(共62张PPT)
10.2 平行线的判定
第十章 相交线、平行线与平移
学习目标
课时讲解
1
平行线的定义及画法
平行线的基本事实及其推论
同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定的基本事实(判定方法1)
过直线外一点作已知直线的平行线
平行线的判定方法 2
平行线的判定方法 3
平行线判定方法的推论
知1－讲
感悟新知
知识点
平行线的定义及画法
1
1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 .
平行线定义的三要素
(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系：
相交或平行 .
2. 经过直线上一点不可以作已知直线的平行线 .
3. 画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线 .
感悟新知
2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图 10.2-1，直线 AB 与 CD是平行线，记作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，读作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” .
知1－讲
感悟新知
3. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤
一落： 把三角尺的一边落在已知直线上；
二靠： 紧靠三角尺的另一边放一直尺；
三移： 把三角尺沿着直尺移动，使其落在已知直线上的边经过已知点；
四画： 沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线 .
知1－讲
感悟新知
示图(如图 10.2-2)：
知1－讲
知1－练
感悟新知
读下列语句，并画出图形 ：AB， CD 是同一平面内
的两条直线， P 是直线 AB， CD 外的一点，直线 EF 经过点 P与 AB 平行，直线 MN 经过点 P 与 CD 垂直 .
例1
知1－练
感悟新知
解题秘方：按照语句的要求，结合平行线的画法进行作图 .
解法提醒
根据语句画图时，要注意画出的图形符合语句的要求，若语句中没有说清楚，要考虑各种情况，如本题中AB，CD 之间没有指明位置关系，所以画图时可以平行也可以相交 .
知1－练
感悟新知
解：如图 10.2-3 所示 .
感悟新知
知2－讲
知识点
平行线的基本事实及其推论
2
1. 基本事实 经过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线 .
特别提醒： 基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线 .
特别解读
“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 .
感悟新知
知2－讲
2. 推论：平行线的传递性 如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 .
表达方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b.
感悟新知
知2－练
[母题 教材P137练习T3] 如图 10.2-4，直线 a ∥ b， b ∥ c， d 与 a 相交于点 M.
(1) 试判断直线 a， c 的位置关系，并说明理由；
(2) 判断 c 与 d 的位置关系，并说明理由 .
例2
知2－练
感悟新知
解题秘方：根据基本事实及其推论判定两条直线的位置关系 .
感悟新知
知2－练
(1) 试判断直线 a， c 的位置关系，并说明理由；
解：a ∥ c.
理由：因为 a ∥ b，b ∥ c，所以 a ∥ c .
(2) 判断 c 与 d 的位置关系，并说明理由 .
直线 c，d 相交 . 理由：因为直线 a，d 都过点 M，且 a ∥ c，所以 d 与 c 相交.
知2－练
感悟新知
方法点拨
判定两条直线平行的方法：
1.若涉及相交问题，则用平行线的定义；
2.若涉及三条直线 的位置关系问题，则用基本事实的推论，较常用的方法是 基 本事实的推论 .
感悟新知
知3－讲
知识点
同位角、内错角、同旁内角
3
1. “三线八角” 两条直线被第三条直线所截形成八个角， 习惯上称为“ 三线八角”， 它们构成了同位角、内错角、同旁内角 .
如图10.2-5 所示，两条直线 a 和 b 被第三条直线 l所截 .
感悟新知
知3－讲
2. 同位角、内错角、同旁内角的定义
(1)同位角：∠ 1 与∠ 5 分别在直线 a 和b 相同的一侧，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同位角 . 再如∠ 2 与∠ 6，∠ 3 与∠ 7，∠ 4 与∠ 8.
(2)内错角：∠ 5 与∠ 3 都在直线 a， b 之间，并且位于直线 l 的两旁，具有这样位置关系的一对角叫作内错角 . 再如∠ 4 与∠ 6.
(3)同旁内角：∠ 5 与∠ 4 都在直线 a， b之间，并且位于直线 l 的同旁，具有这样位置关系的一对角叫作同旁内角 . 再如∠ 3与∠ 6.
