人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式综合质量检测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式综合质量检测卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-26 13:25:18 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 综合质量检测卷
学校_______________ 班级___________ 姓名 __________考号____________
时间120分钟 满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·鸡泽期中）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·祁阳期中）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2024八上·鸡泽期中）若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
4．（2024八上·益阳开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·永年开学考）某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·WMO竞赛）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2024九下·邯郸模拟）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（ ）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
8．已知分式，，其中，则与的关系是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·南宁模拟）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳下，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·嘉兴月考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·四川月考）若 ，则 。
12．（2024八上·永定期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
13．（2024八上·鸡泽期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为 ．
14．（2024八上·益阳开学考）为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务列方程 ．
15．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（2022八上·株洲期中）解方程：
（1）
（2）
17．（8分）（2024八上·青县期末） 以下是佳佳同学化简的运算过程的一部分，请仔细观察并回答问题：
解：原式= ---------------------①
=------------------②
=-------------------------------③
．．． ．．．
（1）在上面佳佳同学的运算过程中，从第 步开始出错；
（2）请你写出完整的解答过程，若x的值满足，求原式的值．
18．（8分）（2024八上·来宾月考）先化简，再求值：，其中，.
19．（8分）（2024八上·石家庄期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
（2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
20．（8分）（2023八上·惠阳月考）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
21．（8分）某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
22．（12分）（2024八上·防城期末）【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是元。
（1）请用含的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.
23．（13分）（2022八下·广陵期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知： ，求代数式x2+ 的值.
解：∵ ，∴ ＝4
即 ＝4∴x+ ＝4∴x2+ ＝（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值.
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求x+ 的值.
（2）已知 ，（abc≠0），求 的值.
（3）若 ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 综合质量检测卷
学校_______________ 班级___________ 姓名 __________考号____________
时间120分钟 满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·鸡泽期中）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：．
解得：．
故答案为：A．
【分析】先利用分式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可.
2．（2024八上·祁阳期中）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，a≠0
∴
∴
故选B．
【分析】解题关键是明确分式值为0时，分子为0且分母不为0，需注意求出分子 0时的值后要检验分母是否不为0；对于，分子，解得，此时分母，所以满足题意．
3．（2024八上·鸡泽期中）若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
分式值扩大3倍．
故答案为：B．
【分析】将 ， 扩大3倍，即将 ， 用 ， 代替，就可以解出此题．
4．（2024八上·益阳开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：B.
【分析】先将分数的除法转换为乘法，再利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
5．（2024八上·永年开学考）某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由，
故选：D．
【分析】根据题意列出算式，应用平方差公式，再进行约分化简即可
6．（2024八下·WMO竞赛）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：
两边同乘得：，
方程有增根，
将代入上式得：，
a=3.
故答案为：B.
【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母，再将增根代入即可解得a 的值.
7．（2024九下·邯郸模拟）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（ ）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
【答案】A
【解析】【解答】甲第①步中没有通分，故计算错误；乙第③步中，同分母分式相加，分母应保持不变，故计算错误.
故答案为：A．
【分析】根据分式的加减乘除运算法则即可求解.
8．已知分式，，其中，则与的关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式对A化简，利用分式的通分对B化简，即可比较与的关系.
9．（2024九下·南宁模拟）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳下，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，
根据题意，得：。
故答案为：B。
【分析】设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，根据相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下，即可得出方程：。
10．（2024七下·嘉兴月考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·四川月考）若 ，则 。
【答案】-2或3
【解析】【解答】(1) 任何不为零的数的零次幂等于1，
∴ ，
解得： ，(2) 1的任何次幂都是1，
∴ ，
解得： ，(3) ﹣1的偶次幂等于1
∴ ，且 为偶数，
解得：无解，
故答案为：﹣2或3．
【分析】根据任何不为零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都是1，﹣1的偶次幂等于1进行计算即可．
12．（2024八上·永定期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】10或-4或3
【解析】【解答】解：
方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=5（x-2），
化简得：（m-3）x=-14；
当原分式方程有增根时，分式方程无解，
此时整式方程的根为x=-2或x=2，
将x=-2代入（m-3）x=-14，
解得：m=10；
将x=2代入（m-3）x=-14，
解得：m=-4；
当整式方程无解时，原分式方程无解，
此时，m-3=0，
解得：m=3；
综上所述，当m=10或m=-4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或-4或3.
