(共41张PPT)
6.2 无理数和实数
第六章 实 数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
无理数
实数的概念及分类
实数与数轴上的点的关系
实数的相反数、倒数、绝对值
实数的运算
实数的大小比较
知识点
无理数
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义 无限不循环小数叫作无理数.
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环.
知1－讲
感悟新知
2. 三种常见形式
(1)开方开不尽的数，如 ， ，…；
(2)含有π 的一类数，如 π， π，π+1，…；
(3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0).
知1－讲
感悟新知
3. 无理数与有理数的区别
(1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式.
知1－讲
感悟新知
特别警示
1. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定都是无理数，只有无限不循环小数才是无理数 . 例如：0. 是无限小数，但不是无理数 .
2. 某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数 . 例如 ， 就不是无理数 .
感悟新知
知1－练
下列各数：3.141 59，－ ，0.131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)，π－5， +1，－ 中，无理数有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例1
感悟新知
知1－练
解：因为3.141 59 是有限小数，所以3.141 59是有理数；因为－ =－2，所以－ 是有理数.
因为0.131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)是无限不循环小数，所以0.131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)是无理数.因为π 是无理数，所以π－5 是无理数.因为是无理数，所以 +1 是无理数.因为－ 是分数，所以－ 是有理数.
答案： C
知1－练
感悟新知
特别警示
1. 对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进 行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数 .
2. π是无理数，化简后含π 的数也是无理数 .
知识点
实数的概念及分类
知2－讲
感悟新知
2
定义 有理数和无理数统称为实数.
特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立.
(2) 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们解决问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行.
知2－讲
感悟新知
2. 分类： (1)按定义分类：
实数
知2－讲
感悟新知
(2)按性质分类：
实数
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类的方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏；
2.0 既不是正实数也不是负实数 .
3.对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类 . 不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数.
感悟新知
知2－练
[母题 教材P12练习T1]把下列各数填入相应的括号内：
－ ， － ， ， ， － ，0， －π， － ， － 4.201，3.101 001 000 1…(每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1) .
例2
知2－练
感悟新知
解法提醒
判断一个实数的属性(如有理数、无理数)应遵循：
一化简， 二辨析，三判断 .
所有的有理数都可以化成有限小数或无限循环小数，而无理数只能化成无限不循环小数 .
2. 要注意将 “3.101 001 000 1” 与“3.101 001 000 1… (每相邻两个 1 之间0 的个数逐次加 1)” 区别开，前者是有限小数，是有理数；后者是无限不循环小数，是无理数 .
3. 判断时要看结果，不要看表面形式，如 － =2 是 有理数，而不是无理数.
感悟新知
知2－练
有理数：{ }；
无理数：{
}；
解题秘方：根据有理数、无理数等概念进行分类时，应注意先把一些数进行化简，再进行判断，如－ =2.
－ ， ， － ，0， － ， － 4.201
－ ， ， －π， 3.101 001 000 1…(每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)
感悟新知
知2－练
整数：{ }；
分数：{ }；
正实数：{
}；
负实数：{ }.
－ ，0
－ ， ， － ， － 4.201
， ， － ，3.101 001 000 1…(每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)
－ ， － ， －π， － ， － 4.201
知识点
实数与数轴上的点的关系
知3－讲
感悟新知
3
实数与数轴上的点的关系 实数和数轴上的点一一对应 .
(1)“一一对应”包含两层含义：
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
②数轴上的每一个点都表示一个实数.
(2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A，点B 在数轴上表示的数为x1，x2，则AB=|x1－x2|.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其近似位置；
借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.
感悟新知
知3－练
如图 6.2-1，在数轴上方作一个 4× 4 的网格
(网格中每个小正方形的边长为 1)，依次连接格点 A， B， C， D，得到一个新的正方形，点 A 落在数轴上，用圆规 在点 A 左侧 的数轴上 取一点 E，使 AE=AB，若点 A 在原点上，则点 E 表示的
数是 __________.
