n.
所以解得
所以另一个因式为 x－7， m 的值为 －21.
例3
知1－练
感悟新知
解题秘方：根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式进行比较，从而解决问题 .
知1－练
感悟新知
问题：(1) 若二次三项式 x2－5x+6 可分解为( x－2) · (x+a)，
则 a=______ ；
(2) 若二次三项式 2x2+bx－5 可分解为(2x－1)( x+5) ，则 b=_______ ；
(3)已知二次三项式 2x2+5x－k 分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及 k 的值 .
－3
9
知1－练
感悟新知
解：设另一个因式为 x+q，
则 2x2+5x－k=(2x－3)(x+q)，
即 2x2+5x－k=2x2+(2q－3) x－3q，
所以 解得
所以另一个因式为 x+4， k 的值为 12.
知1－练
感悟新知
一题多解
因式分 解是恒等变形，利用恒等式的性质还有另一种解法：
恒等式的性质：
等式中的字母无论取何值时等式都成立 .
如：x2－4x+m=(x+3)(x+n)，将 x=－3 代入左右两边得9+12+m=0，解得 m=－21.
同样可利用此方法解决(1)，(2)，(3)题，同学们可以自己试一试 .
感悟新知
知2－讲
知识点
公因式
2
1. 公因式的定义 多项式的每一项都含有的相同因式，叫作各项的公因式 .
感悟新知
知2－讲
2. 公因式的确定
(1)确定公因式的系数，若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数．
(2)确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的 .
(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式 .
如3x( x－y) +x2( x－y)的公因式是 x( x－y) .
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 公因式必须是多项式中每一项都含有的因式 . 只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.
2. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式．
感悟新知
知2－练
指出下列多项式各项的公因式：
4xy3－8x3y2 ；
(2) 3a2y－3ay+6y ；
例4
解：(1)中各项的公因式为 4xy2.
(2)中各项的公因式为 3y.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解 .
知2－练
感悟新知
解法提醒
1. 若多项式中首项的符号是“-”，则公因式的符号一般为负 .
2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式 .
知2－练
感悟新知
解：(3)中各项的公因式为－9a2b.
(3) －27a2b3+36a3b2+9a2b ；
(4) a(x－y) 3+b(x－y) 2+(x－y) 3.
(5) b2( x － 3) +b( 3 － x) .
(4)中各项的公因式为( x－y) 2.
(5)中各项的公因式为 b(x－3).
感悟新知
知3－讲
知识点
用提公因式法分解因式
3
1. 定义 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法 .
用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) .
感悟新知
知3－讲
2. 用提公因式法分解因式的一般步骤
(1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式 .
(2)确定另一个因式：另一个因式即多项式提取公因式后剩下的部分 .
(3)写成积的形式 .
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 公因式必须是多项式的每一项都含有的相同的因式 .
2. 多项式有几项，提出公因式后剩下的另一个因式就有几项，不能漏项 .
知3－练
感悟新知
[母题 教材P81例1]将下列各式分解因式：
(1) 6x3y2－8xy3z；
例5
解： 6x3y2－8xy3z
=2xy2· 3x2 － 2xy2· 4yz
=2xy2(3x2 － 4yz) .
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式 .
知3－练
感悟新知
解： －4a3b2+12a2b－4ab
= － (4a3b2 － 12a2b+4ab)
= － (4ab· a2b － 4ab· 3a+4ab)
= － 4ab( a2b － 3a+1) .
(2) －4a3b2+12a2b－4ab.
4ab 与公因式相同，提
取公因式后，此项剩余部
分为“1”，此处容易漏掉“1”
这一项而导致出错．
知3－练
感悟新知
解法提醒
当多项式首项系数是负数时，一般应先提出 “－”，但要注意，此时括号内各项都要改变符号 .
提公因式法
互逆变形
检验
整式
乘法
公因式
因式分解
定义
提公因式法(共32张PPT)
8.1 幂的运算
第八章 整式乘法与因式分解
第1课时 同底数幂的乘法、
幂的乘方与积的乘方
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
知识点
同底数幂的乘法
知1－讲
1
幂的运算性质 1(同底数幂的乘法法则) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 .
