一、导数的概念
（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率；
提醒 Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝；
（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝；
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（ × ）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（ × ）
2.设f（x）在x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（ ）
A. B. C. D.
解析：B 对于A，＝－＝－f'（x0），A错误；对于B，＝f'（x0），B正确；对于C，＝2＝2f'（x0），C错误；对于D，＝－＝－f'（x0），D错误.故选B.
解题技法 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）求平均变化率＝；（2）求瞬时变化率，即取极限，得到f'（x0）.
提醒 函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.
二、导数的几何意义
1.导数的现实意义：在y＝s（t）时，瞬时速度就是位移函数对时间t的导数；在y＝V（t）时，加速度就是瞬时速度函数对时间t的导数等等。
1.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（ ）
A.－ cm/s B. cm/s C.－ cm/s D. cm/s
解析：B 由结论2知，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B.
2.某旅游者爬山的高度h（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，关系式是h（t）＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是（ ）
A.500 m/h B.1 000 m/h C.400 m/h D.1 200 m/h
解析：C h'（t）＝－200t＋800，∴h'（2）＝－200×2＋800＝400（m/h）.
2.导数的几何意义(此时初步理解几何意义，下一节专点分析导数函数与原函数的关系)
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的 斜率 ，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（ √ ）
2.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（ ）
解析：B 由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0.
3.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是
A.a＜f'（2）＜f'（4） B.f'（2）＜a＜f'（4）
C.f'（4）＜f'（2）＜a D.f'（2）＜f'（4）＜a
解析：B 从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函数在[2，4]上各点处
的斜率也越来越大.因为＝a，所以f'（2）＜a＜f'（4），故选B.
三、1导数的运算
1.求下列函数的导数：（1）y＝x（ln x＋cos x）；（2）y＝；（3）y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）.
解：（1）y'＝ln x＋cos x＋x（－sin x）＝ln x＋cos x－xsin x＋1.
（2）y'＝＝.
（3）∵y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）＝xsin（4x＋π）＝－xsin 4x.∴y'＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x.
2.（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A.若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cos（2x＋3） B.若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1
C.若f（x）＝，则f'（x）＝ D.若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1
解析：ACD f（x）＝sin（2x＋3），f'（x）＝cos（2x＋3）·（2x＋3）'＝2cos（2x＋3），故A正确；f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝－2e－2x＋1，故B错误；f（x）＝，f'（x）＝＝，故C正确；f（x）＝xln x，f'（x）＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋1，故D正确.
3.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝ 1 .
解析：f'（x）＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.
2.导数的运算的常用结论1
1.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数.
（三2.1）P612.观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos x）'＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝ －g（x） .
解析：由结论1知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x）是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g（－x）＝－g（x）.
3.导数的运算的提醒：提醒 f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝sin 的导数为y'＝cos .（ × ）
2.下列函数的求导正确的是（ ）
A.（x－2）'＝－2x B.（xcos x）'＝cos x－xsin x C.（ln 10）'＝ D.（e2x）'＝2ex
解析：B ∵（x－2）'＝－2x－3，∴A错误；（xcos x）'＝cos x－xsin x，∴B正确；（ln 10）'＝0，∴C错误；（e2x）'＝2e2x，∴D错误.故选B.
3.已知f（x）的导函数为f'（x），f（x）＝＋2f'（1）·x，则f'（1）＝ － .
解析：∵f（x）＝＋2f'（1）·x，∴f'（x）＝＋2f'（1），∴f'（1）＝＋2f'（1），解得f'（1）＝－.
四、求切线 求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒 注意“在”与“过”的区别，前者P（x0，f（x0））为切点，而后者P（x0，f（x0））不一定为切点.
1.求切线类型一：已知切点
1.曲线y＝x3＋1在点（－1，a）处的切线方程为 y＝3x＋3 .
解析：因为（－1，a）在曲线y＝x3＋1上，所以a＝0.令f（x）＝x3＋1，则f'（x）＝3x2，f'（－1）＝3，即切线的斜率k＝3，所以所求切线的方程为y＝3（x＋1），即y＝3x＋3.
2.（2023·全国甲卷8题）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ C ）
A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋
解析：由题意可知y'＝＝，则曲线y＝在点（1，）处的切线斜率k＝y'｜x＝1＝，所以曲线y＝在点（1，）处的切线方程为y－＝（x－1），即y＝x＋，故选C.
3.函数f（x）＝exsin x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（ ）
A.0 B.1 C. D.
解析：C 由题意知f'（x）＝exsin x＋excos x＝ex（sin x＋cos x），则曲线在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝e0（sin 0＋cos 0）＝1.设切线的倾斜角为α，则tan α＝1，又α∈[0，π），所以α＝.
4.曲线y＝在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，则实数a＝ 2 .
解析：由题意得，y'＝－，则曲线y＝在点（2，1）处的切线的斜率k＝y'｜x＝2＝－＝－，又曲线y＝在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，所以－a＝－1，所以a＝2.