例3
解题秘方：根据正方形的面积求出 AB 的长，再根据数轴与实数的对应关系求解即可 .
-
感悟新知
知3－练
解：由图 6.2-1 可得正方形 ABCD 的面积 = ×4×4=8，
所以正方形 ABCD 的边长 AB= .
因为 AE=AB，且点 E 在原点的左侧，
所以点 E 表示的数是 － .
知3－练
感悟新知
方法点拨
利用正方形的边长在数轴上表示无理数，关键是根据网格求出正方形的面积，面积的算术平方根即为正方形的边长，再在数轴上截取等于正方形边长的线段，即可表示无理数.同有理数一样，原点左侧为负无理数，原点右侧为正无理数 .
知识点
实数的相反数、倒数、绝对值
知4－讲
感悟新知
4
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 .
1.相反数： 实数 a 的相反数为－ a，若 a， b 互为相反数，则 a+b=0；
2.倒数： 非零实数 a 的倒数为，若 a， b 互为倒数，则 ab=1；
3.绝对值： |a|=
知4－讲
感悟新知
特别提醒
对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可 .
感悟新知
知4－练
[母题 教材P13例1]求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1) ；(2) － ；(3) ；(4)3－π.
解题秘方：利用实数的相关概念求相反数、倒数、绝对值.
例4
解： 的相反数是－ ，倒数是，绝对值是.
感悟新知
知4－练
解： － 的相反数是 ，倒数是－ ，绝对值是.
(2) － ；
(3) ；
(4)3－π .
=，则它的相反数是－，倒数是，绝对值是 .
3－π的相反数是 π － 3，倒数是 ，绝对值是π － 3 .
知4－练
感悟新知
方法点拨
1. 求一个数的相反数，就是在这个数前面添上“-” .
2. 求一个数的绝对值时， 首先要判断所求数的符号，然后根据 “正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值等于 0” 写出这个数的绝对值.
知识点
实数的运算
知5－讲
感悟新知
5
1. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算 .有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 . 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 .
知5－讲
感悟新知
2. 实数的运算律
加法交换律：a+b=b+a；
加法结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)；
乘法交换律：ab=ba；
乘法结合律： (ab)c=a (bc)；
乘法分配律： (a+b)c=ac+bc.
知5－讲
感悟新知
特别提醒
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到：
一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式；
二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确.
感悟新知
知5－练
[母题 教材P14例2]计算：
(1)+2.34－π(精确到 0.1)；
(2)( + ) ×( －1)(精确到 0.01)；
(3)( + + )× .
例5
解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
感悟新知
知5－练
(1)+2.34－π(精确到 0.1)；
解： +2.34－π ≈ ×2.24+2.34-3.14 ≈ 0.3.
感悟新知
知5－练
解： ( + ) ×( －1)≈(1.732+2.236)×(1.414－1)
=3.968×0.414 ≈ 1.64.
(2)( + ) ×( －1)(精确到 0.01)；
(3)( + + )× .
( + + )×= (－ 6+ +4 )×10=
－ 0.5×10= － 5.
感悟新知
知5－练
特别提醒
实数的运算顺序同有理数的运算顺序 . 实数运算中，无理数可选取近似值转化为有理数，中间结果所取的近似值要比结果要求的近似值多一位小数 .
感悟新知
知6－讲
知识点
实数的大小比较
6
1. 利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 .
感悟新知
知6－讲
2. 利用法则比较实数的大小
正数大于零，负数小于零，正数大于负数 .
两个正数 , 绝对值大的数较大 .
两个负数，绝对值大的数反而小 .
知6－讲
感悟新知
知识拓展
比较实数大小的其他方法：
作差法；作商法；
倒数法；乘方法；
比较被开方数；估算法等 .
感悟新知
知6－练
[母题 教材P14例3]用“<”号连接下列各数：
－ ， ，－2 ，2.5，0.