用字母表示： am· an=am+n( m， n 都是正整数) .
示例： am· an=am+n(m， n 都是正整数)
知1－讲
特别解读
1. 运用此运算性质有两个关键条件：一是底数相同；二是乘法运算，两者缺一不可 .
2. 指数相加的和作为积中幂的指数，即运算结果仍然是幂的形式 .
3. 单个字母或数字可以看成指数为 1 的幂，运算时易漏掉 .
知1－讲
2. 运算性质的拓展运用
(1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即am·an·…·ap=am+n+…+p(m，n，…，p 都是正整数).
(2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即am+n=am·an(m、n 都是正整数).
● ●
知1－讲
例 1
[母题 教材P52例1]计算： (1) 108×102；
(2) x7· x；
(3) an+2· an － 1；
解题秘方：紧扣同底数幂的乘法运算性质进行计算.
解： 108×102=108+2=1010；
x7· x=x7+1=x8；
an+2· an － 1 =an+2+n－1=a2n+1；
知1－讲
(4) － x2· (－ x) 8；
(5) (x+3y) 3· (x+3y) 2· (x+3y) ；
(6) (x － y) 3· (y － x) 4.
解： － x2· (－ x) 8=－x2· x8=－x10；
(x+3y) 3· (x+3y) 2· (x+3y) = (x+3y) 3+2+1= (x+3y) 6；
(x － y) 3· (y － x) 4 = (x － y) 3 · (x － y) 4 = (x － y) 7.
知1－讲
特别提醒：
运用同底数幂的乘法运算性质时应注意以下几点：
1. 底数既可以是单项式也可以是多项式，当底数是多项式时，应将多项式看成一个整体进行计算 .
2. 底数不同时，若能化成相同底数，则先转化为同底数幂，再按运算性质进行计算 .
知1－练
感悟新知
解法提醒
化不同底数为同底数时常用到的两种变形：
1.(－a)n=
2.(a－b)n=
知1－讲
例2
(1)若 am=2， an=8，求 am+n 的值 .
(2)已知 2x=3，求 2x+3 的值 .
解题秘方：逆用同底数幂的乘法法则，即 am+n=am· an(m、n 都是正整数)..
解： 因为 am=2， an=8，所以 am+n=am· an=2×8=16.
知1－练
感悟新知
解法提醒
此题逆用同底数幂的乘法运算性质， 将幂am+n， 2x+3 转化为同底数幂的乘法，然后把已知条件整体代入求值，体现了整体思想的应用 .
知1－讲
解： 因为 2x=3，
所以 2x+3=2x· 23=3×8=24.
(2)已知 2x=3，求 2x+3 的值 .
知识点
幂的乘方
知2－讲
2
1.幂的运算性质 2(幂的乘方) 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
● ● ● ● ● ●
用字母表示:(am)n=amn(m、n 是正整数).
示例： ( am) n=amn( m， n 都是正整数)
● ●
知2－讲
特别解读
1. “底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m 与乘方的指数n相乘.
2. 底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
知2－讲
2. 运算性质的拓展运用
(1)幂的乘方运算性质的推广：［(am)n］p=amnp(m、n、p 都是正整数)；
(2)幂的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时amn=(am)n=(an)m(m、n 都是正整数).
● ●
例 3
[母题 教材P54例2、例3]计算：
( a2 ) 3 ； (2) ［ ( x － 2y ) 3］ 4；
(3) ［ ( － x ) 3］ 4 ； (4) x2· x4+ ( x2 ) 3.
解题秘方：紧扣幂的乘方运算性质进行计算 .
知2－练
知2－练
感悟新知
解法提醒
用幂的乘方法则计算时，不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，其相同点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法为指数相加，而幂的乘方为指数相乘 .
解：
( a2 ) 3=a2×3= a6 ；
［ ( x － 2y ) 3］ 4 = ( x － 2y ) 3×4= ( x － 2y ) 12；
(3) ［ ( － x ) 3］ 4； = ( － x ) 3×4= ( － x ) 12=x12 ；
(4) x2· x4+ ( x2 ) 3=x6+x6=2x6.
