广东省茂名市化州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·化州期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·化州期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·化州期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·化州期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
5．（2024高一上·化州期中）函数的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·化州期中）已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·化州期中）若函数和都是奇函数，且在区间上有最大值5，则在区间（ ）
A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值
8．（2024高一上·化州期中）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·化州期中）已知集合，若，则的值可能是（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
10．（2024高一上·化州期中）已知关于的不等式.的解集为.则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
11．（2024高一上·化州期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在R上单调递减 D．当时，
12．（2024高一上·化州期中）函数的定义域是 .
13．（2024高一上·化州期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ．
14．（2024高一上·化州期中）设函数的定义域为，如果存在正实数，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若为上的“型增函数”，则实数的取值范围是 ．
15．（2024高一上·化州期中）已知命题，使为假命题．
（1）求实数的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．（2024高一上·化州期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）当时，求函数的解析式.
17．（2024高一上·化州期中）已知函数.
（1）若，使得，求的取值范围；
（2）若，都有恒成立，求的取值范围；
（3）当时，，满足，求的取值范围.
18．（2024高一上·化州期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每百辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大 并求出最大利润．
19．（2024高一上·化州期中）已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”．
（1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由；
（2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围；
（3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，或，
所以。
故答案为：A。
【分析】先求出B的补集，再求与A的交集即可。
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：时，一定有，满足充分性，
但时，不一定有，不满足必要性，
所以“”是“”的为充分不必要条件。
故答案为：A。
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可。
3．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A，取，满足，不满足，故A错误；
对于选项B，取，满足，不满足，故B错误；
对于选项C，因为，所以，即，故C正确；
对于选项D，取，满足，不满足，故D错误.
故答案为：C.
【分析】取，逐一验证A，B，D，即可判断选项A，选项B和选项D，再利用作差比较大小的方法，即可判断选项C，从而找出正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得，所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为。
故答案为：D。
【分析】利用“1”的妙用即可得解。
5．【答案】C
【知识点】函数的表示方法；函数的图象
【解析】【解答】解：，结合选项可知C符合题意。
故答案为：C。
【分析】化简成分段函数形式即可得解。
6．【答案】D
【知识点】存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题P为假命题，所以为真命题，，解得。
故答案为：D。
【分析】由为真命题，得，即可求出的范围。
7．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：令，
因为函数和都是奇函数，所以函数也是奇函数，且，
因为在区间上有最大值5，
所以在上有最大值，在有最小值。
所以在区间有最小值。
故答案为：C。
【分析】利用奇函数的性质即可得解。
8．【答案】C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为，
因为，则值域为，
当时，；
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据“函数”的定义，从而确定的值域为，再结合每段上的函数的取值范围，从而列出相应不等式，再解不等式得出实数的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：因为，所以或解得或所以或。
故答案为：BC。
【分析】利用集合相等，列方程组求解即可。
10．【答案】A,C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A、因为不等式.的解集为，所以为方程的两根，且，
所以由韦达定理得，，所以，，，故A正确；
B、因为，，，所以不等式可化为，故B错误；
C、因为，，，所以，故C正确；
D、因为，，，所以不等式可化为，解得，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】由条件可知为方程的两根，且，结合韦达定理可得的关系，再逐项判断即可。
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、中，令得，
令得，所以，故A正确；
B、中，令得，解得，
中，令得，所以为奇函数，故B正确；
C、由得，即，
由时，，知，
即，所以在R上单调递增，故C错误；
D、 由A知，，
又，所以，又因为在R上单调递增，所以，故D正确。
故答案为：ABD。
【分析】A、赋值得，，；B、先赋值得到，令得；C、令，且，结合时，，得在R上递增；D、变形得到，又，故，由函数单调性可判断D。
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：，解得且。
故答案为： 。
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可。
13．【答案】2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：为幂函数，则，解得或，
时，，其图象关于轴对称，
时，，其图象关于原点对称，
所以。
故答案为：2。
【分析】根据幂函数的定义求出或，通过的图象关于轴对称来确定的值。
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，时，，
所以时，，
所以，
由为上的“型增函数”，知，
时，即，，
根据绝对值的几何意义可知，解得；
时，，可知时恒成立，时，可得，即；
时，
①，即时，，即，化简可得，
即，即；
②，即时，，时恒成立，时，可得，即；
③，即时，，即，即，
时恒成立，
时，，即，解得，即；
综上，若使时恒成立，则。
故答案为：。
【分析】由函数的奇偶性可求解析式，分情况讨论列不等式，求解即可。
15．【答案】（1）因为命题，使为假命题，
所以关于的方程无解，
若，有解，故时不成立，
若，，得，
综上，。
（2）为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以且，
所以，即，
综上：实数的取值范围为。
【知识点】集合间关系的判断；充分条件；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分、两种情况讨论即可；
（2）首先由为非空集合可得，然后由条件可得且，然后可建立不等式求解。
（1）因为命题，使为假命题，
所以关于的方程无解，
当时，有解，故时不成立，
当时，，解得，
所以
（2）因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以且，
所以，即，
综上：实数的取值范围为.