【分析】根据原分式方程存在增根或原方程约去分母后，整式方程无解时，分式方程均无解，分类讨论即可得出答案.
13．（2024八上·鸡泽期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为 ．
【答案】或10
【解析】【解答】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【分析】结合流程图中的计算方法分类讨论：①当时，，②当时，，再分别求出x的值即可.
14．（2024八上·益阳开学考）为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务列方程 ．
【答案】
【解析】【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，
根据题意得：，
故答案为：.
【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．
15．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
【答案】5
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（2022八上·株洲期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解，
所以方程的解为．
（2）解：，
，
，
经检验，不是原分式方程的解，
所以方程无解．
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以化为一元一次方程，解方程并检验解题；
（2）方程两边同时乘以化为一元一次方程，解方程并检验解题．
（1）解：，
，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解，
所以方程的解为．
（2）解：，
，
，
经检验，不是原分式方程的解，
所以方程无解．
17．（8分）（2024八上·青县期末） 以下是佳佳同学化简的运算过程的一部分，请仔细观察并回答问题：
解：原式= ---------------------①
=------------------②
=-------------------------------③
．．． ．．．
（1）在上面佳佳同学的运算过程中，从第 步开始出错；
（2）请你写出完整的解答过程，若x的值满足，求原式的值．
【答案】（1）③
（2）解：原式=
，
∵x的值满足 ，
∴，
当时，
原式．
【解析】【解答】解：（1）由解析过程可知，第③步出现错误，原因是去括号未变符号.
故答案为：③
【分析】（1）由解析过程可知，第③步出现错误，原因是去括号未变符号，即可求出答案.
（2）先根据分式混合运算法则进化简，再将代入计算即可求出答案.
18．（8分）（2024八上·来宾月考）先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式
，
当，时，
原式.
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值．先把小括号内进行的通分可得：，再将除法运算转化为乘法运算，将括号去掉化简可得：，将x的值和y的值代入式子可求出答案.
19．（8分）（2024八上·石家庄期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
（2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
【答案】（1），
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：∵，
当x是大于3的正整数时，
∴，
∴，
∴，
故小强说的有道理．
【解析】【解答】（1）解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是．
【分析】本题考查分式的应用，分式的性质，分式比较大小的方法.
（1）根据分式的值最大：分母要大于分子，据此可找出小明和小强组成的分式 ；
（2）利用作差法比较分式，大小可得：，再进行通分化简可得：原式，再根据x是大于3的正整数时，利用符号法则可得：，据此可比较出两个数的大小.
（1）解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是．
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：
∵，
当x是大于3的正整数时，
∴，
∴，
∴，
故小强说的有道理．
20．（8分）（2023八上·惠阳月考）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【答案】（1）；；
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：；
故答案为：；；
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形即可求出答案.
（2）根据题意计算即可求出答案.
21．（8分）某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
【答案】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：
，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解．
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元．
（2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球(50-m)个.
由题意，得50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解得
∵m为整数，∴m取18.所以学校最多购买乙种足球18个.
【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍可列出方程：，解方程可求出x的值，再进行检验可求出问题的答案；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买甲种足球(50-m)个，根据 此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元 ，可列出不等式50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解不等式可得：，再根据m为整数，可求出问题的答案.
22．（12分）（2024八上·防城期末）【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是元。
（1）请用含的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.
【答案】（1）解：购买甲种足球的数量为个，购买甲种足球的数量为个；
（2）解：∵购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
∴，
方程两边同时乘以，得
解得：，
检验：把代入，
所以是原方程的解，且符合题意。
（个），
答：甲种足球在此商场的销售单价为50元，乙种足球在此商场的销售单价为70元；
（3）解：设购买乙种足球个，则购买甲种足球个，
（元），（元），
由题意得：，
.