例6
解题秘方：先将所给的一组数在数轴上表示出来，然后根据 “在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”求解.
感悟新知
知6－练
解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图 6.2-2所示 .
由图 6.2-2 可知， －2 ＜ － ＜ 0＜ ＜2.5.
知6－练
感悟新知
方法点拨
根据“实数与数轴上的点是一 一对应的”，并且“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，我们可以利用数形结合思想比较实数的大小 .
课堂小结
无理数和实数
实数
数轴
性质
运算
有理数
无理数
定义(共44张PPT)
6.1 平方根、立方根
第六章 实 数
第1课时
平方根
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平方根及其性质
算术平方根
用计算器求一个正数的算术平方根
知1－讲
感悟新知
知识点
平方根及其性质
1
1.平方根的定义
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根. 这就是说，如果 x2=a，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正数a的平方根记为± ， 表示正数 a 的正的平方 根，读作“根号 a”，－ 表示正数 a 的负的平方根 . a 叫作被开方数 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 平方根的定义中a 是非负数， 即a ≥ 0.
2. “ ”是“ ”的简写，其中 2 是根指数，通常省略不写.
感悟新知
2. 平方根的性质
(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2) 0 的平方根是 0；
(3)负数没有平方根 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
例1
[母题 教材P3例1]求下列各数的平方根：
(1)121；(2)2 ； (3) －(－4)3.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定.
知1－练
感悟新知
解：因为(±11) 2=121，所以 121 的平方根是 ±11.
(1)121
(2)2
2= ，因为 ± () 2= ，
所以 2的平方根是 ± .
知1－练
感悟新知
解： －(－4)3=64，因为(±8) 2=64，
所以 －(－4)3的平方根是 ±8.
(3) －(－4)3
知1－练
感悟新知
方法点拨
求一个正数的平方根的方法：
先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方根；
如果一个数为带分数，一般先将其化为假分数，再求平方根； 如果有平方或立方运算，那么先用平方运算求出结果，针对结果再求平方根.
如果这个正数 a 不 能写成有理数的平方的形式， 那么可以将 a 的平方根表示成 ± .
知1－练
感悟新知
(1)一个正数的两个平方根分别是 2a － 1 和 a － 5，则这个正数是多少？
例2
解：根据题意，得(2a－1) +( a－5) =0，解得 a=2.
所以这个正数为(2a－1)2=(2×2－1) 2=9.
解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值 .
知1－练
感悟新知
(2)已知 2a－1 与－a+2 是 m 的平方根，求 m 的值 .
解：根据题意，分以下两种情况：
当 2a－1=－a+2 时， a=1，
所以 m=(2a－1) 2=(2×1－1) 2=1；
当(2a－1) +(－a+2) =0 时， a=－1，
所以 m=(2a－1) 2=［2×(－1) －1］ 2=(－3) 2=9.
故 m 的值为 1 或 9.
知1－练
感悟新知
解法提醒
(1)正数有两个平方 根， 它们互为相反数， 据此列方程先求出 a，再根据平方根的定义求这个正数的值；
(2)已知 a ，b是 m的平方根，则有a=b 或 a+b=0.
知1－练
感悟新知
例3
求下列各式中 x 的值：
(1) x2=361； (2) 81x2 － 49=0；
(3) ( 3x － 1 ) 2= ( － 5 ) 2.
解题秘方：若 x2=a ( a ≥ 0），则 x=± . 先把各题化为 x2=a 的形式，再求 x 的值 .
感悟新知
知1－练
解：因为 x2=361，所以x=± =±19.
整理 81x2 － 49=0，得 x2= ，
所以 x=± =±.
(1) x2=361
(2) 81x2 － 49=0
感悟新知
知1－练
解：因为( 3x － 1 ) 2= ( － 5 ) 2，所以3x － 1=±5.
