第1章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值
知识梳理:
1.函数的极值与导数
条件 f'(x0)=0
x0附近的左侧f'(x) > 0,右侧f'(x) < 0 x0附近的左侧f'(x) < 0,右侧f'(x) > 0
图象 形如山峰 形如山谷
极值 f(x0)为极 大 值 f(x0)为极 小 值
极值点 x0为极 大 值点 x0为极 小 值点
提醒 f'(x0)=0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.如:f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是极值点.
2.函数的最值与导数
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值;
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的 最小值 ,f(b)为函数的 最大值 ;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的 最大值 ,f(b)为函数的 最小值 .
考点一:
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大.( √ )
(2)闭区间上的连续函数必有最值.( √ )
(3)函数的极大值一定是函数的最大值.( × )
(4)开区间上的单调连续函数无最值.( √ )
(5)设函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在区间(a,b)内不单调.( √ )
考点二:由图像判断函数的极值
1.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:A 由题意知,只有在x=-1处,f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正,故f(x)的极小值点只有1个.
2.(多选)如图是y=f(x)的导函数f'(x)的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是( )
A.当x=-1时,f(x)取得极小值 B.f(x)在[-2,1]上单调递增
C.当x=2时,f(x)取得极大值 D.f(x)在[-1,2]上不具备单调性
解析:AC 由导函数f'(x)的图象知,当x=-1时,f(x)取得极小值,故选项A正确;
f(x)在[-2,1]上有减有增,故选项B错误;当x=2时,f(x)取得极大值,故选项C正确;
f(x)在[-1,2]上单调递增,故选项D错误.
3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
解析:D 由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.
考点三:求函数的极值(极值点)
1.函数 g(x)=-x2的极值点是 x=0 ,函数f(x)=(x-1)3的极值点 不存在 (填“存在”或“不存在”).
解析:结合函数图象可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f'(x)=3(x-1)2≥0,所以f'(x)=0无变号零点,故函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.
2.已知函数f(x)=,则f(x)的极大值为 .
解析:函数f(x)=的定义域为(0,+∞),且f'(x)=,令f'(x)=0,可得x=e,列表如下,
x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以函数f(x)的极大值为f(e)=.
3.函数f(x)=x2+ln x-2x的极值点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数
解析:A 函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=x+-2==≥0,即f(x)在定义域上是增函数,由结论1可知f(x)无极值点.
4.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解:(1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-=,
令f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ln 2-1 ↘
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=(x>0).
当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上是增函数,此时函数在定义域上无极值点;
当a>0时,若x∈,则f'(x)>0,若x∈,则f'(x)<0,故函数在x=处有极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=.
5.若函数f(x)=的极大值点与极小值点分别为a,b,则a+b=( )
A.-4 B. C.0 D.2
解析:C f'(x)=,当-<x<时,f'(x)>0;当x<-或x>时,f'(x)<0.故f(x)=的极大值点与极小值点分别为,-,则a=,b=-,所以a+b=0.
6.函数的极大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D【分析】求出函数的单调性,即可求出函数的极大值.
【详解】函数的定义域为,又,
令,则或,所以当或时,当时,
所以在,上单调递增,在上单调递减,所以的极大值为.故选:D.
7.函数的极大值为( )
A. B.0 C.e D.1
【答案】D【分析】求导,令,,可求得极大值.
【详解】因为,令,得时;令,得,
所以当时,函数取得极大值.故选:D.
考点四:求函数的最值
1.(2022·全国甲卷6题)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=( )
A.-1 B.- C. D.1
解析:B 由题意知,f(1)=aln 1+b=b=-2.求导得f'(x)=-(x>0),因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以易得f'(1)=a-b=0,所以a=-2,所以f'(2)=-=-.故选B.
2.函数f(x)=xln x在[,e]上的最大值是 e .
解析:由f(x)=xln x,得f'(x)=ln x+1,令f'(x)=0,得x=,当≤x≤e时,f'(x)≥0,所以f(x)在[,e]上单调递增,由结论2可知f(x)的最大值为f(e)=eln e=e.
