人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式专题 分式运算的八种技巧（含解析）

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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
专题 分式运算的八种技巧
分式运算的一般方法就是按照分式运算的法则、运算的顺序进行，但对一些运算量大的题目，运用一般方法计算量太大，导致出错，需要选择运算技巧。
技巧一、直接约分法
通过公式提公因式，直接约分即可。
【例1-1】．化简：.
【例1-2】．（1）先化简，再求值：，其中.
（2）当时，求的值.
【变式1-1】．计算.
【变式1-2】．计算：
【变式1-3】．已知，求的值.
【变式1-4】．计算：.
技巧二、巧选运算顺序
分式混合运算中，有时候选择运算律可以使运算简便，所以有括号时首先观察能否使用乘法分配律，如果能运用乘法分配律，可以使运算简便。
【例2-1】．下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程.
(1)小红同学解法的依据是；小逸同学解法的依据是.(填序号)
①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；③分式的基本性质.
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程.
【例2-2】．先化简，然后从-3，0，1，3四个数中选择一个适当的数作为a的值代入求值.
【变式2-1】．化简，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是_________，乙同学解法的依据是_________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；
③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
【变式2-2】．化简：，并解答：
（1）当时，求原式的值；
（2）原式的值能等于-1吗？为什么？
【变式2-3】．先化简，再求值：，其中.
【变式2-4】．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下.则( )
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A.甲、乙都错 B.甲、乙都对 C.甲对，乙错 D.甲错，乙对
技巧三、分段分步法
一次通分计算量大利用相邻分母之间的特点，分步通分，构造公式，使运算简化。此法也用于解这类特征的分式方程
【例3-1】求分式，当a＝2时的值．
【例3-2】请阅读某同学解下面分式方程的具体过程．
解方程
解：①
②
③
∴④
∴．
把代入原方程检验知是原方程的解．
请你回答：
（1）得到①式的做法是 ；
得到②式的具体做法是 ；
得到③式的具体做法是 ；
得到④式的根据是 ．
（2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误？答： ．错误的原因是 （若第一格回答“正确”的，此空不填）．
【变式3-1】．计算：.
【变式3-2】．先计算,通过以上计算,请你用一种你认为较简便的方法计算.
【变式3-3】．已知,求的值.
【变式3-4】解方程：.
技巧四、分裂整数法
当算式中各分子的次数与分母次数相同时，一般利用分裂整数法把分子降次后再通分。
【例4-1】阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．
【例4-2】我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：＝＝+＝1+；
＝＝+＝2+（﹣）．
（1）下列分式中，属于真分式的是：　③　（填序号）；
①　　 ② ③　 　④
（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝　 　，若假分式的值为正整数，则整数a的值为　 　；
（3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式：＝　 　．
【变式4-1】定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”.
例如：；
；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的利的形式是___________.
【变式4-2】．回答下列问题：
探索：（1）如果，那么_______；
（2）如果，那么______；
总结：如果（其中a，b，c为常数），那么________；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值.
【变式4-3】．阅读下列材料，解决问题.
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明.
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：.
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为___________；
（2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值.
【变式4-4】阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题．
（1）假分式也可化为带分式 　　形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，则m2+n2+mn的最小值为 　 　．
技巧五、拆项法
当分式的分母因式分解后是连续的（递增或递减）的因式的积，可以将各分式拆项，相互抵消，达到化简的目的。
【例5-1】观察下列各式：，，，
(1)由此可推测： ______；
(2)依照上述规律，写出的推测过程；
(3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来，并说明理由；
(4)请直接用（3）中的规律计算的值．
【例5-2】例：∵
∴
＝
＝
认真领悟上例的解法原理，并根据原理求下列式子的值．
（1）
（2）．
【变式5-1】某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求的整数部分.她百思而不得其解，于是向老师求助.数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减数都是1，且被减数按照一定的规律在递增；
先看一般情形：；
再看特殊情形：当时，；
当时，；
老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了.”
(1)请你通过化简，说明一般情形的正确性；
(2)请你完成该同学的解答.
【变式5-2】计算：.