出现混合运算时，先算乘方，
再算乘法，最后算加法 .
知2－练
例4
已知 a2n=3，求 a4n－a6n 的值 .
解题秘方：此题已知 a2n=3，需逆用幂的乘方运算性质把 a4n－a6n用 a2n表示，再把 a2n=3 整体代入求值 .
知2－练
解： a4n－a6n
=(a2n) 2 － (a2n) 3
=32 － 33
=9 － 27
= － 18.
知2－练
方法提醒
逆用幂的乘方法则求式子值的方法：
把指数是积的形式的幂写成幂的乘方，如am· an=am+n( m， n 都是正整数) ，然后整体代入，求式子的值．
知2－练
知3－讲
知识点
积的乘方
3
幂的运算性质 3(积的乘方)
积的乘方等于各因式乘方的积 .
用字母表示:(ab) n=anbn( n 为正整数) .
示例：(ab) n=anbn( n 为正整数)
特别提醒
1. 积的乘方的前提是底数是乘积的形式，每个因式可以是单项式，也可以是多项式 .
2. 积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即(a+b)n ≠ an+bn.
知3－讲
▲ ▲ ▲
▲ ▲
知3－讲
2.运算性质的拓展运用
(1)积的乘方运算性质的推广：(abc)n=anbncn(n 为正整数)；
(2)积的乘方运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时anbn=(ab)n(n 为正整数).
[母题 教材P55例4]计算：
(1) ( x· y3 ) 2；(2) (－ 3×102 ) 3；(3) [(－ a3 ) 2 ] 2；(4) (－ a2b3 ) 3.
例5
解题秘方：运用积的乘方、幂的乘方的运算性质进行计算 .
知3－练
解： ( x· y3 ) 2 =x2· ( y3 ) 2=x2y6.
解法提醒
利用积的乘方法则计算时，要先确定积中的因式，然后将每个因式都乘方，最后求出所有幂的积 .
知3－练
(2) (－ 3×102 ) 3；
(3) [(－ a3 ) 2 ] 2；
解：(－ 3×102 ) 3= (－ 3 ) 3× ( 102 ) 3=
－ 27×106= － 2.7×107；
[(－ a3 ) 2 ] 2=( a6) 2=( ) 2·(a6) 2= a12 ；
解：(－ a2b3 ) 3 = (－ 1 ) 3· ( a2 ) 3· ( b3 ) 3= － a6b9.
系数乘方时，要带上前面的符号，
特别是系数为 － 1 时，不要漏掉 .
知3－练
(4) (－ a2b3 ) 3.
例6
计算：
(1)48×0.258 ；(2) ( － ) 2 026× ( 1 ) 2 026.
知3－练
解题秘方：紧扣“两底数互为倒数(或负倒数) ，且指数又是相同的”这一特征，逆用积的乘方运算性质进行计算 .
知3－练
感悟新知
解法提醒
求指数相同的几个幂相乘的方法：
当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，利用anbn=(ab) n( n 为正整数)可先把底数相乘再进行乘方运算，从而使运算简便 .
( － ) 2 026× (1 ) 2 026 =
( － × ) 2 026 = (－ 1 ) 2 026=1.
知3－练
(1)48×0.258 ；
(2) ( － ) 2 026× ( 1 ) 2 026.
解： 48×0.258= ( 4×0.25 ) 8=18=1；
同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法
底数与指
数的变化
关键点
积的乘方
幂的乘方(共26张PPT)
8.2 整式乘法
第八章 整式乘法与因式分解
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
知识点
单项式与单项式相乘
知1－讲
1
1. 单项式乘法法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 .
知1－讲
2. 单项式与单项式相乘的步骤
(1)确定积的系数，积的系数等于各单项式系数的积；
(2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里.
知1－讲
3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用.
知1－讲
特别提醒
1. 单项式与单项式相乘的结果仍为单项式.
2. 只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏.
3. 单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
知1－讲
[母题 教材P66例1]计算： (1) 4xy2· ( － x2yz ) ；
例1
解： 4xy2· ( － x2yz )
= [ 4× ( － ) ] · x1+2y2+1z
= － 2x3y3z ；
解题秘方：紧扣单项式乘法法则，并按步骤进行计算 .