知3－讲
感悟新知
特别解读
识别同位角、内错角、同旁内角，第一步是要分清截线和被截线(两个角的公共边所在的直线为截线，另两条线为被截线)；第二步是根据两个角相对于截线和被截线的具体位置，结合各类位置角的定义确定它们的具体关系 . 在截线同旁(同侧) 找同位角（两个角都在被截线的上方或下方，形似字 母“F”)、 同 旁 内角 [两个角在被截线之间(内)，形似字母“U”]；在截线不同旁 (两侧 ) 找内错角(两个角在两条被截线之间，形似字母“Z”).
知3－练
感悟新知
[母题 教材P138例1]如图 10.2-5，结合图形解答
下列问题：
∠ 1 与∠ 2 是直线____和直线_____
被第三条直线______所截而成的____角；
例3
CE
AB
BC
同位
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据同位角、内错角和同旁内角的定义确定答案 .
解：∠ 1 与∠ 2 都有一条边在直线 BC 上，另一条边分别在直线 CE， AB 上，两角都在直线 BC 的上方，分别在直线 CE， AB 的右侧，所以∠ 1 与∠ 2 是直线 CE 和直线 AB 被直线 BC 所截而成的同位角；
知3－练
感悟新知
(2) ∠ 2 与∠ 3 是直线_____和直线____被第三条直线______所截而成的______角；
AB
AC
BC
同旁内
知3－练
感悟新知
解：∠ 2 与∠ 3 都有一条边在直线 BC 上，另一条边分别在直线 AB， AC 上，两角都在直线 BC 的上方，在直线AB， AC 之间，所以∠ 2 与∠ 3 是直线 AB 和直线 AC 被直线BC 所截而成的同旁内角；
知3－练
感悟新知
(3)∠ 4 与∠ A 是直线_____和直线_____被第三条直线______所截而成的_____角 .
CE
AB
AC
内错
知3－练
感悟新知
解：∠ 4 与∠ A 都有一条边在直线 AC 上，另一条边分别在直线 CE， AB 上，两角分别在直线 AC 的两侧、在直线CE， AB 之间，所以∠ 4 与∠ A 是直线 CE 和直线 AB 被直线AC 所截而成的内错角 .
知3－练
感悟新知
方法点拨
识别同位角、内错角和同旁内角的方法：
1. 定义法：一看三线、二找截线、三查位置来分辨，这三种角的共同特征是：一对边共线，不共顶点，另一对边分别在两条直线上，再根据位置关系确定是哪种角；
2. 分离图形法：通过分离图形，把每一对角从复杂图形中分离出来，观察分离出的角的形状结构特征，按定义法加以区分；
知3－练
感悟新知
3. 特征法： 把相关的一对角用彩笔描出， 看其是否符合 “F”“Z”“U”形特征；
4. 方位法：同位角：同左、同上；同左、同下；同右、同上；同右、同下；内错角：同内、异侧；同旁内角：同内、同侧.
感悟新知
知4－讲
知识点
平行线的判定的基本事实(判定方法 1）
4
1. 基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 .
简单地说， 同位角相等，两直线平行 .
感悟新知
知4－讲
特别解读
构成同位角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对同位角相等时，这两条被截线才平行 .
感悟新知
知4－讲
2. 表达方式 如图 10.2-7，
因为∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以 a ∥ b(同位角相等，两直线平行) .
感悟新知
知4－练
如图 10.2-8，已知直线 AB， CD 被直线 EF 所截，
∠ 1+ ∠ 2=180°， AB 与 CD 平行吗？请说明理由 .
例4
知4－练
感悟新知
解题秘方：找出一对同位角， 通过已知条件说明这对同位角相等来说明两条直线平行 .
解法提醒
判断两条直线是否平行，当题中涉及角的关系时，则可通过找出这两条直线被第三条直线所截得到的一对同位角，并利用相关角的条件判断其是否相等，如果相等，那么这两条直线平行，否则不平行 .
知4－练
感悟新知
解：AB ∥ CD.理由如下：
因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，
∠ 2+ ∠ 3=180°(邻补角的定义)，
所以∠ 1= ∠ 3(同角的补角相等) .
所以 AB ∥ CD(同位角相等，两直线平行) .