3.函数f(x)=x+sin x在x∈[0,2π]上的最大值是 π ,最小值是 0 ;
解析:(1)f'(x)=+cos x,令f'(x)=0,又x∈[0,2π],解得x=或x=,计算得f(0)=0,f(2π)=π,f=+,f=-.所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.
4.函数f(x)=在[2,+∞)上的最小值为( )
A.- B.-1 C. D.1
解析:C f'(x)=,令f'(x)>0,解得x>3,令f'(x)<0,解得2≤x<3,故f(x)在[2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(3)=.
5.(多选)下列说法正确的是( )
A.f(x)=x+(x∈R)的最小值为1 B.f(x)=(x>0)的最小值为1
C.f(x)=x-ln x(x>0)的最小值为1 D.f(x)=x(x>0)的最小值1
解析:AC f(x)=x+(x∈R),f'(x)=1-=,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(0)=1,A正确;f(x)=(x>0),f'(x)=,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,B错误;f(x)=x-ln x(x>0),f'(x)=1-=,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=1,C正确;f(x)=x(x>0),f'(x)=+x·(-)=,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,D错误;故选A、C.
6.已知函数的图象在点处的切线过点.
(1)求实数的值;(2)求的单调区间和极值.
【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线方程,将点代入求解;
(2)利用导数研究函数单调性和极值.
【详解】(1)由已知得,则,又,
所以图象在点处的切线方程为,将点代入得,解得.
(2)所以,定义域为, 所以,
令,则,易得在上恒成立,所以在上单调递增,
又,所以当时,,即,在上单调递减,
当时,,即,在上单调递增,所以在处取得极小值,极小值为.
7.已知函数.(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程(2)当时,求函数的极值(3)若在上是单调增函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)极小值为,无极大值(3)【分析】(1)利用导数的几何意义函数的图象在点处的切线的斜率为,又,由直线的点斜式可得切线方程;(2)利用的正负讨论的单调性,即可求得函数的极值;(3)由在上是单调增函数,所以在上恒成立,则在上恒成立,又在上为单调递减函数,所以,可得.
【详解】(1)当时,,定义域为,
,所以函数的图象在点处的切线的斜率为,又,
所以函数的图象在点处的切线方程为,即.
(2),令,解得,当时,,当时,,
所以 在上是减函数,在上是增函数,所以在处取得极小值,无极大值.
(3)因为在上是单调增函数,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
因为在上为单调递减函数,所以当时,取得最大值,即,
所以.
8.已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为和,减区间为,极大值为-1,极小值为(2).【分析】(1)利用导数分析函数的单调性,可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值;(2)结合参变量分离法可得,令,利用导数求出函数的最大值,即可得出实数的取值范围.
【详解】(1),该函数的定义域为,
则,列表如下:
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以,函数的增区间为和,减区间为,
函数的极大值为,极小值为.
(2)当时,由可得,
令,其中,则,
由可得,由可得,所以,函数的增区间为,减区间为,
所以,,所以,,故实数的取值范围是.
9.已知函数f(x)=,若f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间及其最大值与最小值.
解:因为f(x)=,所以f'(x)==,
由题意可得f'(-1)==0,解得a=3,故f(x)=,f'(x)=,则列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞),单调递减区间为(-1,3).
当x<1时,f(x)>0,且当x→-∞时,f(x)→0;当x>1时,f(x)<0,且当x→+∞时,f(x)→0,所以f(x)max=f(-1)=,f(x)min=f(3)=-.
10.函数,则下列结论错误的是( )
A.在区间上不单调 B.有两个极值点
C.有两个零点 D.在上有最大值
【答案】C【分析】对求导,讨论单调性,得出极值和最值,画出草图即可.
【详解】定义域为,求导即,令,解得.
显然在和上,故在和上单调递增;
在上,故在上单调递减.
所以为的极大值点,为的极小值点,
且,,草图如下.
所以ABD正确,C错误.故选:C.
11.已知函数,若方程有2个不同的实根,则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据给定条件,求出函数的导数,利用导数探讨函数的性质,再数形结合求出的范围.