知1－讲
解： 5x· ( ax ) · (－ 2.25axy ) · (－ 3x2y2 )
= [ 5× × ( － 2.25 ) × ( － 3 ) ] a1+1x1+1+1+2y1+2
= a2x5y3 ；
(2) 5x· ( ax ) · (－ 2.25axy ) · (－ 3x2y2 ) ；
知1－讲
解： 5a3b· (－ 3b ) 2+ (－ 6ab ) 2· (－ ab ) － ab3· ( － 4a ) 2
=5a3b· 9b2+36a2b2· ( － ab ) － ab3· 16a2
=45a3b3 － 36a3b3 － 16a3b3
= － 7a3b3.
(3) 5a3b· (－ 3b ) 2+ (－ 6ab ) 2· (－ ab ) － ab3· ( － 4a ) 2.
知1－练
感悟新知
解法提醒
(1)(2)两题可按单项式与单项式相乘的法则直接进行计算，即把系数与同底数的幂分别相乘，(3)题是混合运算，要注意运算顺序，应先算乘方，再算乘法，最后算加减法.
单项式与单项式相乘时，要依据其法则依次计算，特别要注意积的符号，凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．
知识点
单项式与多项式相乘
知2－讲
2
单项式与多项式的乘法法则
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 .
用字母表示为n(a+b+c)=na+ nb+nc．
● ● ●
2. 单项式与多项式相乘的几何解释
如图8.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即pa+pb+pc. 所以p (a+b+c)=pa+pb+pc.
知2－讲
知2－讲
特别解读
1. 单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式与单项式相乘 .
2. 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同 .
知2－讲
[母题 教材P68例3]计算：
(1)(－3x)(－2x2+1)；
解：(－3x)(－2x2+1)
=(－3x)·(－2x2)+(－3x)×1
= 6x3－3x；
例2
解题秘方：用单项式乘多项式的法则进行计算.
知2－练
感悟新知
解： (3xy2－6xy－1) · xy
=3xy2· xy+(－ 6xy) · xy+( － 1) · xy
=x2y3 － 2x2y2 － xy.
(2) (3xy2－6xy－1) · xy.
知2－练
感悟新知
特别提醒
1. 单项式乘多项式，当多项式的某一项为 1 时， 千万不能出现漏乘的情况 .
2. 多项式的各项都包括它前面的符号，(2)中多项式的项有 3xy2， － 6xy， － 1，计算 时要将这三项分别与 xy 相乘 .
知识点
多项式与多项式相乘
知3－讲
3
1. 多项式与多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 .
用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.
2. 多项式与多项式相乘的几何解释
如图8.2-2，大长方形的面积可以表示为(a+b)(p+q)， 也可以将大长方形的面积看成四个小长方形的面积之和， 即ap+aq+bp+bq. 所以(a+b)(p+q)= ap+aq+bp+bq.
知3－讲
知3－讲
特别解读
1. 多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式 .
2. 多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积 .
知3－讲
计算： (1)(x－4)(x+1)；
解： (x－4)(x+1) =x2+x－4x－4
=x2－3x－4；
解题秘方：紧扣多项式与多项式的乘法法则，用“箭头法”进行计算.
例3
知3－练
感悟新知
方法点拨
(x+a) (x+b)型的多项式乘法，直接用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 计算，更简便 .
知3－讲
(2)(3x+2)(2x－3)；
解： (3x+2)(2x－3)
=3x·2x+3x×(－3)+2×2x+2×(－3)
=6x2－9x+4x-6
=6x2－5x－6；
此处切忌犯如下错误：
（3x+2）（2x－3）
=3x·2x+2×（－3）
=6x2－6.
知3－讲
(3)(x+2)(x2 － 2x+4).
解：(x+2)(x2 － 2x+4)
=x·x2+x·(－ 2x)+x×4+2·x2+2×(－2x)+2×4
=x3 － 2x2+4x+2x2 － 4x+8
=x3+8.
