(共61张PPT)
9.1 分式及其基本性质
第九章 分式
学习目标
课时讲解
1
分式的概念
分式有意义和无意义的条件
分式的值为 0 的条件
分式的基本性质
分式的约分
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时流程
2
知识点
知1－讲
感悟新知
1
分式的概念
分式 一般地，如果 A， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式，其中 A叫作分式的分子， B 叫作分式的分母 .
分式的“三要素”：(1)形如的式子；
(2) A， B为整式；(3)分母B中含有字母.
知1－讲
感悟新知
2. 分式与分数、整式的关系
(1)分式中分母含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况.
(2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母.
知1－讲
感悟新知
3.有理式 整式和分式统称为有理式，
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用 .
2. 判断一个式子是否是分式，不能将原式子进行变形后再判断，必须按照本来的“面目”进行判断 .
如： 是分式 .
感悟新知
知1－练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
例 1
知1－练
感悟新知
特别警示
1. 由于 约分后为p，所以容易误认为其是整式 .
2. 中，尽管分母中含有字母 x，但分子 不是整式，所以它既不是整式，也不是分式 .
3. π 是常数， 不能当字母看，所以是整式 .
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用分式的三要素判断即可.
感悟新知
知1－练
方法点拨：判断一个式子是否是分式的方法：
首先看式子是否具有的形式，其次看 A， B 是不是整式，最后看分母中是不是含有字母 . 分式只注重形式而不注重结果，分母中含有字母是判断分式的必要条件 .
知识点
分式有意义和无意义的条件
知2－讲
感悟新知
2
1. 分式有意义的条件
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以
分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义.
知2－讲
感悟新知
2. 分式无意义的条件
分式的分母为0，即当B=0 时，分式无意义.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 分母不为 0，并不是说分母中的字母不能为 0，而是表示分母的整式的值不能为 0.
2. 分式是否有意义，只与分式的分母是否为0 有关，与分式的分子是否为 0 无关 .
感悟新知
知2－练
[母题 教材P97例1(1)]当x 满足什么条件时下列分式有意义？
例2
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
知2－练
感悟新知
解法提醒
求分式有意义时字母的取值范围的方法：
根据“分式有意义的条件为分式的分母不等于 0” 列不等式求解，得分式有意义时字母的取值范围.
感悟新知
知2－练
解：当5x－3 ≠ 0，即x ≠ 时，分式 有意义.
当|x|－1 ≠ 0，即x ≠ ±1 时，分式 有意义.
感悟新知
知2－练
解：因为无论x 取什么值，都有x2+3>0，
所以x 取任何实数，分式 都有意义.
当(x－2)(x+4)≠ 0，即x ≠ 2 且x ≠ －4 时，分式 有意义.
知2－练
感悟新知
警示误区
只能对原分母进行讨论，不能先约分化简再讨论，否则会使取值范围扩大，如此题(4)中，若约去 x－2，易错得当x ≠ －4 时，分式有意义 .
感悟新知
知2－练
分式 中的x 满足什么条件时分式无意义？
解题秘方：分母的值等于0 时，分式无意义.
例 3
解：要使分式 无意义，则分母x2－16=0，
即x2=16，解得x=±4.
所以当x=±4 时，分式 无意义.
知2－练
感悟新知
方法点拨
求分式无意义时字母的值，只需利用分母等于 0 构造出方程求解即可 .
知识点
分式的值为0的条件
知3－讲
感悟新知
3
1. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0.
即对于分式，当A=0 且B≠ 0 时，=0.
知3－讲
感悟新知
2. 对常见的几种特殊分式值的讨论
(1)若的值为正数，则或
(2)若的值为负数，则 或
(3)若的值为1，则A= B ，且B ≠ 0.
(4)若的值为－ 1，则A =－ B ，且B ≠ 0.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1.分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的. 所以分式的值为0的条件： A=0 且B ≠ 0 ，二者缺一不可.
2.对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母.
感悟新知
知3－练
[母题 教材P97例1(2)]当x 取何值时，下列分式的值为0 ？
(2)；
例4
知3－讲
感悟新知
解题秘方：分式的值为0 的条件：分子为0，分母不为0.
感悟新知
知3－练
解：由x+2=0，且 2x － 3 ≠ 0，得x=－2，
所以当x=－2 时，分式 的值为0.
(2)；
由 得 x=2，
所以当 x=2 时，分式 的值为 0.