【详解】函数的定义域为,求导得,
当或时,,当或时,,
因此函数在上单调递增,在上单调递减,
当时,取得极大值,当时,取得极小值,
函数在上恒有,而,
当时,,而函数在上递减,值域为,
因此函数在上无最大值,当时,,显然在上无最大值,
函数的大致图象如图,
观察图象知,当或时,直线与函数的图象有两个公共点,
因此方程有两个不同的实数解时,或,
所以实数的取值范围是或故答案为:或
12.已知.(1)求的单调区间,并求其极值;
(2)画出函数的大致图象;(3)讨论函数的零点的个数.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为,;极小值为,无极大值(2)作图见解析
(3)答案见解析【分析】(1)求出,由的正负判断出的单调性可得极值;(2)根据的单调性极值可得答案;(3)转化为函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数,结合图象可得答案.【详解】(1)定义域为,,令得,,列表如下;
0
↘ ↘ ↗
由上表知,单调递增区间为,单调递减区间为,;
当时,取极小值为,无极大值;
(2)令得,;令得,,当时,,,故;
当时,,,故;据此信息及(1)可得的图象,如图所示;
(3)令得,
则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数,
结合图象及(2)可知,当或,即或时,函数有1个零点;
当,即时,函数有2个零点当,即时,函数有0个零点.
考点五:求参数问题
1.已知函数f(x)=在x=1处取得极值,则f(x)的极小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:C 求导得f'(x)=,由已知得f'(1)=0,所以a=-1,则f(x)=,f'(x)=.令f'(x)=0,得x=0或x=1.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)的极小值为f(0)=1.
2.已知函数f(x)=cos x+aln x在x=处取得极值,则a= .
解析:∵f'(x)=-sin x,且f'=0,∴-=0,即a=,经验证,符合题意.
3.已知函数f(x)=ax3-x,若f(x)有极大值,则a= 3 .
解析:f'(x)=3ax2-1,当a≤0时,f'(x)<0,f(x)是减函数,无极大值.当a>0时,令f'(x)=0,得x=±,令f'(x)>0,得x<-或x>,令f'(x)<0,得-<x<,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)在x=-处取得极大值,所以f=,解得a=3.
4.若函数f(x)=6aln x+x2-(a+6)x(x>0)有2个极值点,则实数a的取值范围为 (0,6)∪(6,+∞) .
解析:f'(x)=+x-(a+6)=(x>0),因为函数f(x)有2个极值点,所以f'(x)=0有2个不同的正实数根,所以a>0且a≠6,即实数a的取值范围是(0,6)∪(6,+∞).
5.若函数f(x)=ln(2x)+ax有大于零的极值,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-) B.(-,0) C.(0,) D.(,+∞)
解析:B 函数f(x)=ln(2x)+ax的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=+a,当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,无极值,不符合题意;当a<0时,当0<x<-时,f'(x)>0,当x>-时,f'(x)<0,则当x=-时,函数f(x)取得极大值f(-),因此f(-)=ln(-)-1>0,即ln(-)>1,解得-<a<0.
6.已知函数.(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程
(2)当时,求函数的极值(3)若在上是单调增函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)极小值为,无极大值(3)【分析】(1)利用导数的几何意义函数的图象在点处的切线的斜率为,又,由直线的点斜式可得切线方程;(2)利用的正负讨论的单调性,即可求得函数的极值;(3)由在上是单调增函数,所以在上恒成立,则在上恒成立,又在上为单调递减函数,所以,可得.
【详解】(1)当时,,定义域为,
,所以函数的图象在点处的切线的斜率为,又,
所以函数的图象在点处的切线方程为,即.
(2),令,解得,当时,,当时,,
所以 在上是减函数,在上是增函数,所以在处取得极小值,无极大值.
(3)因为在上是单调增函数,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
因为在上为单调递减函数,所以当时,取得最大值,即,
所以.
7.若函数f(x)=x3-4x+m在[0,3]上的最小值为4,则m= .