感悟新知
知5－讲
知识点
过直线外一点作已知直线的平行线
5
1. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的平行线的作法如下：
作法 示图
1.在直线 AB 上任取一点 O，过点 O， P 作直线 CD
2.以点 P 为顶点，以 PD 为一边，在直线CD 的右侧作∠ DPN=∠ DOB.PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线
知5－讲
感悟新知
特别解读
1. 作图依据：平行线判定的基本事实：同位角相等，两直线平行.
2. 作图思路：作一个角等于已知角 .
知5－练
感悟新知
如图 10.2-9，已 知 ∠ MON， A， B 分 别 是 射 线
OM， ON 上的点 . 尺规作图：在∠ MON 的内部确定一点 C，使得 BC ∥ OA 且 BC=OA(保留作图痕迹，不写作法)．
例5
知5－练
感悟新知
解题秘方：根据尺规作图作角及线段的作法作图即可．
解：如图 10.2-10 所示，点 C 即为所求．
知5－练
感悟新知
思路点拨
作一条直线平行于已知直线的本质是根据 “同位角相等，两直线平行”作出与已知角相等的同位角，如本例题实质上是作∠ CBN=∠ O.
感悟新知
知6－讲
知识点
平行线的判定方法 2
6
1. 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 .
简单地说，内错角相等，两直线平行 .
知6－讲
感悟新知
特别提醒
构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等时，这两条被截线才平行 .
感悟新知
知6－讲
特别解读：
(1)“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的 .
(2)利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角，再说明这两条直线平行 .
感悟新知
知6－讲
2. 表达方式 如图 10.2-11，
因为∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以 a ∥ b(内错角相等，两直线平行) .
知6－练
感悟新知
如图 10.2-12，已知∠ ADE=60°， DF 平分∠ ADE，
∠ 1=30°，试说明 DF ∥ BE.
例6
知6－练
感悟新知
解题秘方：先找出 DF 和 BE 这两条被截线所形成的一对内错角，然后利用条件说明这对内错角相等来说明这两条被截线平行 .
知6－练
感悟新知
解法提醒
要判定两直线平行可以通过说明同位角相等或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是选用内错角，要看具体的题目，要尽可能与已知条件联系 .
知6－练
感悟新知
解：因为 DF 平分∠ ADE(已知)，
所以∠ EDF= ∠ ADE(角平分线的定义) .
又因为∠ ADE=60°(已知)，
所以∠ EDF=30° .
又因为∠ 1=30°(已知)，
所以∠ EDF= ∠ 1.
所以 DF ∥ BE(内错角相等，两直线平行) .
感悟新知
知7－讲
知识点
平行线的判定方法 3
7
1. 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 .
简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 .
特别提醒： 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等 .
感悟新知
知7－讲
2. 表达方式 如图 10.2-13，
因为∠ 1+ ∠ 2=180°(已知)，
所以 a ∥ b(同旁内角互补，两直线平行) .
知7－讲
感悟新知
方法点拨
用数量关系判定两直线平行的方法：
在“三线八角 ” 中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立，就可得到两直线平行 .
感悟新知
知7－练
如图 10.2-14， 直线 AE， CD 相交于点 O， 如果
∠ A=110°，∠ 1=70°，就可以说明 AB ∥ CD，这是为什么？
例7
知7－练
感悟新知
解题秘方：找出 AB， CD 被 AE 所截形成的同旁内角，利用两个角之间的数量关系来说明这两条直线平行 .
解法提醒
本题运用了数形结合思想 . 平行线的判定是由角之间的数量关系到直线的位置关系的转化 .
说明两直线平行时，一般都要结合对顶角、补角等知识来说明 .
知7－练
感悟新知
解：因为∠ 1= ∠ AOD(对顶角相等)，
∠ 1=70°，所以∠ AOD=70° .
又因为∠ A=110°，
所以∠ A+ ∠ AOD=180° .
所以 AB ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行) .
感悟新知
知8－讲
知识点
平行线判定方法的推论
8
1. 判定方法推论 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 .
简称： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 .
表达方式： 如图 10.2-15，直线 a， b， c
在同一平面内 .
因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c.