感悟新知
知3－练
解：由3-|x|=0，且(x-3)(x+1)≠ 0，得x=－3，
所以当x=－3 时，分式 的值为0.
由(x － 1)(x － 3)=0，且 x2 － 1 ≠ 0，得x=3，
所以当x=3 时，分式 的值为0.
若ab≠0，
则a≠0且b≠0.
若ab=0，
则a=0或b=0.
知3－练
感悟新知
教你一招
求分式的值为 0 时字母的值的方法：
先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母为 0，当分母不为 0 时，这个值就是所要求的字母的值.切记使分母为 0的值必须舍去 .
注意：若有多个值使分式的值为 0，则这几个值之间用“或”连接 .
知识点
分式的基本性质
知4－讲
感悟新知
4
1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变， = ，= (A，B， M是整式 ，且M=0).分式的基本性质是分式变形的理论依据.
知4－讲
感悟新知
特别解读
1. B ≠ 0 是已知中隐含的条件，M ≠ 0是在解题过程中另外附加的条件，在运用此性质时，必 须 重 点 强 调M ≠ 0 这个前提 .
2. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式的值的大小，只改变其形式 .
知4－讲
感悟新知
2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.
用字母表示为
(1)= = － = － ；
(2)－= － = = .
感悟新知
知4－练
[母题 教材P99例2]写出下列等式中未知的分子或分母：
(3) = .
5y
例5
( )
( )
a2+2ab
x－y
知4－练
感悟新知
解法提醒
解决与分式的恒等变形有关的填空题时，一般从分子或分母的已知部分入手，先观察等号两边的分子或分母发生了怎样的变化，再通过对分母或分子作相同的变化得到未知项 .
感悟新知
知4－练
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
感悟新知
知4－练
解：(1) 右边的分子3x 是由左边的分子15x2y 除以5x得到的，所以右边的分母可以由左边的分母25xy2 除以5xy 得到，结果是5y.
(2) 右边的分母a2b2 是由左边的分母ab2 乘a 得到的，所以右边的分子可以由左边的分子a+2b 乘a 得到，结果是a2+2ab.
感悟新知
知4－练
(3) 右边的分子 3 是由左边的分子 3x 除以 x 得到的，所以右边的分母可以由左边的分母 x2－xy 除以 x 得到，结果是 x－y.
感悟新知
知4－练
不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含
“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.
例6
感悟新知
知4－练
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变.
感悟新知
知4－练
解：
知4－练
感悟新知
警示误区
当分子、分母是多项式时，应将其看成一个整体，若分子或分母的首项系数是负数，应先提取 “－”号并添加括号，注意此时多项式中的每一项都要变号 .
感悟新知
知4－练
把分式 (n ≠ 0)中的 m 和 n 同时扩大为原来的 2 倍，那么分式的绝对值( )
A. 扩大为原来的 2 倍
B. 不变
C. 缩小为原来的
D. 缩小为原来的
例7
感悟新知
知4－练
解题秘方：将分式中的 m 和 n 同时扩大为原来的 2 倍，再代入原分式，利用分式的基本性质变形 .
感悟新知
知4－练
解：把分式 中的 m 和 n 同时扩大为原来的 2 倍，可将分式变为 = = ，因此分式的绝对值缩小为原来的 .
答案：C
知4－练
感悟新知
方法点拨
解答此类问题，应先求出变化后的分式，然后运用分式的基本性质化简，再与原分式进行比较即可 .
感悟新知
知4－练
[母题 教材P102习题T4]不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数 ：
(1) ； (2) .
例8
感悟新知
知4－练
解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母同时乘同一个数，使系数都化为整数 .
感悟新知
知4－练
解： =
=.
(1) ；
感悟新知
知4－练
解： = =.
(2) .
知4－练
感悟新知
教你一招
利用分式的基本性质化系数为整数的方法：
1. 若各项系数都是小 数， 则分子、分母同乘 10 的正整数倍 .
2. 若各项系数都是分数，则分子、分母同乘分子和分母中所含分数的分母的最小公倍数 .
3. 若各项系数既有小数又有分数，则要先统一成小数或者分数，然后再化为整数 . 注意将系数化为整数的过程中不要漏项 .
知识点
分式的约分
知5－讲
感悟新知
5
1. 分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的约分.
知5－讲
感悟新知
特别解读
1. 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子 和分母的公因式 .
2. 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式 .
