人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式小结与复习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式小结与复习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-26 13:26:02 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 小结与复习
一、知识框架 ：
二、知识点梳理：xx§k.C
（一）、分式的定义
一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
1.分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；
2.分式无意义，分母为0；
3.分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；
4.分式值为负或小于0，分子分母异号；
5.分式值为正或大于0，分子分母同号；
6.分式值为1，分子分母值相等；
7.分式值为-1，分子分母值互为相反数；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母，分式与整式的和，也是分式。
（二）、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
1.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
2.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
点拨：分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。
3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步骤就是最简公分母的确定。
（三）、分式的运算
1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
5.混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
（四）、分式方程的概念
1 .分母中含有未知数的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
3.解分式方程的一般步骤：
1）（方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
（4）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解应用题的基本步骤：
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
应用题的几种类型：
行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
三、高频考点：xx§k.C
【考点1】分式的意义
分式概念
【例1-1】． 下列代数式 其中属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
分式有无意义的条件
【例1-2】若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
分式值为0条件
【例1-3】分式的值为0，则 ．
【变式1-1】．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】．用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1-3】．如果分式有意义，那么的取值范围是 ，如果分式的值为零，那么 ，如果有意义，那么 ．
【变式1-4】．若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点2】分式的基本性质
利用性质变形
【例2-1】若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【例2-3】．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
分式的约分
【例2-4】约分： ．
分式的通分
【例2-5】对分式和进行通分，它们的最简公分母为 ．
【变式2-1】． 已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．－4
【变式2-2】．已知为整数，且分式的值为正整数，则可取的值有 ．
【变式2-3】．约分： ．
【变式2-4】．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】．若 ，则 .
【变式2-6】．以下式子是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点3】分式的乘除
【例3-1】．计算：
（1）；
（2）．
【变式3-1】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．x
【考点4】分式的加减
【例4-1】．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
（2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
【变式4-1】．计算：
【变式4-2】．我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
，
．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：_______；
（2）将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值；
（3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______．
【考点5】分式的混合运算
【例5-1】．计算： ．
【变式5-1】．先化简，再求值：，其中为的整数．
【变式5-2】．先化简再求值：，其中．
【考点6】负整数指数幂
有关负指数指数幂的混合运算
【例6-1】．计算： ．
【变式6-1】．计算： ＝ ．
【变式6-2】．计算：．
科学记数法
【例6-2】．随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】．我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【考点7】分式方程
分式方程的解法
【例7-1】．解方程：．
【变式7-1】．解方程：
（1）
（2）．
【变式7-2】．．解方程：．
增根应用
【例7-2】．已知方程有增根x=1，求k的值.
【变式7-3】．关于x的方程 有增根，求 的值.
分式方程无解，整数解
【例7-3】．解方程：
（1）
（2）若分式方程： 无解，求a的值．
【变式7-4】．若关于x的方程 无解，求m的值．
【变式7-5】．若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ．
【考点8】分式方程的应用
【例8-1】．某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
【变式8-1】．甲、乙两个施工队共同参与一项全长6300米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的3倍比乙队负责施工的长度长900米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．
（1）求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？
（2）若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的1.5倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用4天完工，求甲队每天施工多少米？
【变式8-2】． 义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务。一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质. 已知A、 B两个采血点到中心血库的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一： B采血点运送车辆的平均速度是A采血点运送车辆的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时.
（1） 求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
（2）若B采血点完成采血的时间为2.5小时，判断血液运送到中心血库后会不会变质
【变式8-3】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：60千瓦时电价：元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【变式8-4】．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务.已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资.
(1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成.请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 小结与复习
一、知识框架 ：
二、知识点梳理：xx§k.C
（一）、分式的定义
一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
1.分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；
2.分式无意义，分母为0；
3.分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；
4.分式值为负或小于0，分子分母异号；
5.分式值为正或大于0，分子分母同号；
6.分式值为1，分子分母值相等；
7.分式值为-1，分子分母值互为相反数；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母，分式与整式的和，也是分式。
（二）、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
1.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
2.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
点拨：分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。
3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步骤就是最简公分母的确定。
（三）、分式的运算
1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
5.混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
（四）、分式方程的概念
1 .分母中含有未知数的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
3.解分式方程的一般步骤：
1）（方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
（4）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解应用题的基本步骤：
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
应用题的几种类型：
行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
三、高频考点：xx§k.C
【考点1】分式的意义
分式概念
【例1-1】． 下列代数式 其中属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：属于分式，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用分式的定义（一般地，如果A、B（B不等于0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫作分式）分析求解即可.