答：这所学校最多可购买25个乙种足球.
【解析】【分析】(1)、根据购买足球的数量=总费用单价，列式即可.
(2)、根据购买足球的数量=总费用单价，列出分式方程，进而求解即可.
(3)、由题意列出一元一次不等式，进而求解即可.
23．（13分）（2022八下·广陵期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知： ，求代数式x2+ 的值.
解：∵ ，∴ ＝4
即 ＝4∴x+ ＝4∴x2+ ＝（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值.
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求x+ 的值.
（2）已知 ，（abc≠0），求 的值.
（3）若 ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.
【答案】（1）解：∵ ＝ ，
∴ ＝4，
∴x﹣1+ ＝4，
∴x+ ＝5；
（2）解：∵设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：解法一：设 ＝ ＝ ＝ （k≠0），
∴①， ②， ③，
①+②+③得：2（ ）＝3k，
＝ k④，
④﹣①得： ＝ k，
④﹣②得： ，
④﹣③得： k，
∴x＝ ，y＝ ，z＝ 代入 ＝ 中，得：
＝ ，
，
k＝4，
∴x＝ ，y＝ ，z＝ ，
∴xyz＝ ＝ ＝ ；
解法二：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将其代入 中得： ＝
＝ ，y＝ ，
∴x＝ ，z＝ ＝ ，
∴xyz＝ ＝ .
【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设 ＝ ＝ ＝ （k≠0），化简得： ①， ②， ③，相加变形可得x、y、z的代入 ＝ 中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得： ＝ ＝ ，拆项得 ，从而得x＝ ，z＝ ，代入已知可得结论.
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 综合质量检测卷
学校_______________ 班级___________ 姓名 __________考号____________
时间120分钟 满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·鸡泽期中）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·祁阳期中）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2024八上·鸡泽期中）若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
4．（2024八上·益阳开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·永年开学考）某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·WMO竞赛）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2024九下·邯郸模拟）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（ ）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
8．已知分式，，其中，则与的关系是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·南宁模拟）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳下，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·嘉兴月考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·四川月考）若 ，则 。
12．（2024八上·永定期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
13．（2024八上·鸡泽期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为 ．
14．（2024八上·益阳开学考）为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务列方程 ．
15．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（2022八上·株洲期中）解方程：
（1）
（2）
17．（8分）（2024八上·青县期末） 以下是佳佳同学化简的运算过程的一部分，请仔细观察并回答问题：
解：原式= ---------------------①
=------------------②
=-------------------------------③
．．． ．．．
（1）在上面佳佳同学的运算过程中，从第 步开始出错；
（2）请你写出完整的解答过程，若x的值满足，求原式的值．
18．（8分）（2024八上·来宾月考）先化简，再求值：，其中，.
19．（8分）（2024八上·石家庄期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
（2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
20．（8分）（2023八上·惠阳月考）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
21．（8分）某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
22．（12分）（2024八上·防城期末）【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是元。
（1）请用含的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.
23．（13分）（2022八下·广陵期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知： ，求代数式x2+ 的值.
解：∵ ，∴ ＝4
即 ＝4∴x+ ＝4∴x2+ ＝（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值.
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求x+ 的值.
（2）已知 ，（abc≠0），求 的值.
（3）若 ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式 综合质量检测卷
学校_______________ 班级___________ 姓名 __________考号____________
时间120分钟 满分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·鸡泽期中）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：．
解得：．
故答案为：A．
【分析】先利用分式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可.
2．（2024八上·祁阳期中）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，a≠0
∴
∴
故选B．
【分析】解题关键是明确分式值为0时，分子为0且分母不为0，需注意求出分子 0时的值后要检验分母是否不为0；对于，分子，解得，此时分母，所以满足题意．
3．（2024八上·鸡泽期中）若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
分式值扩大3倍．
故答案为：B．
【分析】将 ， 扩大3倍，即将 ， 用 ， 代替，就可以解出此题．
4．（2024八上·益阳开学考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：B.