3. 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式 .
知5－讲
感悟新知
2. 找公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式.
知5－讲
感悟新知
3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
感悟新知
知5－练
[母题 教材P100例3]约分：
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(3)中的分子、分母都是多项式，先将分子、分母分解因式，再进行约分.
例9
感悟新知
知5－练
解：
==.
感悟新知
知5－练
解：
知5－练
感悟新知
特别提醒
约分时需要注意的问题：
1.注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式(如互为相反数的式子).
2.当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面 .
感悟新知
知5－练
下列各式中，最简分式有______________.
例10
感悟新知
知5－练
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
解：
知5－练
感悟新知
知识储备
最简分式是约分后的形式，所以判断最简分式的唯一标准就是分式不能再约分 .
课堂小结
分式及其基本性质
分式的基
本性质
约分
分式有意
义的条件
分式的值为
0的条件
分式(共42张PPT)
9.3 分式方程
第九章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式方程的概念
分式方程的解法
分式方程的应用
知识点
知1－讲
感悟新知
1
分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫作分式方程 .
知1－讲
感悟新知
2. 判断一个方程是分式方程的条件
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数.
以上三者缺一不可.
知1－讲
感悟新知
特别解读
1. 分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 .
2. 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形 .
感悟新知
知1－练
判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
例1
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别.
感悟新知
知1－练
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.
(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a 为非零常数，不是未知数.
知1－练
感悟新知
方法点拨
判断一个方程是不是分式方程的方法：
根据分式方程的定义中的条件，判断方程中的分母是否含有未知数(注意仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)，如果含有未知数，那么这个方程就是分式方程，否则就不是分式方程 .
知识点
分式方程的解法
知2－讲
感悟新知
2
1. 解分式方程的基本思路
去分母，把分式方程转化为整式方程.
知2－讲
感悟新知
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
感悟新知
3. 检验方程解的方法
(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确 .
知2－讲
感悟新知
4. 增根 分式方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像这样的根，称为原方程的增根 .
增根产生的原因 去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了 .
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 解分式方程的关键是去分母 . 去分母时不要漏乘不含分 母的项，当分子是多项式时要用括号括起来 .
2. 解分式方程一定要检验方程的根，对于增根必须舍去 .
3. 对增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解；
(2)若分式方程有增根，则必是使最简公分母为 0时未知数的值.
感悟新知
知2－练
[母题 教材P116例1]解下列方程：
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，得到分式方程的解.
例2
感悟新知
知2－练
解：方程两边都乘以(x－4)(x－6)，
得x ( x－6)= ( x+2) ( x－4)，解得x=2.
检验：当x=2 时， ( x－4) ( x－6)≠ 0.
所以原分式方程的解为x=2.
感悟新知
知2－练
解：方程两边都乘以(x－3)，
得2－x=－1－2(x－3). 解得x=3.
检验：当x=3时，x－3=0，
所以 x=3 不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解.
感悟新知
知2－练
解：方程两边都乘以3(x－1)，
得4x+6－3(5x－4)=3(x－1)，
解得x= . 检验：当x= 时，3(x－1)≠ 0.
所以原分式方程的解为x= .
感悟新知
知2－练
解：原方程可化为
方程两边都乘以x(x+2)(x－2)，得4(x－2)+7x=6(x+2)，
解得x=4. 检验：当x=4 时，x(x+2)(x－2)≠ 0.
所以原分式方程的解为x=4.
知2－练
感悟新知
特别警示
去分母时的注意事项：
(1) 分母与最简公分母中的因式不是相同而是互为相反数时， 去分母后注意改变符号，如例 2(2)中最简公分母是(x－3)，而 的分母是(3－x)， 所以去分母后是 “－1”而不是“1”.
知2－练
感悟新知
(2) 分子是多项式的，去分母后要带上括号，如例2(3) 中，去分母后为3(5x － 4)；
(3) 不含分母的项不要漏乘最简公分母，且最简公分母是多项式的也要带上括号 .验 根 是 必不可少的步骤.
知识点
分式方程的应用
知3－讲
感悟新知
3
1. 列分式方程常用的等量关系
(1)行程问题：速度× 时间= 路程.
(2)利润问题：利润= 售价－ 进价；
利润率= 利润÷ 进价×100%.
(3)工程问题：工作量= 工作时间× 工作效率；总工作量= 各个分工作量之和.