【变式5-3】．已知下面一列等式：
(1)请按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式;
(2)验证你写出的等式的正确性;
(3)计算：.
【变式5-4】．观察下列各式：
第1式：；第2式：；第3式：；
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第式:_____________；
（2）求和：；
（3）已知与互为相反数，求的值．
类型六、换元法
当分式中式子有共同特征时，可以用同一个字母表示这个共同特征，即换元。
【例6-1】请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如：.
材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
（2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值.
【例6-2】已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为　2　．
【变式6-1】请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如：.
材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
（2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值.
【变式6-2】．对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果．
（1）设，则 （用含的代数式表示）；
（2）根据，得到，所以的值为 ；
（3）用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：
已知，求代数式的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
专题 分式运算的八种技巧
分式运算的一般方法就是按照分式运算的法则、运算的顺序进行，但对一些运算量大的题目，运用一般方法计算量太大，导致出错，需要选择运算技巧。
技巧一、直接约分法
通过公式提公因式，直接约分即可。
【例1-1】．化简：.
答案：
解析：原式
.
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【例1-2】．（1）先化简，再求值：，其中.
（2）当时，求的值.
答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
当时，原式.
（2）原式.
当时，原式.
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【变式1-1】．计算.
答案：
解析：
.
【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
【变式1-2】．计算：
答案：
解析：
.
【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
【变式1-3】．已知，求的值.
答案：5
解析：
.
因为，所以原式.
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【变式1-4】．计算：.
答案：
解析：.
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
技巧二、巧选运算顺序
分式混合运算中，有时候选择运算律可以使运算简便，所以有括号时首先观察能否使用乘法分配律，如果能运用乘法分配律，可以使运算简便。
【例2-1】．下面是小红和小逸两位同学化简的部分运算过程.
(1)小红同学解法的依据是；小逸同学解法的依据是.(填序号)
①乘法交换律；②乘法分配律；③等式的基本性质；③分式的基本性质.
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程.
答案：(1)③；②
(2)过程见解析
解析：(1)小红同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相减,再进行乘法运算,通分的依据是分式的基本性质.
小逸同学的解法是：根据乘法的分配律,去掉括号后,先算分式的乘法,再算减法.
(2)小逸同学的解法：
.
小红同学的解法：
.
【例2-2】．先化简，然后从-3，0，1，3四个数中选择一个适当的数作为a的值代入求值.
答案：，-14
解析：原式
，
根据题意得：a不能取3，-3，0，
当时，原式.
【变式2-1】．化简，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是_________，乙同学解法的依据是_________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；
③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
答案：（1）②；③
（2）见解析
解析：（1）②；③
（2）选择甲同学的解法：
.
选择乙同学的解法：
.
【变式2-2】．化简：，并解答：
（1）当时，求原式的值；
（2）原式的值能等于-1吗？为什么？
答案：（1），2
（2）不能，理由见解析
解析：（1）原式=
，
当时，原式；
（2）如果，即，
，而当时，除式，
原代数式的值不能等于.
【变式2-3】．先化简，再求值：，其中.
答案：，
解析：原式
，
当时，原式.
【变式2-4】．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下.则( )
甲：……①……②……③……④ 乙：……①……②……③……④
A.甲、乙都错 B.甲、乙都对 C.甲对，乙错 D.甲错，乙对
答案：A
解析：甲同学的计算错误，
错误原因：第一步计算中，没有通分；
乙同学计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式相加，分母应保持不变；
正确的解答如下：
，
甲、乙都错，
故选：A.