分式有无意义的条件
【例1-2】若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，∴，∴
故选：B.
【分析】根据分母不为0，列式计算，即可作答．
分式值为0条件
【例1-3】分式的值为0，则 ．
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴且，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此可列出方程组，解不等式组可求出x的值.
【变式1-1】．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：．
解得：．
故答案为：A．
【分析】先利用分式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可.
【变式1-2】．用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式定义可得：
符合分式定义，是分式；
不符合分式定义，不是分式；
符合分式定义，是分式；
不符合分式定义，不是分式；
不符合分式定义，不是分式；
不符合分式定义，不是分式．
属于分式的有个．
故选：A．
【分析】根据分式定义（如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式）对代数式进行逐一判断
【变式1-3】．如果分式有意义，那么的取值范围是 ，如果分式的值为零，那么 ，如果有意义，那么 ．
【答案】；；
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可得：当分式有意义时，分母不能为零，
则，
解得：；
当分式的值为零时，则分子为零，分母不为零，
∴
解得：；
当有意义时，，
即，
故答案为：、、．
【分析】本题考查分式有意义的条件，零指数幂的运算法则．根据分式有意义条件；分母不能为零，据此可得，解不等式可求出答案；根据分式等于0的条件：分母不为0，分子等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出x的值，进而求出答案；根据零次幂有意义的条件：底数不为0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案．
【变式1-4】．若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=3
故答案为：D.
【分析】根据分式值为零的条件“分子等于零且分母不为零”建立混合组，求解即可.
【考点2】分式的基本性质
利用性质变形
【例2-1】若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
分式值扩大3倍．
故答案为：B．
【分析】将 ， 扩大3倍，即将 ， 用 ， 代替，就可以解出此题．
【例2-2】．已知 ，求 的值．
【答案】解：分式的分子分母都除以ab，得
= = ，
∵ ﹣ =3，
∴原式= = ．
故 的值为
【知识点】分式的基本性质；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab，分式的值不变，再把 ﹣ 换成﹣3计算即可．
【例2-3】．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式的分子分母同时乘以10得，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查分式的基本性质. 根据分式的性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10，再进行化简可求出答案．
分式的约分
【例2-4】约分： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用分式的约分的计算方法分析求解即可.
分式的通分
【例2-5】对分式和进行通分，它们的最简公分母为 ．
【答案】
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【解答】 解：分式和进行通分，它们的最简公分母为.
故答案为：6a2b.
【分析】最简公分母含有数字和字母部分，数字部分取两个分母的最小公倍数，字母部分含所有字母并取字母的最大指数，据此求解即可.
【变式2-1】． 已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．－4
【答案】C
【知识点】分式的通分；分式的化简求值
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =4
故答案为 ： C
【分析】本题考查分式的化简求值（分式通分和倒数），常用方法有直接代入，变形后整体带入等。所给等式不能直接求出未知数值，则考虑变形后，整体代入来解题。
【变式2-2】．已知为整数，且分式的值为正整数，则可取的值有 ．
【答案】，，
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：，
∵为整数，且分式的值为正整数，
∴x可以取的值为2，3，5，
故答案为：2，3，5.
【分析】先利用分式的性质化简，再根据“为整数，且分式的值为正整数”求出x的值即可.
【变式2-3】．约分： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】原式=.
故答案为：．
【分析】找到分子分母的公因式约分即可.
【变式2-4】．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
分母提取负号可得：
故答案为：D
【分析】根据分式的性质化简即可求出答案.
【变式2-5】．若 ，则 .
【答案】8
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的化简求值
【解析】【解答】∵ 可化为 ， 化为
∴原式= =32-1=8
【分析】先把 可化为 ，再将 化为 ，然后代入即可解答。
【变式2-6】．以下式子是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：A. ，不是最简分式，A不符合题意；
B. ，不能再化简，是最简分式，B符合题意；
C. ，不是最简分式，C不符合题意；
D. ，不是最简分式，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简分式的定义结合约分对选项逐一分析，进而即可求解。
【考点3】分式的乘除
【例3-1】．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】分式的乘除法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法的计算方法方法和步骤（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可；
（2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（1）解：
．
（2）解：
．
【变式3-1】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：B.