感悟新知
知8－讲
2. 拓展 a， b， c 为同一平面内的三条不重合直线，在下列结论中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c，已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b.
知8－讲
感悟新知
特别解读
1. 三条直线“在同一平面内”是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立 .
2. 本结论(方法) 可看成是判定方法 1， 2，3 的推论，因为它可由判定方法 1， 2， 3得到 .
知8－练
感悟新知
[母题 教材P143习题T3]如图 10.2-16， AB ⊥ EF 于 B， CD ⊥ EF 于 D，∠ 1= ∠ 2.
(1)请说明 AB ∥ CD 的理由；
(2)试问 BM 与 DN 是否平行？
为什么？
例8
知8－练
感悟新知
解题秘方：根据平行线的几种判定方法，从图中找出符合判定方法的条件， 选用合适的方法进行说明 .
知8－练
感悟新知
解法提醒
判定两直线平行的方法：
方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线 .
方法二：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 .
方法三：同位角相等，两直线平行 .
方法四：内错角相等，两直线平行 .
方法五：同旁内角互补，两直线平行.
方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 .
知8－练
感悟新知
(1)请说明 AB ∥ CD 的理由；
解：因为 AB ⊥ EF， CD ⊥ EF，
所以 AB ∥ CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行) .
知8－练
感悟新知
(2)试问 BM 与 DN 是否平行？为什么？
解：BM ∥ DN.
理由：因为 AB ⊥ EF， CD ⊥ EF，
所以∠ ABE= ∠ CDE=90° .
又因为∠ 1= ∠ 2，
所以∠ ABE－∠ 1= ∠ CDE－∠ 2(等式的性质)，
即∠ MBE= ∠ NDE.所以 BM ∥ DN(同位角相等，两直线平行) .
知8－练
感悟新知
警示误区：∠ 1 和∠ 2 不是同位角，不能误认为∠ 1=∠ 2 可直接得出 BM ∥ DN.
平行线的判定
判定
基本事实
三线八角
平行线
同位角相等
同旁内角互补
内错角相等
定义
画法(共27张PPT)
10.3 平行线的性质
第十章 相交线、平行线与平移
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行线的性质 1
平行线的性质 2
平行线的性质 3
知1－讲
感悟新知
知识点
平行线的性质 1
1
1. 性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 .
简单地说： 两直线平行，同位角相等 .
表达方式： 如图 10.3-1，因为 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，同位角相等) .
感悟新知
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是 前提，只有在这个前提下才有同位角相等；
2. 书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆 .
感悟新知
2. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系；
(2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
如图 10.3-2，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边
上，若∠ 1=30°，则∠ 2 的度数为( )
A. 60° B. 50°
C. 40° D. 30°
例1
知1－练
感悟新知
解：因为 ∠ 1+ ∠ BAC+ ∠ DAB=180°，
∠ BAC=90°，∠ 1=30°，
所以∠ DAB=180° － ∠ 1－ ∠ BAC=60° .
因为直尺的对边平行，
即 EF ∥ AD，所以∠ 2= ∠ DAB=60° .
解题秘方：根据直尺的对边平行，利用平行线的性质求角的度数 .
答案：A
知1－练
感悟新知
另解
如图 10.3-3， 设 EF与 AB，AC 分别交于点 H，G.
因为直尺的对边平行，即 EF ∥ AD，所以∠ CGF= ∠ 1=30° . 所以∠ AGE=30° .
因为∠ BAC=90°，
所以∠AHG+∠AGE=90 ° . 所以 ∠ AHG=
90°－∠ AGE=60° . 所以∠ 2= ∠ AHG=60° .
知1－练
感悟新知
如图 10.3-4，若 AB ∥ CD，且∠ 1= ∠ 2，试判断
AM 与 CN 的位置关系，并说明理由 .
例2
知1－练
感悟新知
解题秘方：利用已知的平行线和要说明的平行线的同位角之间的数量关系进行推理说明 .
知1－练
感悟新知
解法提醒
平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到一组新的平行线，这种角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及 .
知1－练
感悟新知
解：AM ∥ CN. 理由如下：
因为 AB ∥ CD(已知)，
所以∠ BAE= ∠ ACD(两直线平行，同位角相等) .