(4) 储蓄问题： 本息和 = 本金 + 利息 .
知3－讲
感悟新知
2. 列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.
(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量.
知3－讲
感悟新知
(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程.
(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.
(5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.
(6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整.
知3－讲
感悟新知
特别解读
1.审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部( 或大部分) 数量的等量关系列方程.
2.设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另 一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设 一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.
3.应用题中解分式方程同样要验根.
感悟新知
知3－练
为加快城市群的建设与发展，要在 A， B 两城市间
新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的 120km缩短至 114km，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快 110km，设计运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在 A， B 两城市间的运行时间 .
例3
感悟新知
知3－练
解题秘方：根据题意中的两个等量关系，一个用来表示未知量，一个用来列方程解决问题 .
感悟新知
知3－练
解：设建成后的城际铁路在 A， B 两城市间的运行
时间为 xh，则现行的运行时间为 x h.
根据题意，得－ =110.解得 x=0.6.
当 x=0.6 时， x ≠ 0，所以原分式方程的解为 x=0.6，且 x=0.6 符合题意 .
答：建成后的城际铁路在 A， B 两城市间的运行时间为0.6h.
知3－练
感悟新知
另解
设城际铁路的现行平均速度 是 ykm/h， 则 城 际 铁路的设计平均速度是(y+110)km/h.
根据题意，得· = . 解得 y=80.
经检验，y=80 是 原分式方程的解，且符合题意 .
所以× =0.6(h).
感悟新知
知3－练
[ 中考·德阳 ] 某铁路货运集装箱物流园区正式启动了
2 期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由 A， B 两个工程公司承担建设，已知 A 工程公司单独建设完成此项工程需要180 天， A 工程公司单独施工 45 天后， B 工程公司参与合作，两工程公司又共同施工 54 天后完成了此项工程．
例4
感悟新知
知3－练
解题秘方：利用一项工程分几部分完成， 各部分工作量之和等于工作总量“1” ，列出方程解决问题 .
知3－练
感悟新知
解法提醒
将工作总量看成 “1”时，完成任务的天数与工作效率互为倒数 .
在工程问题中，无论工作过程是怎样的，等量关系都是：甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 +…= 总工作量 . 当总工作量没有给出时，一般记为“1”.
感悟新知
知3－练
解：设 B 工程公司单独建设完成此项工程需要 x天，
根据题意得 45× +54( + )=1，解得 x=120，
经检验， x=120 是原分式方程的解，且符合题意 .
答： B 工程公司单独建设完成此项工程需要 120 天 .
(1)求 B 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天；
感悟新知
知3－练
(2)由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工， A工程公司建设其中一部分用了 m 天完成， B 工程公司建设另一部分用了 n 天完成，其中 m， n 均为正整数，且 m<46， n<92，求 A， B 两个工程公司各施工建设了多少天 .
感悟新知
知3－练
解：根据题意， 得 m· +n· =1， 整理，
得n=120 － m，因为 n<92，所以 120 － m<92，解得 m>42，又因为 m<46，所以 42答： A， B 两个工程公司各施工建设了 45 天和 90 天．
感悟新知
知3－练
某超市用3 000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000 元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果的质量比第一次的2 倍还多300 千克. 若超市按9 元/ 千克的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 千克按售价的8 折售完.
例5
感悟新知
知3－练
(1)该种干果第一次的进价是多少元/ 千克？
解题秘方：根据等量关系“第二次购进干果的质量=2× 第一次购进干果的质量+300 千克”列方程进行求解；
感悟新知
知3－练
解：设该种干果第一次的进价是x 元/ kg，
则第二次的进价为(1+20%)x 元/ kg.
根据题意，得 ，解得x=5.
当x=5 时，(1+20%)x ≠ 0且符合题意.
所以原分式方程的解为x=5.
答：该种干果第一次的进价是5 元/ kg.
感悟新知
知3－练
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
解题秘方：根据“盈利= 销售额－成本”列式进行计算.
解：根据题意，盈利为 ×
9 + 600×9×80 % －(3 000+9 000)=(600+1 500 －600)×9+4 320 －12 000=5 820(元).
答：超市销售这种干果共盈利5 820 元.
知3－练
感悟新知
详解
由题意可知，按每千克 9 元的价格出售的干果的质量等于两次购进的干果的总质量减去 600kg .
