广东省广州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·广州期中）下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形
C．比较大的数字 D．著名的数学家
2．（2024高一上·广州期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·广州期中）已知，则函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·广州期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·广州期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·广州期中）某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·广州期中）已知函数满足对任意，，当时都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·广州期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一上·广州期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数
10．（2024高一上·广州期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A． B．的定义城为
C．， D．为偶函数
11．（2024高一上·广州期中）已知实数、，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．
12．（2024高一上·广州期中）已知幂函数在区间上单调递减，则 .
13．（2024高一上·广州期中）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ．
14．（2024高一上·广州期中）已知当时，函数的最大值为，则的值为
15．（2024高一上·广州期中）已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
16．（2024高一上·广州期中）已知命题；命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
17．（2024高一上·广州期中）已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求的值；
（2）用定义法判定的单调性；
（3）求使成立的实数的取值范围.
18．（2024高一上·广州期中）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：．
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
19．（2024高一上·广州期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，，且，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：成绩优秀的学生、比较大的数字、著名的数学家这三组对象均不满足确定性，故ACD错误；边长为2的正方形满足确定性，可以构成集合，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据集合的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数定义域相同，对应关系一致，是同一个函数，故A正确；
B、函数的定义域不同，则不是同一个函数，故B错误；
C、函数定义域不同，不是同一个函数，故C错误；
D、函数定义域不同，不是同一个函数，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据同一个函数的定义逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，由于，则，，
故，即，
函数的解析式为．
故答案为：B.
【分析】利用换元法求函数的解析式即可.
4．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，不等式不成立，故A错误；
B、当时，满足，但，故B错误；
C、因为，因为，且，可得，所以，故C正确；
D、举例，则，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】举反例即可判断ABD；利用作差法即可判断C.
5．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：记集合或，集合，
因为是的充分不必要条件，所以真包含于，则.
故答案为：D.
【分析】记集合或，，由题意可得集合真包含于集合求解即可.
6．【答案】D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：刚开始离自己家的距离最小，故AB错误；
因为开始是走，所以在较短的时间内离家的距离增加的较慢，而后是跑，所以离学校的距离增加的较快，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据一开始离自己家的距离最小，排除AB；再根据跑和走离家的距离增加的快慢判断即可.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数满足对任意，，当时都有成立，
所以在R上的增函数，则，即，
解得，即.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得函数在R上的增函数，再用一次函数与二次函数的单调性及端点值的大小关系列不等式组求解即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，所以，
当时，则，，
当时，则，，
由或，
根据分析可得解集为.
故答案为：C.
【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式求解集即可.
9．【答案】A,C
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A、，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确；
B、，为奇数是存在量词命题数，故B错误；
C、 所有菱形的四条边都相等是全称量词命题，且是真命题，故C正确；
D、是无理数不是全称量词命题，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：由，故，且的定义城为，故A错误、B正确；
对于，或0，故，故C正确；
由于正负有理数、无理数在原点两侧对称分布，所以对应关于y轴对称，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据新函数定义，结合各项判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为、，由，则，
当且仅当，即时等号成立，则的最大值为，故A错误；
B、因为、，，
因为，
所以，当且仅当时，即当时等号成立，则的最小值为，故B正确；
C、因为、，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故C正确；
D、由，
因为、，，则，
所以，，则，
可得，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用基本不等式即可判断ABC；由已知条件可得出，且，利用不等式的基本性质即可判断D.
12．【答案】
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意，解得或，
又函数在区间上单调递减，则，∴．
故答案为：．
【分析】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果．
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，，则，
又因为函数为上的偶函数，所以，
则时，．
故答案为：．
【分析】由题意，当时，，根据函数为偶函数求出的表达式，结合奇偶性分析求解即可．
14．【答案】或
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：易知函数的对称轴为，
当，即时，，解得或（舍）；
当，即时，，解得或（舍），
综上知，的值为2或-1.
故答案为：或.
【分析】根据对称轴和区间中点的关系分两类：当，即时；当，即时进行讨论，建立方程求解即可.
15．【答案】（1）解：当时，，
则，.
（2）解：若，则，
当时，则；
当时，则，则，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）代入的值得出集合B，再根据交集和并集的运算法则得出集合.
（2）利用得出，再分和讨论，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）时，，
则，.
（2）若，则以，
当时，则；
当时，则，则.
综上，的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由题意可得：，解得或；
（2）解：命题为真，若，代入可得成立；
当时，，
所以命题为真时，，
结合题意当真假时，；
当假真时，，解得或；
当两个命题同时为真时，，
故命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或.
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用判别式求解即可；
（2）分别求出为真命题时的范围，再分两种情况讨论求解即可；
（1）由题意可得，
解得或，
（2）命题为真时，
若，代入可得成立；
当时，，
所以命题为真时，，
结合题意当真假时，；
当假真时，，解得或；
当两个命题同时为真时，，
所以，命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或.
17．【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意，故；
（2）解：函数在上是增函数，
由（1）知，，，
证明：设，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，
故函数在上是增函数；
（3）解：，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
由（2）知在上是增函数，
所以，即，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用函数的奇偶性定义证明即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域.
（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意.
故.
（2）在上是增函数.
由（1）知，，.
证明：设，且，
则，
，，，
，，
在上是增函数.
（3），
因为是定义在上的奇函数，
所以，
则，
由（2）知在上是增函数，
所以，即，解得.
故实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；
（2）解：当时，是增函数，且，
当时，是减函数，且，
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；
（3）解：当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据题干函数，分别求出的值，再比较即可；
（2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间；
（3）由的解，结合的单调性求解即可.