又因为∠ 1= ∠ 2(已知)，
所以∠ BAE－∠ 1= ∠ ACD－∠ 2，
即∠ MAE= ∠ NCA.
所以 AM ∥ CN(同位角相等，两直线平行) .
感悟新知
知2－讲
知识点
平行线的性质 2
2
1. 性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 .
简单地说： 两直线平行，内错角相等 .
感悟新知
知2－讲
2. 表达方式 如图 10.3-5，
因为 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等) .
知2－讲
感悟新知
特别警示
并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平行”的前提下，才有内错角相等 .
感悟新知
知2－练
[母题 教材P156复习题A组T7]如图 10.3-6， AB ∥ CD， BE 平分∠ ABC， CF 平分∠ BCD，你能发现 BE 和 CF 有何特殊的位置关系吗？说说你的理由 .
例3
知2－练
感悟新知
解法提醒
几何推理的方法：
一种是综合法，即由“因”导“果”，由已知条件逐步推导出结论；
另一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，必须找到什么样的条件，一步一步反向找到条件 .
解答问题时一般用综合法，分析问题时一般用分析法，有时也可以两种方法综合应用 .
知2－练
感悟新知
解题秘方：由两直线平行，得到内错角相等，由此推出另一组内错角相等，得到两直线平行得到.
知2－练
感悟新知
解：BE ∥ CF.
理由如下：因为 AB ∥ CD(已知)，
所以∠ ABC= ∠ BCD(两直线平行，内错角相等) .
因为 BE 平分∠ ABC， CF 平分∠ BCD(已知)，
所以∠ 2= ∠ ABC，∠ 1= ∠ BCD(角平分线的定
义) . 所以∠ 2= ∠ 1.
所以 BE ∥ CF(内错角相等，两直线平行) .
感悟新知
知3－讲
知识点
平行线的性质 3
3
1. 性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 .
简单地说： 两直线平行，同旁内角互补 .
感悟新知
知3－讲
2. 表达方式 如图 10.3-7，
因为 a ∥ b(已知)，
所以∠ 1+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补) .
知3－讲
感悟新知
警示误区
两直线平行时，同旁内角是互补的关系而不是相等的关系.
知3－练
感悟新知
[ 中考·重庆 ] 如图 10.3-8， AB ∥ CD， AD ⊥ AC， 若∠ 1=55°，则∠ 2 的度数为( )
A. 35°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
例4
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ CAB的度数， 根据垂直的定义可 得 ∠ CAD=90 °， 然后根据∠ 2= ∠ CAB － ∠ CAD 即可得出答案．
知3－练
感悟新知
解：因为 AB ∥ CD，∠ 1=55°，
所以∠ CAB=180° － 55°=125° .
因为 AD ⊥ AC，
所以∠ CAD=90°，
所以∠ 2= ∠ CAB － ∠ CAD=125° － 90° =35° .
答案： A
知3－练
感悟新知
方法点拨
解决与平行线性质有关的计算题时，要熟悉图形及其性质，还要能结合其他角，把待求的角与已知角逐步联系起来 .
平行线的性质
条件
两直线
平行
内错角相等
平行线的性质
同位角相等
同旁内角互补
结论(共28张PPT)
10.4 平移
第十章 相交线、平行线与平移
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平移的定义
平移的性质
平移作图
知1－讲
感悟新知
知识点
平移的定义
1
1. 平移 在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移 .
感悟新知
2. 平移中的对应元素
如图 10.4-1，
把三角形 ABC 平移到三角形 A′B′C′.
对应点：点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′；
对应线段： AB 与 A′B′， AC 与 A′C′， BC 与 B′C′；
对应角：∠ A 与∠ A′， ∠ B 与∠ B′， ∠ C 与∠ C′.
知1－讲
感悟新知
3. 平移的“两要素”
(1)平移的方向；(2)平移的距离 .
特别提醒： 在图形平移中，原图形上的点到它的对应点的方向就是平移的方向；任意一对对应点所连线段的长度就是平移的距离.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 图形的平移是一种位置变换，它只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 .
2. 平移可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定的方向平移，只要是直线方向即可 .