当 3x － 1=5 时， x=2；
当 3x － 1= － 5 时， x= － .
综上所述， x=2 或 x= － .
(3) ( 3x － 1 ) 2= ( － 5 ) 2
思路点拨
利用整体思想求解：
将 3x － 1 看成一个整体，利用整体思想求解 . 求出 3x － 1的值后，转化为关于 x 的一元一次方程，解方程即可 .
知1－练
感悟新知
方法点拨：利用平方根的定义解方程的方法：
1. 移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；
2. 系数化为 1，将方程化为“x2=a( a ≥ 0)”的形式；
3. 根据平方根的定义求出未知数 x 的值 .
感悟新知
知2－讲
知识点
算术平方根
2
1.算术平方根的定义 非负数 a 的非负平方根 叫做 a 的算术平方根 .
表示方法： a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a” .
感悟新知
知2－讲
特别解读：(1)算术平方根 具有双重非负性：
①被开方数 a 是非负数，即 a ≥ 0；
②算术平方根 是非负数，即 ≥ 0.
(2)算术平方根是它本身的数只有 0 和 1.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方刚好是互逆的两种运算；
2. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数 .
感悟新知
知2－讲
2.算术平方根的性质
(1)正数的算术平方根是一个正数；
(2)0 的算术平方根是 0；
(3)负数没有算术平方根；
(4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 .
感悟新知
知2－讲
3. 平方根与算术平方根的区别与联系
名称 关系 算术平方根 平方根
区 别 个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方 根表示为 ±
感悟新知
知2－讲
名称 关系 算术平方根 平方根
区别 取值范
围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
联系 具有包
含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条
件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0
知2－讲
感悟新知
拓展
两个重要公式：
(1) () 2 =a ( a ≥ 0 ) ；
(2) =|a|=
知2－讲
感悟新知
() 2与的关系：
式子 关系 () 2
区别 运算顺序不同 先开方再求平方 先求平方再开方
a 的取值范围不同 a ≥ 0 任意数
联系 当 a ≥ 0 时，() 2 = 感悟新知
知2－讲
4. 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方.
感悟新知
知2－练
例4
[母题 教材P3例1]求下列各数的算术平方根.
(1)64； (2)2 ； (3)0.36； (4)52； (5) (－5)2；
(6) ； (7)7.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数(0 除外)的正数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根 .
知2－练
感悟新知
知识储备
1. 求带分数的算术平方根，先将带分数化成假分数，再求算术平方根；
2. 求一个数的算术平方根必须明确两点：
(1)这个数是非负数；
(2)求出的算术平方根(结果)必须是非负数 .
(1)64
(2)2
感悟新知
知2－练
解：因为82=64， 所以64 的算术平方根是8，
即 =8.
因为2 = ，() 2=94，所以 2 的算术平方根是 ，即 = .
(3)0.36
(4)52
(5) (－5)2
感悟新知
知2－练
解：因为0.62=0.36， 所以0.36 的算术平方根是0.6，
即 =0.6.
52 的算术平方根是5，即=5.
因为52=(－5)2，所以(－5)2 的算术平方根是5，
即 =5.
感悟新知
知2－练
解：因为 =9，9 的算术平方根是3， 的算术平方根是3；
不要误认为是求81 的算术平方根.
(6)
(7)7
7 的算术平方根是 .
知2－练
感悟新知
特别提醒
有的数开方开得尽，有的数开方开不尽，对于开方开不尽的数，算术平方根不能化简 .
感悟新知
知2－练
例5
已知a 的算术平方根是3，b 的算术平方根是4，求
a+b 的算术平方根.
解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a，b 的值，然后求a+b 的算术平方根.
知2－练
感悟新知
方法点拨
本题运用了定义法 . 首先根据算术平方根的定义求出 a，b 的值，再根据有理数的加法法则求出 a+b 的值，最后根据算术平方根的定义得出结果 .