知3－练
感悟新知
另解
可以将 x2－2x+4 看成一个整体，利用分配律计算：
(x+2)(x2－2x+4)
=x(x2－2x+4)+2（x2－2x+4）
=x3－2x2+4x+2x2－4x+8
=x3+8.
知3－练
感悟新知
教你一招：用“箭头法”解多项式乘多项式的问题
多项式与多项式相乘，为了做到不重不漏，可以用“箭头法” 标注求解， 如计算( x－2y)(5a－3b) 时， 可作标注： ( x－2y)(5a－3b)，根据箭头指示，即可得到 x· 5a， x·(－3b)，(－2y) · 5a，(－2y) · ( －3b)，把各项相加，继续求解即可 .
整式乘法
转化
多项式与单项式相乘
整式
乘法
单项式与单项式相乘
多项式与多项式相乘
转化(共38张PPT)
8.1 幂的运算
第八章 整式乘法与因式分解
第2课时
同底数幂的除法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
同底数幂的除法
零次幂
负整数次幂
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数
知识点
同底数幂的除法
知1－讲
1
幂的运算性质 4(同底数幂的除法)
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
● ● ● ●
● ● ● ●
用字母表示：am÷an=am-n(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n).
知1－讲
2. 运算性质的拓展运用
(1)运算性质的推广： 适用于三个及三个以上的同底数幂相除， 即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m、n、p 是正整数，且m>n+p)；
(2)同底数幂的除法法则既可以正用，也可以逆用， 即am-n=am÷an(a ≠ 0，m、n 是正整数，且m>n).
● ●
知1－讲
特别解读
1. 运用法则的条件有两个：
一是底数相同，二是除法运算，二者缺一不可 .
2. 底数 a 可以是单项式，也可以是多项式，但底数 a 不能为 0.
知1－讲
[母题 教材P57例6]计算：
(1) (－x) 8÷(－x) 4；(2) ( x－y) 7÷( y－x) 5.
解题秘方：紧扣“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算.
解： (－x) 8÷(－x) 4
= (－x) 8-4
= (－x) 4
=x4；
例1
知1－讲
解： ( x－y) 7÷( y－x) 5
= ( x－y) 7÷［ － ( x－y) 5］
= － ( x－y) 7-5
= － ( x－y) 2.
(2) ( x－y) 7÷( y－x) 5.
知1－练
感悟新知
方法点拨
1. 底数互为相反数的相同偶次幂相等，相同奇次幂互为相反数，即：(a－b)2n=(b－a)2n，(a－b)2n+1=－ (ba)2n+1.
2. 底数互为相反数的幂相除，先化为同底数幂，再运用运算性质计算 .
知1－讲
已知 xm=9， xn=27，求 x3m-2n 的值 .
例2
解题秘方：逆用同底数幂的除法法则，即 am-n=am÷an (a ≠ 0，m，n 是正整数，且m>n)，进行变形求值 .
知1－讲
解： x3m-2n =x3m÷ x2n
= ( xm ) 3÷ ( xn ) 2
=93÷272
=1.
93÷272=（32）3÷（33）2
=36÷36=1
方法点拨：逆向运用同底数幂的乘除法法则和幂的乘方法则求值的方法：当幂的指数是含有字母的加法时，通常转化为同底数幂的乘法；当幂的指数是含有字母的减法时，通常转化为同底数幂的除法；当幂的指数是含有字母的乘法时，通常转化为幂的乘方，然后逆用法则并整体代入求值 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
解法提醒
观察 x3m-2n 的特征可以发现，其指数里含减号，可逆用同底数幂的除法运算性质解题 .
感悟新知
知2－讲
知识点
零次幂
2
1. 零次幂的推导 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷ am，那么根据除法的意义可知所得的商为 1. 另一方面，如果依照同底数幂的除法法则来计算，那么又有 am÷ am=am-m=a0，故 a0=1.
感悟新知
知2－讲
2. 零次幂 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1.
用字母表示： a0=1(a ≠ 0) .
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 零指数幂在同底数幂的除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况 .
2. 指数为 0，但底数不能为 0，因为底数为0 时，除法无意义 .