知3－练
感悟新知
知识储备
利润问题的相关公式及基本数量关系：
1. 相关公式：
售价 = 进价 ×（ 1+ 利润率 )；
售价 = 标价 × 折扣；利润率 =× 100%.
2. 基本数量关系：
利润 = 售价 - 进价；利润 = 进价 × 利润率；
销售额 = 销 售量 ×销售单价；
进价 ×（1+ 利润率 )=标价 × 折扣 .
课堂小结
分式方程
解法
列
分式方程的应用
增根
产生
分式方程(共35张PPT)
9.2 分式的运算
第1课时
分式的乘除
第九章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
分式的乘除、乘方混合运算
知识点
知1－讲
感悟新知
1
分式的乘法
分式的乘法法则 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母 .
用字母表示为
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2. 法则的运用方法
(1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分；
(2)若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；
(3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参与运算.
知1－讲
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特别解读
分式乘法运算的基本步骤：
第 1 步：确定积的符号，写在积中分式的前面.
第 2 步：运用法则，将分子与分母分别相乘，是多项式的要带括号.
第 3 步：约分，将结果化成最简分式或整式.
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知1－练
[母题 教材P105例1(1)]计算：
例 1
解题秘方：利用分式的乘法法则进行计算.
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解：
知1－练
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解法提醒
对于分式的乘法计算的结果，要注意以下两点：
1.结果必须是最简分式或整式 .
2. 计算结果若为，要运用分式的符号法则写成 －的形式.
知识点
分式的除法
知2－讲
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2
1. 分式的除法法则 两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 .
用字母表示为
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2. 法则的运用方法
(1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算；
(2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1 的“分式”进行运算.
知2－讲
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特别提醒
1. 分式的除法与分数的除法类似，可类比分数的除法学习 .
2. 分式的除法法则是数学转化思想的具体体现，即把除法运算转化为乘法运算 .
3. 运算的结果应化为最简分式或整式 .
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[母题 教材P105例1(2)]计算：
例2
解题秘方：利用分式的除法法则将分式的除法运算转化为分式的乘法运算.
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解：
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解：
知2－练
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解题通法
分式除法运算的基本步骤：
第 1 步： 将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；
第 2 步： 将除法转化成乘法；
第 3 步： 利用分式的乘法法则计算 .
知识点
分式的乘方
知3－讲
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3
1. 分式的乘方法则 分式乘方等于把分子、分母分别乘方.
用字母表示为 (n 为正整数).
根据负整数次幂的意义，可知( ) n=( AB -1) n.
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2. 分式乘方的方法
(1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与有理数乘方确定结果符号的方法相同；
(2)分式乘方时，一定要将分子、分母分别乘方，不能将 错写成 ；
知3－讲
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(3)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现( )2= 的错误.
知3－讲
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特别解读
1.分式乘方是分式乘法中因式相同时的一种特殊情况，因此分式乘方都可转化为分式乘法进行计算.
2.学习了分式乘方法则后，直接可用法则进行计算，在计算时先确定结果的符号，再把分子、分母分别乘方.
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计算：
解题秘方：先运用分式的乘方法则将分子、分母分别乘方，再运用幂的乘方和积的乘方的性质计算.
例 3
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解：
负数的奇次方为负，结果应为负.
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解：
知3－练
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特别警示
在进行乘方运算时，必须将分子、分母整体分别乘方，当分式中 含 有“-” 号 时， 要特别注意符号问题 .
知识点
分式的乘除、乘方混合运算
知4－讲
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4
1. 分式的乘除混合运算 在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算.
知4－讲
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2. 分式的乘除、乘方混合运算 分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的.
知4－讲
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特别提醒
1. 分式的乘除、乘方混合运算的关键有两点：一是正确选择运算顺序；二是正确运用运算法则 .
2. 运算的结果应化为最简分式或整式 .
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知4－练
计算：
(1) ÷ · ；
解题秘方：将分式乘除混合运算统一为分式乘法运算 .
例4
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知4－练
解：÷ ·
= · ·
= .
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知4－练
解：÷ (x+1) ·
=· · (－)
=－
=－.
(2) ÷ (x+1) · .
知4－练
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解题通法
分式的乘除混合运算的解题步骤：
在分式的乘除混合运算中，一定要先将乘除混合运算统一成乘法运算，再按分式乘法法则进行计算，能分解因式的要分解因式，这样便于约分，计算结果应是最简分式或整式 .
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知4－练
计算：
解题秘方：先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的.