【分析】先将分数的除法转换为乘法，再利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
【变式3-2】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．x
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】，
故答案为：A.
【分析】利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
【考点4】分式的加减
【例4-1】．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
（2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
【答案】（1）C
（2）三，分式的基本性质
（3）四，
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确；
故选：C．
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：三；分式的基本性质；
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
【分析】本题考查分式加减运算．
（1）根据 异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想 ，据此可选出选项；
（2）原式 变形为：原式 ，是通分；通分的依据是分式的基本性质：分子和分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变；
（3）原式变形为：原式，错误，x+2是一个整体，需要加上括号，正确的为： 原式 ，再进行化简可求出答案.
（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确；
故选：C．
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：三；分式的基本性质；
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
【变式4-1】．计算：
【答案】原式 =
=
=
=．
=
=．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的加减法.先进行通分可得：原式=，再根据同分母分式相减，分母不变，分子相减可得：原式=，再将括号进行展开，合并同类项可求出答案.
【变式4-2】．我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
，
．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：_______；
（2）将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值；
（3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______．
【答案】（1）
（2）解：
，
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴为整数，
∴，
∴或；
（3）
【知识点】约分；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查分式的约分：
（1）先将原式变形为原式=， 进而可得：原式=， 再进行约分化简可求出答案；
（2）先将原式变形为：原式=，进而可得：原式 ， 再进行约分化简可求出化简后的式子；根据题意可得的值为整数，则为整数，据此可得，解方程可求出a的值，再进行检验可求出答案；
（3）先将原式变形为：原式 ，再利用完全平方公式把原式变形为：原式=，进一步变形得可得：原式=，再进行约分化简可求出答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴为整数，
∴，
∴或；
（3）解：
，
故答案为：．
【考点5】分式的混合运算
【例5-1】．计算： ．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
【变式5-1】．先化简，再求值：，其中为的整数．
【答案】解：
，
要使分式有意义，，，，
不能为，，，
为的整数是，，，，，
或，
当时，原式，
当时，原式，
即分式的值是或．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
【变式5-2】．先化简再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将代入计算即可.
【考点6】负整数指数幂
有关负指数指数幂的混合运算
【例6-1】．计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据乘方、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根相关知识先进行化简，然后再进行加减计算即可．
【变式6-1】．计算： ＝ ．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】 =1+2=3
故答案为：3
【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.
【变式6-2】．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值进行运算，进而即可求解。
科学记数法
【例6-2】．随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】负整数指数幂；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
解：
故答案为：B.
【分析】按科学记数法的表示方法写出结果。，其中1≤｜a｜＜10，n为整数。
【变式6-1】．我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【考点7】分式方程
分式方程的解法
【例7-1】．解方程：．
【答案】解：由方程，
方程两边都乘，得，解得：，
检验：当时，，所以是增根，
即原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式的运算法则，方程两边都乘，转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验，即可求解.
【变式7-1】．解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
去分母得：
解得：
经检验是分式方程的解；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题重点考查分式方程的解法。解题关键是先将分式方程化为整式方程，通过去分母来实现，然后求解整式方程，最后进行检验确保分母不为0；需注意去分母时方程两边要同时乘以最简公分母，以及解出的值要代入原方程检验.
（1）解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【变式7-2】．．解方程：．
【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程.先去分母可得：，再进行移项，合并同类项可得：，再进行检验即可求出方程的解．
增根应用
【例7-2】．已知方程有增根x=1，求k的值.
【答案】解：方程两边都乘（x+1）（x-1），
得2（x-1）+k（x+1）=6
∵原方程有增根x=1，
∴当x=1时，k=3，
故k的值是3．
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】先求出 2（x-1）+k（x+1）=6 ，再根据原方程有增根x=1， 求解即可。
【变式7-3】．关于x的方程 有增根，求 的值.
【答案】解：去分母，得 ，
所以 ，
因为原方程 的增根可能是 2或 -2，
当 时， =2，此时 无解，
当 时， ，解得 ，
所以当 时，原方程 有增根.
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】首先在原方程的左右两边都乘以（x+2）(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，所谓分式方程的增根就是使原方程最简公分母为0的根，从而求出x的值，进而根据原方程的增根是原方程去分母后所得的整式方程的根可以将x的值代入求出k的值.