16．【答案】（1）因为时，函数的式为，所以，
因为为上的奇函数，所以。
（2）证明：设，则，
，
因为时，，
则，
所以，
所以在上是减函数。
（3）当时，，，。
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义即可得解；
（2）设，按作差、变形、定号、下结论的步骤即可得证；
（3）先设时，，根据已知函数式及奇函数定义可求。
（1）因为时，函数的式为，
所以，
因为为上的奇函数，
所以；
（2）证明：设，则，
所以，
因为时，，
则，
所以，
所以在上是减函数；
（3）当时，，
则，
所以.
17．【答案】（1）若，使得成立，只需，解得。
（2）若对，都有恒成立，
则，解得，又，
故的取值范围为。
（3）当时，，
若对，满足，
只需，有，
当时，，故，有，
那么有，解得或，
综上，的范围为。
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由判别式计算即可得解；
（2）由题意可得，解出后结合即可得解；
（3）由题意可知，只需求出在上的最大值，则有，有，即有，求解即可。
（1）若，使得成立，只需，解得；
（2）若对，都有恒成立，
则，解得，又，
故的取值范围为.
（3）当时，，
若对，满足，
只需，有，
当时，，故，有，
则有，解得或，
综上所述，的取值范围为.
18．【答案】（1）年产量（百辆）时销售收入为万元，
总成本为，
所以
，单位：万元。
（2）由（1）当时，，
当（百辆）时，取最大值，即（万元），
当时，，
当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立，
因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元。
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）年产量（百辆）时销售收入为万元，由利润销售量售价成本可写出的函数关系式；
（2）分别求出、时的最大值，比较大小后即可得解。
（1）年产量（百辆）时销售收入为万元，
总成本为，
所以
，单位：万元.
（2）由（1）当时，，
当（百辆）时，取最大值，即（万元），
当时，，
当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立，
因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元．
19．【答案】（1）由题意可知，当时，，倍区间为，但，所以不是函数的一个“倍区间”。
（2）当时，，
因为，
所以，即，
所以m的范围为。
（3）当时，由，得，当时，由，得，
所以在为单调递增函数，所以在上的值域为，
当时，，得，即，
当时，，得，即，
设，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
得，
所以，所以（）是的一个“3倍区间”。
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据函数新定义结合二次函数的值域判断即可；
（3）根据新定义结合单调性构造函数，得到在上单调递减即可得解。
（1）由题意可得，当时，，此时倍区间为，
但，所以不是函数的一个“倍区间”，
（2）由题意可得当时，，
因为，
所以，即，
所以m的取值范围为，
（3）当时，由，得，
当时，由，得，
所以在为单调递增函数，所以在上的值域为，
当时，，得，即，
当时，，得，即，
设，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
得，
所以，所以（）是的一个“3倍区间”.