知1－练
感悟新知
以下现象：①用打气筒打气时，气筒里活塞的
运动；②传送带上瓶装饮料的移动；③随风摆动的旗帜；④钟摆的摆动 . 其中属于平移的是( )
A. ① B. ①②
C. ①②③ D. ①②③④
例1
知1－练
感悟新知
解题秘方：扣住平移的定义中的关键点进行辨析 .
方法提醒
判断一个图形的运动是不是平移，要紧扣平移定义，看图形是否是沿某个方向(必须是直线方向)移动一定的距离 .
知1－练
感悟新知
解：①属于平移；②属于平移；③中不属于平移；④属于旋转 .
答案：B
感悟新知
知2－讲
知识点
平移的性质
2
1. 平移的性质
(1)一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等；
(2)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 .
知2－讲
感悟新知
特别警示
“连接各组对应点的线段”和“对应线段”是不同的，“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”是原图形和平移后的图形中的线段的关系 .
感悟新知
知2－讲
2. 示图
如图 10.4-2，三角形ABC 平移到三角形 A′B′C′ 的位置，则
感悟新知
知2－讲
(1) AB ∥ A′B′， AC ∥ A′C′， BC ∥ B′C′， AA′ ∥ BB′∥ CC′；
(2) AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′， AA′=BB′=CC′；
(3) ∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∠ ABC= ∠ A′B′C′， ∠ ACB=∠ A′C′B′.
感悟新知
知2－练
[母题 教材P150习题T1]如图 10.4-3，将面积为 3 的三角形 ABC 沿 BC 方向平移到三角形 DEF 的位置， CE=5， EF=2，∠ B=45°.
(1) BC=_______，∠ DEF=______；
(2)平移的距离是_______，三角形 DEF 的面积是_____.
例2
2
45°
7
3
知2－练
感悟新知
解题秘方：找准对应元素，根据平移的性质求出各个未知量 .
解法提醒
图形的平移是整个图形都在移动，不是局部移动，即图形中所有点、线平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的距离，只需确定其上一个点平移的距离即可 .
知2－练
感悟新知
解：根据平移后的图形与原图形的形状、大小完全相同，得到 BC=EF=2，三角形 DEF 的面积 = 三角形 ABC 的面积 =3，∠ DEF= ∠ B=45°，
因为点 B 与点 E 为对应点，
所以平移的距离 =BE=BC+CE=2+5=7.
感悟新知
知3－讲
知识点
平移作图
3
平移作图的一般步骤 平移作图是平移性质的基本应用，利用平移可以得到许多美丽的图案，在具体作图时，应抓住作图的四个步骤——定、找、移、连 .
感悟新知
知3－讲
(1)定： 确定平移的方向和距离；
(2) 找： 找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)；
(3) 移： 过关键点作与平移方向一致且与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连接各对应点 .
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 平移的性质是平移作图的依据；
2. 确定一个图形平移后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平移的方向；
(3) 平移的距离.
这三个条件缺一不可.
知3－练
感悟新知
如图 10.4-4，四边形 ABCD 的顶点 A 移动到了 A′
处，作出四边形 ABCD 平移后的图形 .
例3
知3－练
感悟新知
解题秘方：首先由已知的一对对应点确定平移的方向和平移的距离，然后作出其他对应点的位置，作出平移后的图形 .
知3－练
感悟新知
解：如图 10.4-4. (1)作射线 AA′；
(2)分别过点 B， C， D 作 l1 ∥ AA′， l2 ∥ AA′， l3 ∥ AA′；
(3)在 l1 上沿射线 AA′ 的方向截取 BB′=AA′，在 l2， l3 上按同样的方法截取 CC′=AA′， DD′=AA′；
(4)连接 A′B′， B′C′， C′D′， D′A′，即得到四边形 ABCD平移后的四边形 A′B′C′D′.
知3－练
感悟新知
方法点拨
画平移后的图形的方法：
首先，找出平移的方向和距离，再确定构成图形的关键点；
然后，根据平移的方向和距离平移每个关键点；
最后，顺次连接每个关键点的对应点，并标出相应的字母，得出平移后的图形 .