知2－练
感悟新知
解：因为a 的算术平方根是3，所以a=32=9.
因为b 的算术平方根是4，所以b=42=16.
所以a+b=9+16=25.
因为52=25，所以25 的算术平方根是5，
即a+b 的算术平方根是5.
感悟新知
知3－讲
知识点
用计算器求一个正数的算术平方根
3
大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根或它的近似值 .
按键顺序：先按 键，再输入被开方数，最后按 = 键 . 计算器上就会显示这个数的算术平方根或它的近似值 .
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1. 计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同,要注意阅读使用说明书 .
2. 计算器显示的数值中，许多都是近似值.
知3－练
感悟新知
[母题 教材P4例2]用计算器计算下列各式的值(精确到 0.01)：
(1) ；(2) ± ；(3) ；(4) －
例6
解题秘方：先按 键，再输入被开方数，然后按 = 键，再根据要求取近似值即可 .
知3－练
感悟新知
方法点拨
当利用计算器求出的一个正数的算术平方根是近似值时，要根据题目要求进行取舍 .
知3－练
感悟新知
(1) ；
(2) ± ；
± ≈ ± 49.01.
解：在计算器上依次 键入： 8 = ，显 示 结果 是2.828 427 125，精确到 0.01，得 ≈ 2.83.
知3－练
感悟新知
(3) ；
(4) －
解：在计算器上依次键入： 0 . 4 6 2 5 4
= ，显示结果是 0.680 102 933，精确到 0.01，得 ≈ 0.68.
在计算器上依次键入： - ( 8 ÷ 2 5 ) = ，
显示结果是 -0.565 685 424，精确到 0.01，得 － ≈ － 0.57.
知3－练
感悟新知
例7
某农场有一块长 30 m、宽 20 m 的长方形场地，现要在这块场地上建一个底面为正方形的鱼塘，使底面面积为场地面积的一半，问能否建成？若能建成，则鱼塘的底面边长为多少米？(精确到 0.01 m)
知3－练
感悟新知
思路导引：
解：假设能建成 . 设鱼塘的底面边长为 xm，
依题意得 x2= ×30×20，
所以 x= ≈ 17.32(边长为正值，故负值已舍去).
因为 17.32<20，所以能建成，且鱼塘的底面边长约为 17.32m.
知3－练
感悟新知
方法点拨
在解答这种能否建成(或是否存在)的问题 时，我们 可先 假设能建成(或存在)，在此假设下求出结果，再看结果是否符合题意 . 若 符 合，则 说 明能建成(或存在)；反之，则不能建成 ( 或不存在 ).
平方根
0 的平方根是 0
正数有两个互为
相反数的平方根
平方根
性质
算术平方根
负数没有平方根(共26张PPT)
6.1 平方根、立方根
第六章 实 数
第2课时
立方根
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
立方根
立方根的性质
用计算器求一个数的立方根
知1－讲
感悟新知
知识点
立方根
1
1.立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 这就是说，如果 x3=a，那么x 叫作a 的立方根 .
表示方法： 一个数 a 的立方根，记作“ ” ，读作 “三次根号 a”，其中 a叫作被开方数，3叫作根指数 .
特别警示： 中的根指数 3 不能省略 . 若省略了 3， 表示非负数 a 的算术平方根而非 a 的立方根 .
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特别提醒
立方根与平方根的区别：
1. 被开方数：前者可为任何数，后者为非负数；
2. 根指数：前者不能省略，后者可省略不写；
3. 个数：立方根只有一个，平方根有两个(特殊情况：0 的平方根只有 1个，是 0).
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2. 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方 .
特别解读： 立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 .
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[母题 教材P6例4]求下列各数的立方根：
(1) － 125；(2)2 ；(3) － 1.
例1
解题秘方：根据立方根的定义求解 .
解：因为( －5) 3=－125，
所以 －125 的立方根是 －5，即=－5.