解析:f'(x)=x2-4,x∈[0,3],当x∈[0,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,3]时,f'(x)>0,所以f(x)在[0,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增.所以f(2)为f(x)在[0,3]上的极小值,由结论3可知也是最小值,所以f(2)=4,解得m=.
8已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解:(1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-=,
令f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ln 2-1 ↘
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=(x>0).
当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上是增函数,此时函数在定义域上无极值点;
当a>0时,若x∈,则f'(x)>0,若x∈,则f'(x)<0,故函数在x=处有极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=.
9.已知函数().(1)求函数的极值;(2)若集合有且只有一个元素,求的值.
【答案】(1)极大值是,无极小值;(2).【分析】(1)利用求导,通过参数,可分析出为正负的区间,从而可以判断的极值;(2)利用不等式有唯一解,则正好是最大值取到等号,再去分析取等号的含参方程有解的条件,所以重新构造新的函数,通过求导来研究函数的零点和方程的解.
【详解】(1)由,因为,所以的定义域为,则,
因为时,;时,.所以的单调递增区间为;单调递减区间为,
所以是的极大值点,的极大值是,无极小值.
(2)由(1)可得,
要使得集合有且只有一个元素,则只需要
设,则,因为时,;时,,
所以的单调递减区间为;单调递增区间为.
所以,所以关于的方程有解时,
只能是,所以集合有且只有一个元素时.
10.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷11题)若函数f(x)= aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0
解析:BCD 因为函数f(x)=aln x++(a≠0),所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正实根x1,x2,
则即所以故选B、C、D.
11.已知函数f(x)=-ax在(1,+∞)上有极值,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,] B.(-∞,) C.(0,] D.[0,)
解析:B 由题意可知,f'(x)=-a,设g(x)==-.∵函数f(x)在区间(1,+∞)上有极值,∴f'(x)=g(x)-a在(1,+∞)上有变号零点.令=t,由x>1可得ln x>0,即t>0,得到y=t-t2=-(t-)2+≤,解得a<.故选B.
12.(2024·苏州模拟)函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围为[-2,1).
解析:(2)由于f'(x)=-x2+1,易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,故若函数f(x)在(a,10-a2)上有最大值,则即-2≤a<1.
13.已知函数f(x)=x2-ln x在区间(a,a+)(其中a>0)上存在最小值,则实数a的取值范围为 (,1) .
解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-,令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.因为f(x)在区间(a,a+)(其中 a>0)上存在最小值,所以解得<a<1.
14.若函数在上存在最小值,则实数a的取值范围是 .
【答案】【分析】利用导数判断函数的单调性,得到函数的极大极小值,结合函数的简图,由题意即可判断参数的范围.【详解】由题意,,由可得或,由可得,
从而在上递增,在上递减,在上递增,
故有极大值,极小值,如图所示,
注意到,由图可知,要使函数在上存在最小值,
应有.故答案为:.
15.已知函数f(x)=ax3-x,若f(x)有极大值,则a= 3 .
解析:f'(x)=3ax2-1,当a≤0时,f'(x)<0,f(x)是减函数,无极大值.当a>0时,令f'(x)=0,得x=±,令f'(x)>0,得x<-或x>,令f'(x)<0,得-<x<,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)在x=-处取得极大值,所以f=,解得a=3.
16.若函数f(x)=x3-3x在区间(-2,m)上有最大值,则m的取值范围是( )
A.(-1,) B.(-1,3] C.(-1,] D.(-1,2]
解析:D f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)·(x-1),当x<-1或x>1时,f'(x)>0;当-1<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,因为f(x)在(-2,m)上有最大值,所以-1∈(-2,m),又f(-1)=2,当x3-3x=2时,即(x+1)2(x-2)=0,解得x=2或x=-1,所以-1<m≤2.