知3－练
感悟新知
现要把图 10.4-5 中的方格纸(每个小正方形的边长
为 1 个单位长度)上的小船向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，请在方格纸上画出小船平移后的图形 .
例4
知3－练
感悟新知
解题秘方：将图形中的各关键点按照指定的方向和距离平移，再按原图形的顺序依次连接各对应点 .
知3－练
感悟新知
解：如图 10.4-5，找到小船的 7 个关键点，并依次标上字母 A， B， C， D， E， F， G. 把点 A 向右平移 6 个单位长度，到达点 A1，然后把点 A1 向上平移 3 个单位长度，到达点 A′，用同样的方法分别将小船的其他关键点 B， C， D， E， F， G 平移得到对应点 B'， C'， D'， E'， F'， G'，再按原图形的顺序依次连接各对应点即可得到平移后的图形 .
知3－练
感悟新知
方法点拨
在网格中左右(或上下)平移整数倍的格数作图，可以找到原图形的关键点，按要求在网格中平移得到其对应点，再按原图形的顺序依次连接各对应点即可得到平移后的图形 . 原图形的点在格点上的，通过左右(或上下)平移整数倍的格数，其对应点还在格点上 .
平移
定义
平移
性质
作图(共35张PPT)
10.1 相交线
第十章 相交线、平行线与平移
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
对顶角
垂直与垂线
垂线的画法及基本事实
垂线段及点到直线的距离
知1－讲
感悟新知
知识点
对顶角
1
1. 定义 两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，称这样的两个角互为对顶角.
特别提醒： 对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个 .
内容 示图
∠ 1 和∠ 2 互为对顶角 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
对顶角的位置关系和数量关系：
1.位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线 .
2.数量关系：对顶角相等 .
感悟新知
2. 性质 对顶角相等 .
特别提醒： (1)两个角互为对顶角，它们一定相等；
(2)相等的两个角不一定是对顶角 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
[母题 教材P129练习T2]如图 10.1-1，直线 AE 与 CD 相交于点 O， OC 平分∠ AOB，
(1) 请找出图中∠ 3 的对顶角；
(2) 若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数 .
例1
知1－练
感悟新知
解法提醒
找两个角是否互为对顶角的方法：
一看它们有没有公共顶点；
二看这两个角的两边是否互为反向延长线，实质就是看这两个角是否是两条直线相交所形成的没有公共边的两个角 .
知1－练
感悟新知
解：∠ 3 的对顶角是∠ 2.
解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角；
(1) 请找出图中∠ 3 的对顶角；
知1－练
感悟新知
(2) 若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数 .
解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25° .
因为 OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25° .
解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数 .
感悟新知
知2－讲
知识点
垂直与垂线
2
1. 定义 在两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足 .
特别解读： 垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角 .
感悟新知
知2－讲
2. 表示方法 如 果 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直，可 以 记 作“AB ⊥ CD”，读作“AB 垂直 CD”.
感悟新知
知2－讲
3. 推理格式
如图 10.1-2，因为∠ AOC=90°(已知)，
所以 AB ⊥ CD(垂直的定义) .
反过来：因为 AB ⊥ CD(已知)，
所以∠ AOC=90°(垂直的定义) .
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.
2. 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线 .
感悟新知
知2－练
如图 10.1-3，直线 AB， CD 相交于点 O， OE ⊥ AB
于点 O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数 .
例2
解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质、平角的定义将要求的角向已知角转化 .
知2－练
感悟新知
解：(方法一) 因为 OE ⊥ AB，所以∠ AOE=90° .
因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°，
所以∠ AOC= ∠ AOE－ ∠ COE=90°－40° =50° .
所以∠ BOD= ∠ AOC=50° .
知2－练
感悟新知
(方法二) 因为 OE ⊥ AB，所以∠ BOE=90° .
因为∠ COD 是平角，
所以∠ COE+ ∠ BOE+ ∠ BOD=180° .
又因为∠ COE=40°，
所以∠ BOD=180° －∠ BOE－ ∠ COE=
180° －90° －40° =50° .