【分析】先将分数的除法转换为乘法，再利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
5．（2024八上·永年开学考）某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由，
故选：D．
【分析】根据题意列出算式，应用平方差公式，再进行约分化简即可
6．（2024八下·WMO竞赛）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：
两边同乘得：，
方程有增根，
将代入上式得：，
a=3.
故答案为：B.
【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母，再将增根代入即可解得a 的值.
7．（2024九下·邯郸模拟）在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（ ）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
【答案】A
【解析】【解答】甲第①步中没有通分，故计算错误；乙第③步中，同分母分式相加，分母应保持不变，故计算错误.
故答案为：A．
【分析】根据分式的加减乘除运算法则即可求解.
8．已知分式，，其中，则与的关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式对A化简，利用分式的通分对B化简，即可比较与的关系.
9．（2024九下·南宁模拟）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳下，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，
根据题意，得：。
故答案为：B。
【分析】设小季每分钟跳x下， 则小范每分钟跳（x+30）下，根据相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下，即可得出方程：。
10．（2024七下·嘉兴月考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·四川月考）若 ，则 。
【答案】-2或3
【解析】【解答】(1) 任何不为零的数的零次幂等于1，
∴ ，
解得： ，(2) 1的任何次幂都是1，
∴ ，
解得： ，(3) ﹣1的偶次幂等于1
∴ ，且 为偶数，
解得：无解，
故答案为：﹣2或3．
【分析】根据任何不为零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都是1，﹣1的偶次幂等于1进行计算即可．
12．（2024八上·永定期中）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】10或-4或3
【解析】【解答】解：
方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=5（x-2），
化简得：（m-3）x=-14；
当原分式方程有增根时，分式方程无解，
此时整式方程的根为x=-2或x=2，
将x=-2代入（m-3）x=-14，
解得：m=10；
将x=2代入（m-3）x=-14，
解得：m=-4；
当整式方程无解时，原分式方程无解，
此时，m-3=0，
解得：m=3；
综上所述，当m=10或m=-4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或-4或3.
【分析】根据原分式方程存在增根或原方程约去分母后，整式方程无解时，分式方程均无解，分类讨论即可得出答案.
13．（2024八上·鸡泽期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为2，则的值为 ．
【答案】或10
【解析】【解答】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【分析】结合流程图中的计算方法分类讨论：①当时，，②当时，，再分别求出x的值即可.
14．（2024八上·益阳开学考）为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务列方程 ．
【答案】
【解析】【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，
根据题意得：，
故答案为：.
【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．
15．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
【答案】5
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）（2022八上·株洲期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解，
所以方程的解为．
（2）解：，
，
，
经检验，不是原分式方程的解，
所以方程无解．
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以化为一元一次方程，解方程并检验解题；
（2）方程两边同时乘以化为一元一次方程，解方程并检验解题．
（1）解：，
，
，
，
，
经检验，是原分式方程的解，
所以方程的解为．
（2）解：，
，
，
经检验，不是原分式方程的解，
所以方程无解．
17．（8分）（2024八上·青县期末） 以下是佳佳同学化简的运算过程的一部分，请仔细观察并回答问题：
解：原式= ---------------------①
=------------------②
=-------------------------------③
．．． ．．．
（1）在上面佳佳同学的运算过程中，从第 步开始出错；
（2）请你写出完整的解答过程，若x的值满足，求原式的值．
【答案】（1）③
（2）解：原式=
，
∵x的值满足 ，
∴，
当时，
原式．
【解析】【解答】解：（1）由解析过程可知，第③步出现错误，原因是去括号未变符号.
故答案为：③
【分析】（1）由解析过程可知，第③步出现错误，原因是去括号未变符号，即可求出答案.
（2）先根据分式混合运算法则进化简，再将代入计算即可求出答案.
18．（8分）（2024八上·来宾月考）先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式
，
当，时，
原式.