感悟新知
知2－练
已知式子(2x－6) 0+ 有意义，则 x 的取值范围
是( )
A. x ≥ 1 且 x ≠ － 3 B. x ≥ 1 且 x ≠ 3
C. x>1 且 x ≠ 3 D. x>1 且 x ≠ － 3
例3
知2－练
感悟新知
解题秘方：根据零次幂及算术平方根有意义的条件确定x 的取值范围 .
解：根据零次幂有意义的条件，可得 2x － 6 ≠ 0，则x ≠ 3. 由 有意义，可得 x － 1 ≥ 0，即 x ≥ 1.
故 x 的取值范围是 x ≥ 1 且 x ≠ 3.
答案：B
知2－练
感悟新知
解法提醒
a0 有意义的条件 是 a ≠ 0， 有意义的条件是 a ≥ 0.
若在一个式子中同时存在两种形式，则两个条件要同时满足 .
感悟新知
知2－练
计算 | － 3 |+(－ 1) 0.
例4
解题秘方：负数的绝对值是它的相反数，任何不为 0 的数的 零次幂都等于 1.
解： | － 3 |+(－ 1) 0 =3+1=4.
知2－练
感悟新知
易错警示
对零指数幂的规定记忆不清，容易出现零指数幂的结果为 0 的错误 .
感悟新知
知3－讲
知识点
负整数次幂
3
1. 负整数次幂一般地，我们约定：a-p= ( a ≠ 0， p 是正整数). 任何一个不等于零的数的 –p( p 是正整数)次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数 .
感悟新知
知3－讲
2. 整数指数幂的运算性质
(1) am· an=am+n(a ≠ 0， m， n 都是整数)；
(2)(am) n=amn(a ≠ 0， m， n 都是整数)；
(3)(ab) n=anbn(a ≠ 0， b ≠ 0， n 是整数)；
(4) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 都是整数) .
知3－讲
感悟新知
易错警示
负整数指数幂的运算，既可以等于正整数指数幂的倒数，也可以等于倒数的正整 数指数幂 ，
即a-p= =()p(a ≠ 0).
2. 当指数为负整数或0时，一定要保证底数不为 0.
知3－练
感悟新知
计算： + | － 4|+( － 1) 0 －() － 1= _______.
例5
6
解题秘方：根据各个运算法则进行计算 .
解： + | － 4|+( － 1) 0 －() － 1
=3+4+1 － 2
=6.
知3－练
感悟新知
解法提醒
对于底数是分数的负 整 数 指 数 幂， 我 们可采用底倒指反法，将其转化为这个数的倒数的正整 数指数幂， 即() -n= () n.
感悟新知
知4－讲
知识点
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数
4
1. 科学记数法 绝对值小于 1 的数可记成±a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法 .
感悟新知
知4－讲
2. 用科学记数法表示小于 1 的正数的一般步骤
(1) 确定 a： a 是绝对值大于或等于 1 且小于 10 的数 .
(2) 确定 n： 确定 n 的方法有两个，即
① n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)；
②小数点向右移到第一个不等于零的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 .
(3)将原数用科学记数法表示为 a×10-n(其中 1 ≤ a<10， n 是正整数) .
知4－讲
感悟新知
特别提醒
用科学记数法表示 绝对值小于 1的数时，10 的指数是负数，一定不要忘记指数 n前面的负号 .
感悟新知
知4－练
用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 003；(2) －0.000 020 8；(3)0.000 000 004 67.
例6
解题秘方：按 照科学记数法的要求， 将各数写成 ± a×10-n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数 .
知4－练
感悟新知
解：(1) 0.000 003=3×10－6；
3 前面有 6 个 0
(2) －0.000 020 8=－2.08×10－5；
2 前面有 5 个 0
(3) 0.000 000 004 67=4.67×10－9.
4 前面有 9 个 0
知4－练
感悟新知
教你一招
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数的方法：
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数时，一般形式为 ±a× 10-n，其中 1 ≤ |a|<10， n 是正整数， n 由原数中左起第一个不为 0 的数字前面的 0 的个数(包括小数点前的一个 0)所决定 .