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解：因为 2 = ，而 ( )3= ，
所以 2 的立方根是 ，即= .
(2)2 ；
解法提醒
如果被开方数为带分数，一般先将带分数化为假分数，然后再求其立方根 . 求一个数的立方根时要注意结果的正负 .
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解：因为(－1) 3=－1，
所以 －1 的立方根是 －1，即=－1.
(3) － 1.
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例2
已知x－2 的平方根是±2，2x+y+7 的立方根是3，求
x2+y2 的算术平方根.
解题秘方：一个数等于它的平方根的平方，等于它立方根的立方 .
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方法点拨
本题根据平方根中被开方数等于平方根的平方，立方根中被开方数等于立方根的立方这一关系，运用方程思想列方程求出 x， y 的值，再根据算术平方根的定义求出 x2+y2 的算术平方根 .
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解：因为 x－2 的平方根是 ±2，所以 x－2=4.
所以 x=6.
因为 2x+y+7 的立方根是 3，所以 2x+y+7=27.
把 x=6 代入，解得 y=8，所以 x2+y2=62+82=100.
所以 x2+y2 的算术平方根为 10.
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知识点
立方根的性质
2
1.立方根的性质
(1)正数的立方根是一个正数；
(2)负数的立方根是一个负数；
(3)0 的立方根是 0.
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特别解读
1. 立方根是它本身的数只有 0 和 ±1.
2. 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即= － . 利用“= － ” 可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数 .
3. () 3 = =a.
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2. 平方根与立方根的比较
平方根 立方根
区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根
表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根 指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这 里的根 指数 3不能省略
被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在 中，被开方数 a 是任意数
联系 ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0
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求下列各式的值：
(1) － ；(2) － ；(3) ；
例3
解题秘方：根据立方根的性质进行化简计算 .
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解法提醒
当被开方数不是单独一个数时，需先进行化简， 再进行开方运算 .
(1) － ；
(2) － ；
(3) ；
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= =－ .
－ = － (－ 2=2 .
解： － =－7.
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已知 和 互为相反数， 且 x ≠ 0，
y ≠ 0，求 的值 .
例4
解题秘方：根据立方根互为相反数，可得被开方数互为相反数，建立 x 与 y 之间的等量关系求解 .
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解：因为 和 互为相反数，
所以 3y － 1 和 1 － 2x 互为相反数，
所以(3y － 1) +(1 － 2x) =0， 所以 3y=2x.
又因为 x ≠ 0， y ≠ 0，所以 = .
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知识储备
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0，因此只有互为相反数的两个数，它们的立方根才能互为相反数，即互为相反数的两个数的立方根互为相反数 .
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知识点
用计算器求一个数的立方根
3
用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的开方键不同 .
步骤： 按键 SHIFT → 被开方数 → = →根据显示结果写出立方根 .
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特别警示
不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作 .
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例5
[母题 教材P7例5]用计算器求下列各数的立方根：
(1)7(精确到 0.01)；(2)100 (精确到0.01)；
(3)－13.27 (精确到0.001).
解题秘方：根据用计算器求立方根的步骤进行按键操作 .
解：依次按键 SHIFT 7 = ，
显示1.912 931 183. 所以 =1.91.
(2)100 (精确到0.01)；
(3)－13.27 (精确到0.001).
知3－练
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解：依次按键 SHIFT 1 0 0 = ，
显示4.641 588 834. 所以 ≈ 4.64.
依次按键 SHIFT 1 3 · 2 7 = ，
显示2.367 501 744. 所以≈ 2.368，
所以 ≈ － 2.368.
知3－练
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解法提醒
利用互为相反数的两个数的立方根互为相反数这一关系，求一个负数的立方根，可用计算器先求这个负数的绝对值的立方根，再在这个负数的绝对值的立方根前面加上负号，即得这个负数的立方根 .
立方根
立方根
性质
正数的立方根是正数
0 的立方根是0
负数的立方根是负数
定义