17.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:A f'(x)=2(x+1)-sin(x+1),令g(x)=f'(x),则g'(x)=2-cos(x+1)>0,所以f'(x)是增函数,又f'(-1)=0,所以当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,故x=-1为f(x)的极小值点,也是最小值点,即f(-1)=1+a=4,解得a=3.第1章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值
考点一:
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大.( )
(2)闭区间上的连续函数必有最值.( )
(3)函数的极大值一定是函数的最大值.( )
(4)开区间上的单调连续函数无最值.( )
(5)设函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在区间(a,b)内不单调.( )
考点二:由图像判断函数的极值
1.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(多选)如图是y=f(x)的导函数f'(x)的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是( )
A.当x=-1时,f(x)取得极小值 B.f(x)在[-2,1]上单调递增
C.当x=2时,f(x)取得极大值 D.f(x)在[-1,2]上不具备单调性
3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
考点三:求函数的极值(极值点)
1.函数 g(x)=-x2的极值点是 ,函数f(x)=(x-1)3的极值点 (填“存在”或“不存在”).
2.已知函数f(x)=,则f(x)的极大值为 .
3.函数f(x)=x2+ln x-2x的极值点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无数
4.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
5.若函数f(x)=的极大值点与极小值点分别为a,b,则a+b=( )
A.-4 B. C.0 D.2
6.函数的极大值为( )
A. B. C. D.
7.函数的极大值为( )
A. B.0 C.e D.1
考点四:求函数的最值
1.(2022·全国甲卷6题)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=( )
A.-1 B.- C. D.1
2.函数f(x)=xln x在[,e]上的最大值是 .
3.函数f(x)=x+sin x在x∈[0,2π]上的最大值是 ,最小值是 ;
4.函数f(x)=在[2,+∞)上的最小值为( )
A.- B.-1 C. D.1
5.(多选)下列说法正确的是( )
A.f(x)=x+(x∈R)的最小值为1 B.f(x)=(x>0)的最小值为1
C.f(x)=x-ln x(x>0)的最小值为1 D.f(x)=x(x>0)的最小值1
6.已知函数的图象在点处的切线过点.
(1)求实数的值;(2)求的单调区间和极值.
7.已知函数.(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程(2)当时,求函数的极值(3)若在上是单调增函数,求实数a的取值范围.
8.已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
9.已知函数f(x)=,若f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间及其最大值与最小值.
10.函数,则下列结论错误的是( )
A.在区间上不单调 B.有两个极值点
C.有两个零点 D.在上有最大值
11.已知函数,若方程有2个不同的实根,则实数的取值范围是 .
12.已知.(1)求的单调区间,并求其极值;(2)画出函数的大致图象;(3)讨论函数的零点的个数.
考点五:求参数问题
1.已知函数f(x)=在x=1处取得极值,则f(x)的极小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.已知函数f(x)=cos x+aln x在x=处取得极值,则a= .
3.已知函数f(x)=ax3-x,若f(x)有极大值,则a= .
4.若函数f(x)=6aln x+x2-(a+6)x(x>0)有2个极值点,则实数a的取值范围为 .
5.若函数f(x)=ln(2x)+ax有大于零的极值,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-) B.(-,0) C.(0,) D.(,+∞)
6.已知函数.(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程(2)当时,求函数的极值(3)若在上是单调增函数,求实数a的取值范围.
7.若函数f(x)=x3-4x+m在[0,3]上的最小值为4,则m= .
8已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
9.已知函数().(1)求函数的极值;(2)若集合有且只有一个元素,求的值.
10.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷11题)若函数f(x)= aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0
11.已知函数f(x)=-ax在(1,+∞)上有极值,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,] B.(-∞,) C.(0,] D.[0,)
12.(2024·苏州模拟)函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围为 .
13.已知函数f(x)=x2-ln x在区间(a,a+)(其中a>0)上存在最小值,则实数a的取值范围为 .
14.若函数在上存在最小值,则实数a的取值范围是 .
15.已知函数f(x)=ax3-x,若f(x)有极大值,则a= .
16.若函数f(x)=x3-3x在区间(-2,m)上有最大值,则m的取值范围是( )
A.(-1,) B.(-1,3] C.(-1,] D.(-1,2]
17.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a=( )
A.3 B.4 C.5 D.6