感悟新知
知4－练
将下列用科学记数法表示的数还原成原数 .
(1) 6× 10－4；(2) －7.2×10－5；(3)5.68×10－6.
例7
解题秘方：把用科学记数法表示的绝对值小于 1 的数还原时，指数的绝对值是几，小数点就向左移动几位 .
知4－练
感悟新知
－7.2×10－5=－0.000 072；
6× 10－4；
(2) －7.2×10－5；
(3)5.68×10－6.
5.68×10－6=0.000 005 68.
解：6×10－4=0.000 6；
知4－练
感悟新知
方法点拨
把用科学记数法表示的绝对值小于1的数还原的方法：
把a×10 － n (其中1≤ ｜a｜ <10，n 是正整数) 还原成原数时，只需把a 的小数点向左移动 n位即可 .
感悟新知
知4－练
计算： (1) (3×10－4) 2×(2×10－6) 3；
(2)(8×10－7) 2÷ (2×10－3) 3.
例8
解题秘方：先计算乘方，再计算乘除 .
解：(3×10－4) 2×(2×10－6) 3
=9×10－8×8×10－18
=(9×8)×(10－8×10－18)
=7.2×10－25；
知4－练
感悟新知
解：(8×10－7) 2÷(2×10－3) 3
=(64×10－14)÷(8×10－9)
=(64÷8)×(10－14÷10－9)
=8×10－5.
(2)(8×10－7) 2÷ (2×10－3) 3.
知4－练
感悟新知
解法提醒
计算有关科学记数法表示的数的算式时，乘方运算用积的乘方法则，乘除运算用同底数幂的乘除法法则，计算的结果也应该用科学记数法的形式表示 .
同底数幂的除法
负整数次幂
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数
同底数幂
的除法
零次幂
运算性质(共36张PPT)
8.4 因式分解
第八章 整式乘法与因式分解
第2课时
公式法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
用分组分解法分解因式
知1－讲
感悟新知
知识点
用平方差公式分解因式
1
1. 平方差公式法
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a2－b2=(a+b)( a－b) .
感悟新知
2. 平方差公式的特点
(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；
(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差 .
知1－讲
感悟新知
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 .
二定： 确定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 .
三套： 套用平方差公式进行分解 .
四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简 .
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特别解读
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平 方差公式的逆用 .
2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果可写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘两个数的差的形式 .
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分解因式： (1) 4x2－25y2；
例1
解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式 .
解： 原式
=(2x) 2 － (5y) 2
=(2x+5y)(2x － 5y)；
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解：原式=(a+2+1)( a+2 － 1)
=(a+3)( a+1)；
(2)(a+2) 2－1；
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解：原式=x4 －
=( x2+ )(x2 － )
=(x2+ )(x+ )(x － )；
(3) － +x4；
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解：原式=［4(a － b) +5( a+b)］［4( a － b) － 5( a+b)］
=(4a － 4b+5a+5b)(4a － 4b － 5a － 5b)
=(9a+b)( － a － 9b)
= － (9a+b)( a+9b) .
(4)16( a－b) 2－25( a+b) 2.
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特别提醒
1. 确定公式中的“a” 和“b”时，不能只看表面， 如 4x2=(2x)2，则“a”指的是 2x；16(a － b)2= [4(a － b)]2，则“a”指的是 4(a － b).
2. 平方差公式可以连续运用 . 如(3)题，必须做到每个因式都不能再分解为止 .
3. 运用平方差公式分解因式时，若“a”和 “b”都是多项式，先要添加括号，再去括号，然后化简得出最后结果 .
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知识点
用完全平方公式分解因式
2
1. 完全平方式 形如 a2±2ab+b2 的式子叫作完全平方式 .
完全平方式的条件：
(1)是二次三项式 .
(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍，符号可以是 “+”，也可以是“－” .
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2. 完全平方公式法
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 .
即： a2±2ab+b2=(a± b) 2.
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3. 完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是两个数的和(或差)的平方 .
4. 公式法 运用公式(完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫作公式法 .
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5. 因式分解的一般步骤
(1)当多项式有公因式时，先提取公因式；
(2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 .