针对作业：
5．已知函数，其导函数为．(1)求在处的切线方程；
【详解】因为的导数为，所以在处的切线斜率为，而
故所求的切线方程为，即．
6．已知函数．(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
【详解】由题意，在中，，中，
当时，，，中，，
∴曲线在点处切线的斜率为
2.求切线类型二：不知切点
1.（2022·新高考Ⅱ卷14题）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 y＝x，y＝－x .
解析：先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
2.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 （e，1） .
解析：设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝（x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝（m＋e）.再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）.
3.曲线y＝x3＋m在点A处的切线方程为y＝3x＋2m－2，则切点A的坐标为 （－1，3）或（1，1） .
解析：由曲线在点A处的斜率y'＝3x2＝3得x＝±1，由切点A的横坐标为±1，所以（－1）3＋m＝－3＋2m－2或13＋m＝3＋2m－2，解得m＝4或m＝0，所以A的坐标为（－1，3）或（1，1）.
4.（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （－∞，－4）∪（0，＋∞） .
解析：因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'＝（x0＋a＋1）＝，化简，得＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
5.曲线y＝xln x过点P（1，a）的切线有且只有两条，则实数a的取值范围是 （－∞，0） .
解析：因为y＝xln x，则y'＝ln x＋1，设切点为（x0，y0 ），y'＝ln x0＋1，所以切线方程为y－x0ln x0＝（ln x0＋1）（x－x0），代入P（1，a），得a－x0ln x0＝（ln x0＋1）（1－x0），即a＝ln x0－x0＋1有两个解，令g（x）＝ln x－x＋1（x＞0），g'（x）＝－1＝，故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1 时，函数g（x）有最大值，g（1）＝0，且x→＋∞，g（x）→－∞，x→0，g（x）→－∞，所以a＜0.
解题技法 利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
提醒 （1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.一、导数的概念
（1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率；
提醒 Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
（2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝；
（3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝；
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（ ）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（ ）
2.设f（x）在x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（ ）
A. B. C. D.
二、导数的几何意义
1.导数的现实意义：在y＝s（t）时，瞬时速度就是位移函数对时间t的导数；在y＝V（t）时，加速度就是瞬时速度函数对时间t的导数等等。
1.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h（t）＝，当t＝3时，水面下降的速度为（ ）
A.－ cm/s B. cm/s C.－ cm/s D. cm/s
2.某旅游者爬山的高度h（单位：m）是时间t（单位：h）的函数，关系式是h（t）＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是（ ）
A.500 m/h B.1 000 m/h C.400 m/h D.1 200 m/h
2.导数的几何意义(此时初步理解几何意义，下一节专点分析导数函数与原函数的关系)
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的 ，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（ ）
2.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（ ）
3.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是
A.a＜f'（2）＜f'（4） B.f'（2）＜a＜f'（4）
C.f'（4）＜f'（2）＜a D.f'（2）＜f'（4）＜a
三、1导数的运算
1.求下列函数的导数：（1）y＝x（ln x＋cos x）；（2）y＝；（3）y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）.
2.（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A.若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cos（2x＋3） B.若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1
C.若f（x）＝，则f'（x）＝ D.若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1
3.已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝ .
2.导数的运算的常用结论1
1.奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，周期函数的导函数还是周期函数.
（三2.1）P612.观察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos x）'＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）＝ .
3.导数的运算的提醒：提醒 f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f（x0））'＝0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝sin 的导数为y'＝cos .（ ）
2.下列函数的求导正确的是（ ）
A.（x－2）'＝－2x B.（xcos x）'＝cos x－xsin x C.（ln 10）'＝ D.（e2x）'＝2ex
3.已知f（x）的导函数为f'（x），f（x）＝＋2f'（1）·x，则f'（1）＝ .
四、求切线 求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒 注意“在”与“过”的区别，前者P（x0，f（x0））为切点，而后者P（x0，f（x0））不一定为切点.
1.求切线类型一：已知切点
1.曲线y＝x3＋1在点（－1，a）处的切线方程为 .
2.（2023·全国甲卷8题）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）
A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋
3.函数f（x）＝exsin x的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（ ）
A.0 B.1 C. D.
4.曲线y＝在点（2，1）处的切线与直线y＝ax＋1垂直，则实数a＝ .
针对作业：
5．已知函数，其导函数为．(1)求在处的切线方程；
6．已知函数．(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
2.求切线类型二：不知切点
1.（2022·新高考Ⅱ卷14题）曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， .
2.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
3.曲线y＝x3＋m在点A处的切线方程为y＝3x＋2m－2，则切点A的坐标为 .
4.（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 .
5.曲线y＝xln x过点P（1，a）的切线有且只有两条，则实数a的取值范围是 .
解题技法 利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
提醒 （1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.