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值．先把小括号内进行的通分可得：，再将除法运算转化为乘法运算，将括号去掉化简可得：，将x的值和y的值代入式子可求出答案.
19．（8分）（2024八上·石家庄期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
（2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
【答案】（1），
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：∵，
当x是大于3的正整数时，
∴，
∴，
∴，
故小强说的有道理．
【解析】【解答】（1）解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是．
【分析】本题考查分式的应用，分式的性质，分式比较大小的方法.
（1）根据分式的值最大：分母要大于分子，据此可找出小明和小强组成的分式 ；
（2）利用作差法比较分式，大小可得：，再进行通分化简可得：原式，再根据x是大于3的正整数时，利用符号法则可得：，据此可比较出两个数的大小.
（1）解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是．
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：
∵，
当x是大于3的正整数时，
∴，
∴，
∴，
故小强说的有道理．
20．（8分）（2023八上·惠阳月考）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【答案】（1）；；
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：；
故答案为：；；
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形即可求出答案.
（2）根据题意计算即可求出答案.
21．（8分）某校去年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
（2）该校今年计划再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么学校最多可购买乙种足球多少个
【答案】（1）解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：
，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解．
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元．
（2）解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球(50-m)个.
由题意，得50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解得
∵m为整数，∴m取18.所以学校最多购买乙种足球18个.
【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍可列出方程：，解方程可求出x的值，再进行检验可求出问题的答案；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买甲种足球(50-m)个，根据 此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元 ，可列出不等式50(1+10%)(50-m)+70(1-10%)m≤2900，解不等式可得：，再根据m为整数，可求出问题的答案.
22．（12分）（2024八上·防城期末）【综合与实践】
学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下：购买甲种足球共用2000元，购买乙种足球共花费1400元.已知购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.设购买一个甲种足球的单价是元。
（1）请用含的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量；
（2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价；
（3）为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了10％，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了10％.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量.
【答案】（1）解：购买甲种足球的数量为个，购买甲种足球的数量为个；
（2）解：∵购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，
∴，
方程两边同时乘以，得
解得：，
检验：把代入，
所以是原方程的解，且符合题意。
（个），
答：甲种足球在此商场的销售单价为50元，乙种足球在此商场的销售单价为70元；
（3）解：设购买乙种足球个，则购买甲种足球个，
（元），（元），
由题意得：，
.
答：这所学校最多可购买25个乙种足球.
【解析】【分析】(1)、根据购买足球的数量=总费用单价，列式即可.
(2)、根据购买足球的数量=总费用单价，列出分式方程，进而求解即可.
(3)、由题意列出一元一次不等式，进而求解即可.
23．（13分）（2022八下·广陵期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.
例：已知： ，求代数式x2+ 的值.
解：∵ ，∴ ＝4
即 ＝4∴x+ ＝4∴x2+ ＝（x+ ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值.
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求x+ 的值.
（2）已知 ，（abc≠0），求 的值.
（3）若 ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.
【答案】（1）解：∵ ＝ ，
∴ ＝4，
∴x﹣1+ ＝4，
∴x+ ＝5；
（2）解：∵设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：解法一：设 ＝ ＝ ＝ （k≠0），
∴①， ②， ③，
①+②+③得：2（ ）＝3k，
＝ k④，
④﹣①得： ＝ k，
④﹣②得： ，
④﹣③得： k，
∴x＝ ，y＝ ，z＝ 代入 ＝ 中，得：
＝ ，
，
k＝4，
∴x＝ ，y＝ ，z＝ ，
∴xyz＝ ＝ ＝ ；
解法二：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将其代入 中得： ＝
＝ ，y＝ ，
∴x＝ ，z＝ ＝ ，
∴xyz＝ ＝ .
【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设 ＝ ＝ ＝ （k≠0），化简得： ①， ②， ③，相加变形可得x、y、z的代入 ＝ 中，可得k的值，从而得结论；解法二：取倒数得： ＝ ＝ ，拆项得 ，从而得x＝ ，z＝ ，代入已知可得结论.
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