注意： 当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，将其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 .
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特别解读
1. 因式分解中的完全平方公式是乘法公式中的 完全平方公式的逆用 .
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“+”，也可以是“－”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解 .
3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式 .
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已知 9a2+ka+16 是一个完全平方式， 则 k 的值
是________ .
例2
±24
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解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值 .
解：因为 9a2=(3a)2，16=42，
9a2+ka+16是一个完全平方式，
所以 ka=±2×3a· 4=±24a. 所以 k=±24.
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方法点拨
求与完全平方式有关的字母值的方法：
可根据首项、尾项和中间项三者之间的关系，由其中两项求出字母的值，要注意中间项的符号有“±”两种情况 .
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分解因式：
(1) x2－14x+49；
例3
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式 .
解： x2－14x+49 =x2 － 2· x· 7+72=(x－ 7) 2.
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解法提醒
运用完全平方公式分解因式的关键是判断每个多项式是否符合完全平方式的结构特点，若符合，进一步确定公式中的“a”和“b” . 注意当平方项系数为负时，一般要先提出负号，提出负号时括号内多项式各项都要变号，如(2) 题 .
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解： －6ab－9a2－b2
= － (9a2+6ab+b2)
= － ［(3a) 2+2×3a· b+b2］
= －(3a+b) 2.
(2) －6ab－9a2－b2；
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解： a2－ ab+b2
=(a)2－2× a· b+b2
=(a－b) 2.
(3) a2－ ab+b2；
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解： (x2+6x) 2+18(x2+6x) +81
=(x2+6x) 2+2·( x2+6x)· 9+92
=( x2+6x+9) 2
=( x+3) 4.
(4)(x2+6x) 2+18(x2+6x) +81.
完全平方公式可以连续使用，
因式分解的结果要彻底 .
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[母题 教材P84例4]分解因式：
(1) － 3a3b+48ab3；
例4
解： － 3a3b+48ab3
= － 3ab( a2 － 16b2)
= － 3ab( a+4b)(a － 4b) .
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解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式 .
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方法点拨
“一提、二套、三查”是分解因式的步骤：有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多项式是两项式，则考虑用平方差公式，若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中的每一个因式是否分解彻底 .
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解： x4 － 8x2+16 =(x2 － 4) 2
=［( x+2)( x － 2)］ 2=( x+2) 2·(x － 2) 2.
(2) x4 － 8x2+16；
(3)25x2( a － b) +36y2( b － a) .
25x2( a － b) +36y2( b － a)
=25x2(a － b) － 36y2·( a － b)
=( a － b)(25x2 － 36y2)
=(a － b)(5x+6y)(5x － 6y) .
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知识点
用分组分解法分解因式
3
分组分解法 当一个多项式项数较多，且各项既没有公
因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适
当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组
之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法
叫做分组分解法 .
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理解:
(1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式 .
(2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上 . 如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2” 的形式；②分为“1+3”的形式 .
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解法提醒
分组的目的是分组后能用提公因式法或公式法分解因式，且各组之间能继续分解因式.
多项式的分组有时不能一次就成功，需要大胆地尝试，直到达到目的为止 .
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[母题 教材P85例6]把下列各式分解因式 .
(1) ad+bd－ax－ay－bx－by；
例5
解：原式=( ad － ax － ay) +( bd － bx － by)
=a( d － x － y) +b( d － x － y)
=( a+b)( d － x － y) .
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解题秘方：分组一般应遵循分组后能运用公式法继续分解，或分组后可提公因式分解因式的原则，因而在分组时可进行适当尝试，直到找出解题思路为止 .
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解：原式
=1－(4x2－4xy+y2)
=1－(2x－y) 2
=(1+2x－y)(1－2x+y) .
(2)4xy+1－4x2－y2.
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方法点拨
把一个多项式按 “先部分，后整体” 的思路，先分组，分别变形，再分解因式，这种因式分解的方法称为分组分解法 . 分组分解法适用于三项以上的多项式的因式分解 .
公式法
公式
a2－b2=(a－b)(a+b)
分组分解
用公式法
分解因式
利用平方差公式分解因式
利用完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)