知2－练
感悟新知
解法提醒
两条直线互相垂直，所夹的四个角都等于 90°，为求角的度数提供了四个已知角的度
数，为从未知角向已知角的转化创造了条件 .
感悟新知
知2－练
将一张长方形纸片按如图 10.1-4 所示方式折叠，
EF， EG 为折痕，判断 EF 与 EG 的位置关系 .
例3
解题秘方：利用折叠的性质求出两线的夹角，根据夹角是 90°判断两条直线的位置关系 .
知2－练
感悟新知
解：因为三角形 A'EF 是由三角形 AEF折叠得到的，
四边形 B′EGC′ 是由四边形BEGC 折叠得到的，
所以∠ AEF= ∠ A′EF，∠ BEG= ∠ B′EG.
所以∠ A′EF= ∠ AEA′，∠ A′EG= ∠ A′EB.
所以∠ FEG= ∠ A′EF+ ∠ A′EG= ∠ AEA′+ ∠ A′EB= (∠ AEA′+ ∠ A′EB) = ×180° =90° . 所以 EF ⊥ EG.
知2－练
感悟新知
知识储备
折叠后， 点 A与点 A′重合，点 B与点 B′重合，点 C与点 C′重合，所以三角形 AEF 与 三角形 A′ EF 大 小、形状完全相同，四边形 BEGC 与四边形 B′ EGC′大小、形状完全相同，所以∠ AEF= ∠ A′ EF，∠ BEG= ∠ B′ EG.
结论归纳： 邻补角的角平分线互相垂直 .
感悟新知
知3－讲
知识点
垂线的画法及基本事实
3
1. 垂线的画法 用三角尺画已知直线的垂线，步骤如下：
特别提醒
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，垂足可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上 .
感悟新知
知3－讲
(1)用折纸法画已知直线的垂线，步骤如下：
步骤 内容 示图
一折 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕分成的两部分重合 过点 P 作直线 l 的垂线：
二画 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线的垂线
步骤 内容 示图
一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点 P 作直线 l 的垂线：
点 P 在直线 l 外
点 P 在直线 l 上
二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线
知3－讲
感悟新知
(2) 用三角板画已知直线的垂线，步骤如下：
感悟新知
知3－讲
2. 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 .
特别提醒： 基本事实中的唯一性有两个关键条件不能少：一是“同一平面”；
二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外 .
知3－练
感悟新知
[母题 教材P132练习T2]在图 10.1-5 中，分别过点 P 作 AB 的垂线 .
例4
知3－练
感悟新知
解法提醒
画垂线时是画实线，如需要延长线段或反向延长射线时，则要用虚线延长 .
知3－练
感悟新知
解题秘方：利用三角尺和直尺根据画垂线的步骤进行操作 .
解：如图 10.1-6.
感悟新知
知4－讲
知识点
垂线段及点到直线的距离
4
1. 垂线段
(1) 定义： 从直线 l 外一点 P 向直线 l 作垂线，垂足记为点 O，则线段 OP 叫作点 P 到直线 l 的垂线段 .
(2) 性质： 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 .
知4－讲
感悟新知
特别提醒
垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系：
1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段 .
2. 联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直 .
感悟新知
知4－讲
2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 .
(1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 .
感悟新知
知4－讲
(2) 点到直线的距离与两点间的距离的区别：
两点间的距离 点到直线的距离
定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度
性质 两点之间，线段最短 垂线段最短
感悟新知
知4－练
如图 10.1-7，在三角形 ABC 中，∠ ACB=90°，
CD ⊥ AB， 垂足为 D. 若 AC=4 cm， BC=3 cm， AB=5 cm，则点 A 到直线 BC 的距离为_____cm，点 B 到直线 AC 的距离为______cm，点 C 到直线 AB 的距离为_______cm.
例5
4
3
2.4
知4－练
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段 .
知4－练
感悟新知
方法点拨
1. 求点到直线的距离关键就是找准“垂线段”；虽然垂线段最短，但不是在给出的线段中最短的那条就是垂线段 .
2. 直角三角形中斜边上的高可以通过“面积法”来求，即两直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高 .
相交线
相交线
垂线的基
本事实
垂线
性质
点到直线
的距离
画法
对顶角
垂线段