1 / 1广东省茂名市化州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·化州期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，或，
所以。
故答案为：A。
【分析】先求出B的补集，再求与A的交集即可。
2．（2024高一上·化州期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：时，一定有，满足充分性，
但时，不一定有，不满足必要性，
所以“”是“”的为充分不必要条件。
故答案为：A。
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可。
3．（2024高一上·化州期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A，取，满足，不满足，故A错误；
对于选项B，取，满足，不满足，故B错误；
对于选项C，因为，所以，即，故C正确；
对于选项D，取，满足，不满足，故D错误.
故答案为：C.
【分析】取，逐一验证A，B，D，即可判断选项A，选项B和选项D，再利用作差比较大小的方法，即可判断选项C，从而找出正确的选项.
4．（2024高一上·化州期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得，所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为。
故答案为：D。
【分析】利用“1”的妙用即可得解。
5．（2024高一上·化州期中）函数的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的表示方法；函数的图象
【解析】【解答】解：，结合选项可知C符合题意。
故答案为：C。
【分析】化简成分段函数形式即可得解。
6．（2024高一上·化州期中）已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题P为假命题，所以为真命题，，解得。
故答案为：D。
【分析】由为真命题，得，即可求出的范围。
7．（2024高一上·化州期中）若函数和都是奇函数，且在区间上有最大值5，则在区间（ ）
A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：令，
因为函数和都是奇函数，所以函数也是奇函数，且，
因为在区间上有最大值5，
所以在上有最大值，在有最小值。
所以在区间有最小值。
故答案为：C。
【分析】利用奇函数的性质即可得解。
8．（2024高一上·化州期中）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可知的定义域为，
又因为函数是“函数”，故其值域为，
因为，则值域为，
当时，；
当时，，此时函数在上单调递增，则，
故由函数是“函数”可得，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据“函数”的定义，从而确定的值域为，再结合每段上的函数的取值范围，从而列出相应不等式，再解不等式得出实数的取值范围.
9．（2024高一上·化州期中）已知集合，若，则的值可能是（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
【答案】B,C
【知识点】集合相等
【解析】【解答】解：因为，所以或解得或所以或。
故答案为：BC。
【分析】利用集合相等，列方程组求解即可。
10．（2024高一上·化州期中）已知关于的不等式.的解集为.则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【答案】A,C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：A、因为不等式.的解集为，所以为方程的两根，且，
所以由韦达定理得，，所以，，，故A正确；
B、因为，，，所以不等式可化为，故B错误；
C、因为，，，所以，故C正确；
D、因为，，，所以不等式可化为，解得，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】由条件可知为方程的两根，且，结合韦达定理可得的关系，再逐项判断即可。
11．（2024高一上·化州期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在R上单调递减 D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、中，令得，
令得，所以，故A正确；
B、中，令得，解得，
中，令得，所以为奇函数，故B正确；
C、由得，即，
由时，，知，
即，所以在R上单调递增，故C错误；
D、 由A知，，
又，所以，又因为在R上单调递增，所以，故D正确。
故答案为：ABD。
【分析】A、赋值得，，；B、先赋值得到，令得；C、令，且，结合时，，得在R上递增；D、变形得到，又，故，由函数单调性可判断D。
12．（2024高一上·化州期中）函数的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：，解得且。
故答案为： 。
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可。
13．（2024高一上·化州期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ．
【答案】2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：为幂函数，则，解得或，
时，，其图象关于轴对称，
时，，其图象关于原点对称，
所以。
故答案为：2。
【分析】根据幂函数的定义求出或，通过的图象关于轴对称来确定的值。
14．（2024高一上·化州期中）设函数的定义域为，如果存在正实数，使对任意的，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若为上的“型增函数”，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，时，，
所以时，，
所以，
由为上的“型增函数”，知，
时，即，，
根据绝对值的几何意义可知，解得；
时，，可知时恒成立，时，可得，即；
时，
①，即时，，即，化简可得，
即，即；
②，即时，，时恒成立，时，可得，即；
③，即时，，即，即，
时恒成立，
时，，即，解得，即；
综上，若使时恒成立，则。
故答案为：。
【分析】由函数的奇偶性可求解析式，分情况讨论列不等式，求解即可。
15．（2024高一上·化州期中）已知命题，使为假命题．
（1）求实数的取值集合B；
（2）设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）因为命题，使为假命题，
所以关于的方程无解，
若，有解，故时不成立，
若，，得，
综上，。
（2）为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以且，
所以，即，
综上：实数的取值范围为。
【知识点】集合间关系的判断；充分条件；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分、两种情况讨论即可；
（2）首先由为非空集合可得，然后由条件可得且，然后可建立不等式求解。
（1）因为命题，使为假命题，
所以关于的方程无解，
当时，有解，故时不成立，
当时，，解得，
所以
（2）因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以且，
所以，即，
综上：实数的取值范围为.