例5
知4－练
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解法提醒
分式乘除、乘方混合运算的解题步骤：
1. 在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除 .
2. 乘、除是同一级运算，要按照从左到右的运算顺序计算 .
3. 当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的.
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知4－练
解：
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解：
课堂小结
分式的乘除
分式的乘方
转化
分式的乘法
混合运算
转化
分式的除法
分式的乘除(共30张PPT)
9.2 分式的运算
第2课时
分式的加减
第九章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
分式的通分
同分母分式的加减法
异分母分式的加减法
分式的混合运算
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知识点
分式的通分
1
1. 分式的通分 化异分母分式为同分母分式的过程，叫作分式的通分 .
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2. 最简公分母 异分母分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母 .
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3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
知1－讲
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特别解读
约分与通分的联系与区别：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变 .
2.约分是针对一个分式来说的，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的 .
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知1－练
[母题 教材P108例3]把下列各组分式通分：
(1) 和 ；(2) 和；
(3) ，和 .
例1
知1－练
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解题秘方：先确定最简公分母，再通分 .
解：最简公分母是 12x3y2z3，
= = ，
= = .
(1) 和
知1－练
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方法点拨
确定最简公分母的一般方法：
1. 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是由各分母系数的最小公倍数、各分母相同字母的最高次幂、各分母所有不同字母及其指数的乘积这三部分组成 .
2. 如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定 .
知1－练
感悟新知
解：最简公分母是( x＋1)(x－1) ，
= = =，
= = =.
(2) 和
知1－练
感悟新知
解：最简公分母是 3( x－y) 2，
===，
= ==，
= ==.
(3) ，和 .
知识点
知2－讲
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2
同分母分式的加减法
1. 同分母分式的加减法法则
同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.
用字母表示为
知2－讲
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2. 同分母分式相加减的一般步骤
(1)分母不变，把分子相加减；
(2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；
(3)结果应化成最简分式或整式.
特别解读
“ 分子相加减”就是把各个分式的分子整体相加减，在计算时，各分子都应用括号括起来.
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知2－练
[母题 教材P110例4]计算：
例2
解题秘方：按照同分母分式的加减法法则进行计算即可，结果要化为最简分式或整式.
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知2－练
解：
知2－练
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警示误区
同分母分式相加减的三大易错点：
1. 当分母不是相同而是相反时，不能直接相加减，将分母变成相同时，中间的运算符号随之改变 .“+”变“-”，“-” 变“+”.
2. 当分子是多项式时，对分子进行加减时，要带括号，然后进行去括号运算 .
3. 加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式 .
知识点
异分母分式的加减法
知3－讲
感悟新知
3
1. 异分母分式的加减法法则
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
知3－讲
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2. 异分母分式相加减的一般步骤
(1)通分：将异分母分式转化为同分母分式；
(2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分.
特别解读
通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积.
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知3－练
[母题 教材P110例5]计算：
解题秘方：异分母分式相加减，先找最简公分母，进行通分，变为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算.
例3
感悟新知
知3－练
解：
感悟新知
知3－练
在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体，通分时要带上括号.
解：
知3－练
感悟新知
特别提醒
1. 通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式符号的变化规律对分子、分母及分式前面的运算符号进行变换，如本题(1)，将分母“4－x” 变 为 “x－4”，提出的“－” 放在分式的前面，使本来的“+”变为“－”.
2. 类似同分母分式相加减，分子是多项式的注意带上括号 .
3. 最后运算的结果应是最简分式或整式 .
知识点
分式的混合运算
知4－讲
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4
1. 分式的混合运算顺序
分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，最后算加减. 有括号时，先进行括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行.
2. 分式混合运算的方法
(1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算.
(2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单.
(3)运算结果必须是最简分式或整式.
知4－讲
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知4－讲
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特别提醒
1.分式混合运算要注意运算顺序和解题步骤.
2.分式除法只有转化为乘法后才能运用乘法分配律进行计算.
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[母题 教材P112例6]计算：
解题秘方：在进行分式的混合运算时，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的.
例4
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解：
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解：
可以看成分
母为1的式子.
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方法点拨
1. 有理数的运算顺序及运算律对分式运算同样适用 .
2. 分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数的，要把“-” 提到分式的前面 .
3. 所有的分式运算，结果必须达到最简 .
课堂小结
分式的加减
同分母
异分母
混合
运算
运算顺序
运算律
分式的
加减