分式方程无解，整数解
【例7-3】．解方程：
（1）
（2）若分式方程： 无解，求a的值．
【答案】（1）解：去分母得： ，
去括号，移项，合并同类项得：2x=4，
解得：x=2，
经检验：x=2是方程的根
（2）解：去分母得：3x=a(x-2)+4，即：(3-a)x=4-2a，
分两种情况讨论：
① 当分式有增根时，即x(x-2)=0，得x=0或2，当x=0时，a=2；当x=2时得6=4，不成立，
② 当方程（3-a）x=4-2a无解时，即3-a=0，a=3；
∴原方程无解时，a=2或3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）通过取分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解；（2）先去分母，整理得(3-a)x=4-2a，分两种情况：① 当分式有增根时，② 当方程（3-a）x=4-2a无解时，分别求出a的值，即可．
【变式7-4】．若关于x的方程 无解，求m的值．
【答案】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，整理得：（m﹣1）x=2． 当m﹣1=0，即m=1时，方程无解； 当m﹣1≠0时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时 3，即m ． 综上所述：m=1或m
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m﹣1=0或将x=3代入整式方程，即可求出m的值．
【变式7-5】．若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ．
【答案】或
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去括号得，
解得，
∵方程有正整数解，即且，
∴，即，且为整数，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意；
当时，，不符合题意；
∴或，
故答案为：或．
【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程.先去分母，再解分式方程可得：，因为分式方程有正整数解可推出：，且为整数，分五种情况：，，，，，依次求出解x，再进行检验，可确定整数m的值.
【考点8】分式方程的应用
【例8-1】．某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
【答案】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：
，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解．
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元．
（2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球(50-m)个.
由题意，得50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解得
∵m为整数，∴m取18.所以学校最多购买乙种足球18个.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍可列出方程：，解方程可求出x的值，再进行检验可求出问题的答案；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买甲种足球(50-m)个，根据 此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元 ，可列出不等式50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解不等式可得：，再根据m为整数，可求出问题的答案.
【变式8-1】．甲、乙两个施工队共同参与一项全长6300米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的3倍比乙队负责施工的长度长900米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．
（1）求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？
（2）若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的1.5倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用4天完工，求甲队每天施工多少米？
【答案】（1）解：设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，
解得
答：甲施工队施工的长度是1800米，乙施工队施工的长度是4500米
（2）解：设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，
经检验：当时，．
答：甲队每天各施工300米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（）设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，由题意列出一元一次方程，求解即可；
（）设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，由题意列出分式方程求解即可.
【变式8-2】． 义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务。一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质. 已知A、 B两个采血点到中心血库的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一： B采血点运送车辆的平均速度是A采血点运送车辆的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时.
（1） 求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
（2）若B采血点完成采血的时间为2.5小时，判断血液运送到中心血库后会不会变质
【答案】（1）解：（1）设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，
根据题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
∴1.2x＝36
答：A采血点运送车辆的平均速度是30km/h，B采血点运送车辆的平均速度为36km/h；
（2）解：∵B采血点运送车辆的行驶时间为36÷36＝1（h）．
2.5＋1＝3.5（h）＜4（h），
∴B采血点采集的血液不会变质．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时”列出方程，再求解即可；
（2）根据B采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可．
【变式8-3】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：60千瓦时电价：元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式.
（1）根据表中的信息：利用总费用除以路程可得：，再进行化简可求出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元可以列出分式方程，解方程可求出a的值，再进行检验，据此可求出答案；
②根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元 ， 买新能源车的年费用更低 ，可列出不等式，解不等式可求出x的取值范围，进而可求出答案．
（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
【变式8-4】．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务.已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资.
(1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成.请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案.
答案：(1)甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物
(2)两车主合作完成既省钱又省时，计算过程见解析
解析：（1）设甲车主每天能运输吨货物，则乙车主每天能运输吨货物，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴.
答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物.
（2）甲车主单独完成所需时间为（天），
乙车主单独完成所需时间为（天），
甲、乙两车主合作完成所需时间为（天），
甲车主单独完成所需费用为（元），
乙车主单独完成所需费用为（元），
甲、乙两车主合作完成所需费用为（元）.
∵，，
∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时
答：该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时.