技巧三、分段分步法
一次通分计算量大利用相邻分母之间的特点，分步通分，构造公式，使运算简化。此法也用于解这类特征的分式方程
【例3-1】求分式，当a＝2时的值．
【分析】利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可将分式分步通分，每一步只通分左边两项，化简后代入a的值即可．
【解答】解：原式＝++++
＝++++
＝+++
＝+++
＝++
＝
＝，把a＝2时代入得：
原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），将分式分步通分．
【例3-2】请阅读某同学解下面分式方程的具体过程．
解方程
解：①
②
③
∴④
∴．
把代入原方程检验知是原方程的解．
请你回答：
（1）得到①式的做法是 ；
得到②式的具体做法是 ；
得到③式的具体做法是 ；
得到④式的根据是 ．
（2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误？答： ．错误的原因是 （若第一格回答“正确”的，此空不填）．
【答案】（1）得到①式的做法是移项;得到②式的具体做法是方程两边分别通分;得到③式的具体做法是方程两边同除以（-2x+10）;得到④式的根据是分式值相等，分子相等且不为0，则分母相等.
（2）有错误．从第③步出现错误，错误的原因是方程两边同时除以了(-2x+10)，而-2x+10可能为零，当-2x+10为零时，方程两边同时除以了0，不符合等式的性质.
【分析】本题考查解分式方程的能力，应先根据方程特点，进行整理然后去分母，将分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：（1）得到①式的做法是移项;
得到②式的具体做法是方程两边分别通分;
得到③式的具体做法是方程两边同除以（-2x+10）;
得到④式的根据是分式值相等，分子相等且不为0，则分母相等；
（2）有错误．从第③步出现错误，错误的原因是方程两边同时除以了(-2x+10)，而-2x+10可能为零，当-2x+10为零时，方程两边同时除以了0，不符合等式的性质；
【点睛】解分式方程要根据方程特点选择合适的方法，并且要考虑全面，不能漏解，不能出现增根．
【变式3-1】．计算：.
答案：
.
【点评】本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），将分式分步通分．
【变式3-2】．先计算,通过以上计算,请你用一种你认为较简便的方法计算.
答案：
原式
【点评】本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），将分式分步通分．
【变式3-3】．已知,求的值.
答案：,
,
∴.
【点评】本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是利用分式的基本性质，将每个分式分步转化成同分母．
【变式3-4】解方程：.
【答案】.
【分析】原方程变形为，再去分母求解方程进行检验即可.
【详解】原方程可化为，
即，
，
，
，
，
，
.
经检验，是原方程的根.
∴原方程的解是.
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根.
技巧四、分裂整数法
当算式中各分子的次数与分母次数相同时，一般利用分裂整数法把分子降次后再通分。
【例4-1】阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．
【答案】（1）3+；（2）8
【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【详解】解：（1）=
=
=3+；
（2）由分母为，
可设，
则
．
∵对于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴当x=0时，取得最小值8，即 的最小值是8．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．
【例4-2】我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：＝＝+＝1+；
＝＝+＝2+（﹣）．
（1）下列分式中，属于真分式的是：　③　（填序号）；
①　　 ② ③　 　④
（2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝　 　，若假分式的值为正整数，则整数a的值为　 　；
（3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式：＝　 　．
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；
（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．
【解答】解：（1）根据题意可得，
、、都是假分式，是真分式，
故答案为：③；
（2）由题意可得，
＝，
若假分式的值为正整数，
则或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，
解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，
故答案为：2、，﹣2、1或3；
（3）＝，
故答案为：a+1+．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．
【变式4-1】定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”.
例如：；
；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的利的形式是___________.
答案：
解析：
，
故答案为：.
【变式4-2】．回答下列问题：
探索：（1）如果，那么_______；
（2）如果，那么______；
总结：如果（其中a，b，c为常数），那么________；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值.
答案：探索：（1），.
（2），.
总结：，.
应用：，且代数式的值为整数，
为整数，
或，
或0.
解析：
【变式4-3】．阅读下列材料，解决问题.
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明.
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：.
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为___________；
（2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值.
答案：（1）
.
（2）
.
分式的值为整数，是整数，
又x为整数，或，
解得或4或-10或16.