16．（2024高一上·化州期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）当时，求函数的解析式.
【答案】（1）因为时，函数的式为，所以，
因为为上的奇函数，所以。
（2）证明：设，则，
，
因为时，，
则，
所以，
所以在上是减函数。
（3）当时，，，。
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义即可得解；
（2）设，按作差、变形、定号、下结论的步骤即可得证；
（3）先设时，，根据已知函数式及奇函数定义可求。
（1）因为时，函数的式为，
所以，
因为为上的奇函数，
所以；
（2）证明：设，则，
所以，
因为时，，
则，
所以，
所以在上是减函数；
（3）当时，，
则，
所以.
17．（2024高一上·化州期中）已知函数.
（1）若，使得，求的取值范围；
（2）若，都有恒成立，求的取值范围；
（3）当时，，满足，求的取值范围.
【答案】（1）若，使得成立，只需，解得。
（2）若对，都有恒成立，
则，解得，又，
故的取值范围为。
（3）当时，，
若对，满足，
只需，有，
当时，，故，有，
那么有，解得或，
综上，的范围为。
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由判别式计算即可得解；
（2）由题意可得，解出后结合即可得解；
（3）由题意可知，只需求出在上的最大值，则有，有，即有，求解即可。
（1）若，使得成立，只需，解得；
（2）若对，都有恒成立，
则，解得，又，
故的取值范围为.
（3）当时，，
若对，满足，
只需，有，
当时，，故，有，
则有，解得或，
综上所述，的取值范围为.
18．（2024高一上·化州期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每百辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）
（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大 并求出最大利润．
【答案】（1）年产量（百辆）时销售收入为万元，
总成本为，
所以
，单位：万元。
（2）由（1）当时，，
当（百辆）时，取最大值，即（万元），
当时，，
当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立，
因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元。
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）年产量（百辆）时销售收入为万元，由利润销售量售价成本可写出的函数关系式；
（2）分别求出、时的最大值，比较大小后即可得解。
（1）年产量（百辆）时销售收入为万元，
总成本为，
所以
，单位：万元.
（2）由（1）当时，，
当（百辆）时，取最大值，即（万元），
当时，，
当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立，
因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元．
19．（2024高一上·化州期中）已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”．
（1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由；
（2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围；
（3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”．
【答案】（1）由题意可知，当时，，倍区间为，但，所以不是函数的一个“倍区间”。
（2）当时，，
因为，
所以，即，
所以m的范围为。
（3）当时，由，得，当时，由，得，
所以在为单调递增函数，所以在上的值域为，
当时，，得，即，
当时，，得，即，
设，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
得，
所以，所以（）是的一个“3倍区间”。
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）根据新定义判断即可；
（2）根据函数新定义结合二次函数的值域判断即可；
（3）根据新定义结合单调性构造函数，得到在上单调递减即可得解。
（1）由题意可得，当时，，此时倍区间为，
但，所以不是函数的一个“倍区间”，
（2）由题意可得当时，，
因为，
所以，即，
所以m的取值范围为，
（3）当时，由，得，
当时，由，得，
所以在为单调递增函数，所以在上的值域为，
当时，，得，即，
当时，，得，即，
设，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
得，
所以，所以（）是的一个“3倍区间”.
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