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 小结与复习
一、知识框架 ：
二、知识点梳理：xx§k.C
（一）、分式的定义
一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
1.分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；
2.分式无意义，分母为0；
3.分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；
4.分式值为负或小于0，分子分母异号；
5.分式值为正或大于0，分子分母同号；
6.分式值为1，分子分母值相等；
7.分式值为-1，分子分母值互为相反数；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母，分式与整式的和，也是分式。
（二）、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
1.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
2.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
点拨：分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。
3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步骤就是最简公分母的确定。
（三）、分式的运算
1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
5.混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
（四）、分式方程的概念
1 .分母中含有未知数的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
3.解分式方程的一般步骤：
1）（方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
（4）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解应用题的基本步骤：
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
应用题的几种类型：
行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
三、高频考点：xx§k.C
【考点1】分式的意义
分式概念
【例1-1】． 下列代数式 其中属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
分式有无意义的条件
【例1-2】若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
分式值为0条件
【例1-3】分式的值为0，则 ．
【变式1-1】．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】．用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1-3】．如果分式有意义，那么的取值范围是 ，如果分式的值为零，那么 ，如果有意义，那么 ．
【变式1-4】．若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点2】分式的基本性质
利用性质变形
【例2-1】若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【例2-3】．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
分式的约分
【例2-4】约分： ．
分式的通分
【例2-5】对分式和进行通分，它们的最简公分母为 ．
【变式2-1】． 已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．－4
【变式2-2】．已知为整数，且分式的值为正整数，则可取的值有 ．
【变式2-3】．约分： ．
【变式2-4】．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】．若 ，则 .
【变式2-6】．以下式子是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点3】分式的乘除
【例3-1】．计算：
（1）；
（2）．
【变式3-1】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．x
【考点4】分式的加减
【例4-1】．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
（2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
【变式4-1】．计算：
【变式4-2】．我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
，
．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：_______；
（2）将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值；
（3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______．
【考点5】分式的混合运算
【例5-1】．计算： ．
【变式5-1】．先化简，再求值：，其中为的整数．
【变式5-2】．先化简再求值：，其中．
【考点6】负整数指数幂
有关负指数指数幂的混合运算
【例6-1】．计算： ．
【变式6-1】．计算： ＝ ．
【变式6-2】．计算：．
科学记数法
【例6-2】．随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】．我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【考点7】分式方程
分式方程的解法
【例7-1】．解方程：．
【变式7-1】．解方程：
（1）
（2）．
【变式7-2】．．解方程：．
增根应用
【例7-2】．已知方程有增根x=1，求k的值.
【变式7-3】．关于x的方程 有增根，求 的值.
分式方程无解，整数解
【例7-3】．解方程：
（1）
（2）若分式方程： 无解，求a的值．
【变式7-4】．若关于x的方程 无解，求m的值．
【变式7-5】．若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ．
【考点8】分式方程的应用
【例8-1】．某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
【变式8-1】．甲、乙两个施工队共同参与一项全长6300米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的3倍比乙队负责施工的长度长900米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．
（1）求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？
（2）若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的1.5倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用4天完工，求甲队每天施工多少米？
【变式8-2】． 义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务。一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质. 已知A、 B两个采血点到中心血库的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一： B采血点运送车辆的平均速度是A采血点运送车辆的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时.
（1） 求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
（2）若B采血点完成采血的时间为2.5小时，判断血液运送到中心血库后会不会变质
【变式8-3】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：60千瓦时电价：元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【变式8-4】．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务.已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资.
(1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成.请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 小结与复习
一、知识框架 ：
二、知识点梳理：xx§k.C
（一）、分式的定义
一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
1.分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；
2.分式无意义，分母为0；
3.分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；
4.分式值为负或小于0，分子分母异号；
5.分式值为正或大于0，分子分母同号；
6.分式值为1，分子分母值相等；
7.分式值为-1，分子分母值互为相反数；
注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母，分式与整式的和，也是分式。
（二）、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
其中A,B,C为整式，且B、C≠0。
1.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；
2.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
点拨：分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。
3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步骤就是最简公分母的确定。
（三）、分式的运算
1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
5.混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：(b≠0)
7.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。
用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
（四）、分式方程的概念
1 .分母中含有未知数的方程叫分式方程.
（1）分式方程的重要特征：
①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
3.解分式方程的一般步骤：
1）（方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
（4）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
4.列分式方程解应用题的基本步骤：
(1)审——仔细审题，找出等量关系；
(2)设——合理设未知数；
(3)列——根据等量关系列出方程；
(4)解——解出方程；
(5)验——检验增根；
(6)答——答题．
应用题的几种类型：
行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。
三、高频考点：xx§k.C
【考点1】分式的意义
分式概念
【例1-1】． 下列代数式 其中属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：属于分式，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用分式的定义（一般地，如果A、B（B不等于0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫作分式）分析求解即可.