【变式4-4】阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题．
（1）假分式也可化为带分式 　　形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，则m2+n2+mn的最小值为 　 　．
思路点拨：（1）按照阅读材料方法，把变形即可；
（2）用分离常数法，把原式化为2，由03即可得答案；
（3）用分离常数法，把原式化为5x﹣1，根据已知用x的代数式表示m、n和m2+n2+mn，配方即可得答案．
解：（1），
故答案为：；
（2），
∵x2+1≥1，
∴03，
∴25；
（3）∵，
而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11，
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27．
故答案为：27．
：本题考查了分式的变形、运算，完全平方公式的应用，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形．
技巧五、拆项法
当分式的分母因式分解后是连续的（递增或递减）的因式的积，可以将各分式拆项，相互抵消，达到化简的目的。
【例5-1】观察下列各式：，，，
(1)由此可推测： ______；
(2)依照上述规律，写出的推测过程；
(3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来，并说明理由；
(4)请直接用（3）中的规律计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
(4)0
【分析】本题考查了分式的规律探究，分式的加减运算．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．
（1）根据题意求解即可；
（2）将分解成两个相邻整数的乘积，进而可得结果；
（3）根据题意可推导一般性规律，然后证明即可；
（4）根据题意进行拆分，然后加减运算即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：由题意知，
；
（3）解：，理由如下：
右边．
．
（4）解：
．
【例5-2】例：∵
∴
＝
＝
认真领悟上例的解法原理，并根据原理求下列式子的值．
（1）
（2）．
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据（1）中的解答可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，明确分式混合运算的计算方法．
【变式5-1】某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求的整数部分.她百思而不得其解，于是向老师求助.数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减数都是1，且被减数按照一定的规律在递增；
先看一般情形：；
再看特殊情形：当时，；
当时，；
老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了.”
(1)请你通过化简，说明一般情形的正确性；
(2)请你完成该同学的解答.
答案：(1)见解析
(2)15
解析：（1）左边
右边
（2）
的整数部分为15.
【变式5-2】计算：.
答案：
.
解析：
【变式5-3】．已知下面一列等式：
(1)请按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式;
(2)验证你写出的等式的正确性;
(3)计算：.
答案：（1）一般性等式为.
（2）因为，所以一般性等式成立.
（3）
解析：
【变式5-4】．观察下列各式：
第1式：；第2式：；第3式：；
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第式:_____________；
（2）求和：；
（3）已知与互为相反数，求的值．
答案：（1）第一式，第二式，第三式，第式.
故答案为：
（2）原式
（3）与互为相反数，
，即，
，
原式
解析：
技巧六、换元法
当分式中式子有共同特征时，可以用同一个字母表示这个共同特征，即换元。
【例6-1】请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如：.
材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
（2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】（1）根据题意将分式变形即可；
（2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值．
【详解】（1）原式= ；
（2）原式=，
∵(x 1)2 0,即(x 1)2+2 2，
则原式最小值为4 .
【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形.
【例6-2】已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝，则的值为　2　．
【分析】可设＝＝＝，则＝＝＝＝k，即＝，＝，＝k，设＝＝k1，＝＝k2，由＝k可得k＝，由+＝得k1+k2＝k，代入计算即可求解．
【解答】解：设＝＝＝，则＝＝＝＝k，
整理得+＝+＝+＝＝k，
∴＝，＝，＝k，
设＝＝k1，＝＝k2，
由＝k得k＝，
由+＝得k1+k2＝k，
∴原式＝2×+2×＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和性质是解题的关键.
【变式6-1】请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如：.
材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
（2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】（1）根据题意将分式变形即可；
（2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值．
【详解】（1）原式= ；
（2）原式=，
∵(x 1)2 0,即(x 1)2+2 2，
则原式最小值为4 .
【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形.
【变式6-2】．对于题目：“已知，求代数式的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果．
（1）设，则 （用含的代数式表示）；
（2）根据，得到，所以的值为 ；
（3）用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：
已知，求代数式的值．
【答案】（1）； （2）2023；（3），1
【分析】（1）把所求代数式中的变形为，然后再整体代入即可得解；
（2）把y=1代入即可得解；
（3）设，则条件可变形为b-5=0，从而得b=5，再把变形为，再把b=5代入求值即可.
【详解】（1）∵
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：2023；
（3）解：设 ，则
．
∵，
∴，解得：b=5．
∴．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握“整体代入法”是解答此题的关键．
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