分式有无意义的条件
【例1-2】若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，∴，∴
故选：B.
【分析】根据分母不为0，列式计算，即可作答．
分式值为0条件
【例1-3】分式的值为0，则 ．
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴且，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此可列出方程组，解不等式组可求出x的值.
【变式1-1】．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：．
解得：．
故答案为：A．
【分析】先利用分式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可.
【变式1-2】．用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式定义可得：
符合分式定义，是分式；
不符合分式定义，不是分式；
符合分式定义，是分式；
不符合分式定义，不是分式；
不符合分式定义，不是分式；
不符合分式定义，不是分式．
属于分式的有个．
故选：A．
【分析】根据分式定义（如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式）对代数式进行逐一判断
【变式1-3】．如果分式有意义，那么的取值范围是 ，如果分式的值为零，那么 ，如果有意义，那么 ．
【答案】；；
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可得：当分式有意义时，分母不能为零，
则，
解得：；
当分式的值为零时，则分子为零，分母不为零，
∴
解得：；
当有意义时，，
即，
故答案为：、、．
【分析】本题考查分式有意义的条件，零指数幂的运算法则．根据分式有意义条件；分母不能为零，据此可得，解不等式可求出答案；根据分式等于0的条件：分母不为0，分子等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出x的值，进而求出答案；根据零次幂有意义的条件：底数不为0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案．
【变式1-4】．若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=3
故答案为：D.
【分析】根据分式值为零的条件“分子等于零且分母不为零”建立混合组，求解即可.
【考点2】分式的基本性质
利用性质变形
【例2-1】若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
分式值扩大3倍．
故答案为：B．
【分析】将 ， 扩大3倍，即将 ， 用 ， 代替，就可以解出此题．
【例2-2】．已知 ，求 的值．
【答案】解：分式的分子分母都除以ab，得
= = ，
∵ ﹣ =3，
∴原式= = ．
故 的值为
【知识点】分式的基本性质；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab，分式的值不变，再把 ﹣ 换成﹣3计算即可．
【例2-3】．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式的分子分母同时乘以10得，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查分式的基本性质. 根据分式的性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10，再进行化简可求出答案．
分式的约分
【例2-4】约分： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用分式的约分的计算方法分析求解即可.
分式的通分
【例2-5】对分式和进行通分，它们的最简公分母为 ．
【答案】
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【解答】 解：分式和进行通分，它们的最简公分母为.
故答案为：6a2b.
【分析】最简公分母含有数字和字母部分，数字部分取两个分母的最小公倍数，字母部分含所有字母并取字母的最大指数，据此求解即可.
【变式2-1】． 已知，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．－4
【答案】C
【知识点】分式的通分；分式的化简求值
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =4
故答案为 ： C
【分析】本题考查分式的化简求值（分式通分和倒数），常用方法有直接代入，变形后整体带入等。所给等式不能直接求出未知数值，则考虑变形后，整体代入来解题。
【变式2-2】．已知为整数，且分式的值为正整数，则可取的值有 ．
【答案】，，
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：，
∵为整数，且分式的值为正整数，
∴x可以取的值为2，3，5，
故答案为：2，3，5.
【分析】先利用分式的性质化简，再根据“为整数，且分式的值为正整数”求出x的值即可.
【变式2-3】．约分： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】原式=.
故答案为：．
【分析】找到分子分母的公因式约分即可.
【变式2-4】．根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
分母提取负号可得：
故答案为：D
【分析】根据分式的性质化简即可求出答案.
【变式2-5】．若 ，则 .
【答案】8
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的化简求值
【解析】【解答】∵ 可化为 ， 化为
∴原式= =32-1=8
【分析】先把 可化为 ，再将 化为 ，然后代入即可解答。
【变式2-6】．以下式子是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：A. ，不是最简分式，A不符合题意；
B. ，不能再化简，是最简分式，B符合题意；
C. ，不是最简分式，C不符合题意；
D. ，不是最简分式，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简分式的定义结合约分对选项逐一分析，进而即可求解。
【考点3】分式的乘除
【例3-1】．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】分式的乘除法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法的计算方法方法和步骤（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可；
（2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（1）解：
．
（2）解：
．
【变式3-1】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：B.
【分析】先将分数的除法转换为乘法，再利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
【变式3-2】．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．x
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】，
故答案为：A.
【分析】利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
【考点4】分式的加减
【例4-1】．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
（2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
【答案】（1）C
（2）三，分式的基本性质
（3）四，
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确；
故选：C．
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：三；分式的基本性质；
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
【分析】本题考查分式加减运算．
（1）根据 异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想 ，据此可选出选项；
（2）原式 变形为：原式 ，是通分；通分的依据是分式的基本性质：分子和分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变；
（3）原式变形为：原式，错误，x+2是一个整体，需要加上括号，正确的为： 原式 ，再进行化简可求出答案.
（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确；
故选：C．
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：三；分式的基本性质；
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
【变式4-1】．计算：
【答案】原式 =
=
=
=．
=
=．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的加减法.先进行通分可得：原式=，再根据同分母分式相减，分母不变，分子相减可得：原式=，再将括号进行展开，合并同类项可求出答案.
【变式4-2】．我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
，
．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将变形为满足以上结果要求的形式：_______；
（2）将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值；
（3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______．
【答案】（1）
（2）解：
，
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴为整数，
∴，
∴或；
（3）
【知识点】约分；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查分式的约分：
（1）先将原式变形为原式=， 进而可得：原式=， 再进行约分化简可求出答案；
（2）先将原式变形为：原式=，进而可得：原式 ， 再进行约分化简可求出化简后的式子；根据题意可得的值为整数，则为整数，据此可得，解方程可求出a的值，再进行检验可求出答案；
（3）先将原式变形为：原式 ，再利用完全平方公式把原式变形为：原式=，进一步变形得可得：原式=，再进行约分化简可求出答案．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
∵的值为整数，
∴的值为整数，
∴为整数，
∴，
∴或；
（3）解：
，
故答案为：．
【考点5】分式的混合运算
【例5-1】．计算： ．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
【变式5-1】．先化简，再求值：，其中为的整数．
【答案】解：
，
要使分式有意义，，，，
不能为，，，
为的整数是，，，，，
或，
当时，原式，
当时，原式，
即分式的值是或．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
【变式5-2】．先化简再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将代入计算即可.
【考点6】负整数指数幂
有关负指数指数幂的混合运算
【例6-1】．计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据乘方、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根相关知识先进行化简，然后再进行加减计算即可．
【变式6-1】．计算： ＝ ．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】 =1+2=3
故答案为：3
【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.
【变式6-2】．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值进行运算，进而即可求解。
科学记数法
【例6-2】．随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】负整数指数幂；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
解：
故答案为：B.
【分析】按科学记数法的表示方法写出结果。，其中1≤｜a｜＜10，n为整数。
【变式6-1】．我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【考点7】分式方程
分式方程的解法
【例7-1】．解方程：．
【答案】解：由方程，
方程两边都乘，得，解得：，
检验：当时，，所以是增根，
即原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式的运算法则，方程两边都乘，转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验，即可求解.
【变式7-1】．解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
去分母得：
解得：
经检验是分式方程的解；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题重点考查分式方程的解法。解题关键是先将分式方程化为整式方程，通过去分母来实现，然后求解整式方程，最后进行检验确保分母不为0；需注意去分母时方程两边要同时乘以最简公分母，以及解出的值要代入原方程检验.
（1）解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【变式7-2】．．解方程：．
【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】本题考查解分式方程.先去分母可得：，再进行移项，合并同类项可得：，再进行检验即可求出方程的解．
增根应用
【例7-2】．已知方程有增根x=1，求k的值.
【答案】解：方程两边都乘（x+1）（x-1），
得2（x-1）+k（x+1）=6
∵原方程有增根x=1，
∴当x=1时，k=3，
故k的值是3．
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】先求出 2（x-1）+k（x+1）=6 ，再根据原方程有增根x=1， 求解即可。
【变式7-3】．关于x的方程 有增根，求 的值.
【答案】解：去分母，得 ，
所以 ，
因为原方程 的增根可能是 2或 -2，
当 时， =2，此时 无解，
当 时， ，解得 ，
所以当 时，原方程 有增根.
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】首先在原方程的左右两边都乘以（x+2）(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，所谓分式方程的增根就是使原方程最简公分母为0的根，从而求出x的值，进而根据原方程的增根是原方程去分母后所得的整式方程的根可以将x的值代入求出k的值.
分式方程无解，整数解
【例7-3】．解方程：
（1）
（2）若分式方程： 无解，求a的值．
【答案】（1）解：去分母得： ，
去括号，移项，合并同类项得：2x=4，
解得：x=2，
经检验：x=2是方程的根
（2）解：去分母得：3x=a(x-2)+4，即：(3-a)x=4-2a，
分两种情况讨论：
① 当分式有增根时，即x(x-2)=0，得x=0或2，当x=0时，a=2；当x=2时得6=4，不成立，
② 当方程（3-a）x=4-2a无解时，即3-a=0，a=3；
∴原方程无解时，a=2或3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）通过取分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解；（2）先去分母，整理得(3-a)x=4-2a，分两种情况：① 当分式有增根时，② 当方程（3-a）x=4-2a无解时，分别求出a的值，即可．
【变式7-4】．若关于x的方程 无解，求m的值．
【答案】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3，整理得：（m﹣1）x=2． 当m﹣1=0，即m=1时，方程无解； 当m﹣1≠0时，x﹣3=0，即x=3时，方程无解，此时 3，即m ． 综上所述：m=1或m
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m﹣1=0或将x=3代入整式方程，即可求出m的值．
【变式7-5】．若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ．
【答案】或
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去括号得，
解得，
∵方程有正整数解，即且，
∴，即，且为整数，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意；
当时，，不符合题意；
∴或，
故答案为：或．
【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程.先去分母，再解分式方程可得：，因为分式方程有正整数解可推出：，且为整数，分五种情况：，，，，，依次求出解x，再进行检验，可确定整数m的值.
【考点8】分式方程的应用
【例8-1】．某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
【答案】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：
，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解．
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元．
（2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球(50-m)个.
由题意，得50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解得
∵m为整数，∴m取18.所以学校最多购买乙种足球18个.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍可列出方程：，解方程可求出x的值，再进行检验可求出问题的答案；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买甲种足球(50-m)个，根据 此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元 ，可列出不等式50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解不等式可得：，再根据m为整数，可求出问题的答案.
【变式8-1】．甲、乙两个施工队共同参与一项全长6300米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的3倍比乙队负责施工的长度长900米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．
（1）求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？
（2）若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的1.5倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用4天完工，求甲队每天施工多少米？
【答案】（1）解：设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，
解得
答：甲施工队施工的长度是1800米，乙施工队施工的长度是4500米
（2）解：设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，
经检验：当时，．
答：甲队每天各施工300米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（）设甲施工队施工的长度是米，乙施工队施工的长度是米，由题意列出一元一次方程，求解即可；
（）设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工米，由题意列出分式方程求解即可.
【变式8-2】． 义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务。一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质. 已知A、 B两个采血点到中心血库的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一： B采血点运送车辆的平均速度是A采血点运送车辆的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时.
（1） 求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
（2）若B采血点完成采血的时间为2.5小时，判断血液运送到中心血库后会不会变质
【答案】（1）解：（1）设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，
根据题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
∴1.2x＝36
答：A采血点运送车辆的平均速度是30km/h，B采血点运送车辆的平均速度为36km/h；
（2）解：∵B采血点运送车辆的行驶时间为36÷36＝1（h）．
2.5＋1＝3.5（h）＜4（h），
∴B采血点采集的血液不会变质．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时”列出方程，再求解即可；
（2）根据B采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可．
【变式8-3】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：60千瓦时电价：元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式.
（1）根据表中的信息：利用总费用除以路程可得：，再进行化简可求出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元可以列出分式方程，解方程可求出a的值，再进行检验，据此可求出答案；
②根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元 ， 买新能源车的年费用更低 ，可列出不等式，解不等式可求出x的取值范围，进而可求出答案．
（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）．
故答案为：；
（2）解：①根据题意可得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解．
，．
答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元．
②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
根据题意得：，
解得：．
答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低．
【变式8-4】．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务.已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资.
(1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成.请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案.
答案：(1)甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物
(2)两车主合作完成既省钱又省时，计算过程见解析
解析：（1）设甲车主每天能运输吨货物，则乙车主每天能运输吨货物，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴.
答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物.
（2）甲车主单独完成所需时间为（天），
乙车主单独完成所需时间为（天），
甲、乙两车主合作完成所需时间为（天），
甲车主单独完成所需费用为（元），
乙车主单独完成所需费用为（元），
甲、乙两车主合作完成所需费用为（元）.
∵，，
∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时
答：该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时.
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