（1）因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
（2）当时，是增函数，且．
当时，是减函数，且．
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
（3）当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
19．【答案】解：（1）由题意知：，
设为不动点，因此，解得：或
所以、为的不动点；
（2）因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为： ，因为函数有两个不动点，所以 恒成立，
即对于任意，恒成立，
令，则，，解得；
（3）因为，
所以，
因为，所以，
所以，
故.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程即可；
（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的二次函数，可知当时，函数取最小值，得到关于的不等式，求解即可；
（3）利用已知得到，根据对号函数的性质求得最值即可得实数的取值范围.
1 / 1广东省广州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·广州期中）下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形
C．比较大的数字 D．著名的数学家
【答案】B
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：成绩优秀的学生、比较大的数字、著名的数学家这三组对象均不满足确定性，故ACD错误；边长为2的正方形满足确定性，可以构成集合，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据集合的定义逐项分析判断即可.
2．（2024高一上·广州期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数定义域相同，对应关系一致，是同一个函数，故A正确；
B、函数的定义域不同，则不是同一个函数，故B错误；
C、函数定义域不同，不是同一个函数，故C错误；
D、函数定义域不同，不是同一个函数，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据同一个函数的定义逐项判断即可.
3．（2024高一上·广州期中）已知，则函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，由于，则，，
故，即，
函数的解析式为．
故答案为：B.
【分析】利用换元法求函数的解析式即可.
4．（2024高一上·广州期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，不等式不成立，故A错误；
B、当时，满足，但，故B错误；
C、因为，因为，且，可得，所以，故C正确；
D、举例，则，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】举反例即可判断ABD；利用作差法即可判断C.
5．（2024高一上·广州期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：记集合或，集合，
因为是的充分不必要条件，所以真包含于，则.
故答案为：D.
【分析】记集合或，，由题意可得集合真包含于集合求解即可.
6．（2024高一上·广州期中）某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：刚开始离自己家的距离最小，故AB错误；
因为开始是走，所以在较短的时间内离家的距离增加的较慢，而后是跑，所以离学校的距离增加的较快，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据一开始离自己家的距离最小，排除AB；再根据跑和走离家的距离增加的快慢判断即可.
7．（2024高一上·广州期中）已知函数满足对任意，，当时都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数满足对任意，，当时都有成立，
所以在R上的增函数，则，即，
解得，即.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得函数在R上的增函数，再用一次函数与二次函数的单调性及端点值的大小关系列不等式组求解即可.
8．（2024高一上·广州期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，所以，
当时，则，，
当时，则，，
由或，
根据分析可得解集为.
故答案为：C.
【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式求解集即可.
9．（2024高一上·广州期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数
【答案】A,C
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A、，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确；
B、，为奇数是存在量词命题数，故B错误；
C、 所有菱形的四条边都相等是全称量词命题，且是真命题，故C正确；
D、是无理数不是全称量词命题，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可.
10．（2024高一上·广州期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A． B．的定义城为
C．， D．为偶函数
【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：由，故，且的定义城为，故A错误、B正确；
对于，或0，故，故C正确；
由于正负有理数、无理数在原点两侧对称分布，所以对应关于y轴对称，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据新函数定义，结合各项判断即可.
11．（2024高一上·广州期中）已知实数、，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为、，由，则，
当且仅当，即时等号成立，则的最大值为，故A错误；
B、因为、，，
因为，
所以，当且仅当时，即当时等号成立，则的最小值为，故B正确；
C、因为、，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故C正确；
D、由，
因为、，，则，
所以，，则，
可得，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用基本不等式即可判断ABC；由已知条件可得出，且，利用不等式的基本性质即可判断D.
12．（2024高一上·广州期中）已知幂函数在区间上单调递减，则 .
【答案】
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意，解得或，
又函数在区间上单调递减，则，∴．
故答案为：．
【分析】根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果．
13．（2024高一上·广州期中）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，，则，
又因为函数为上的偶函数，所以，
则时，．
故答案为：．
【分析】由题意，当时，，根据函数为偶函数求出的表达式，结合奇偶性分析求解即可．
14．（2024高一上·广州期中）已知当时，函数的最大值为，则的值为
【答案】或
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：易知函数的对称轴为，
当，即时，，解得或（舍）；
当，即时，，解得或（舍），
综上知，的值为2或-1.
故答案为：或.
【分析】根据对称轴和区间中点的关系分两类：当，即时；当，即时进行讨论，建立方程求解即可.
15．（2024高一上·广州期中）已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
则，.
（2）解：若，则，
当时，则；
当时，则，则，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）代入的值得出集合B，再根据交集和并集的运算法则得出集合.
（2）利用得出，再分和讨论，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）时，，
则，.
（2）若，则以，
当时，则；
当时，则，则.
综上，的取值范围为.
16．（2024高一上·广州期中）已知命题；命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得：，解得或；
（2）解：命题为真，若，代入可得成立；
当时，，
所以命题为真时，，
结合题意当真假时，；
当假真时，，解得或；
当两个命题同时为真时，，
故命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或.
【知识点】存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用判别式求解即可；
（2）分别求出为真命题时的范围，再分两种情况讨论求解即可；
（1）由题意可得，
解得或，
（2）命题为真时，
若，代入可得成立；
当时，，
所以命题为真时，，
结合题意当真假时，；
当假真时，，解得或；
当两个命题同时为真时，，
所以，命题中至少有一个为真命题，实数的取值范围为或.
17．（2024高一上·广州期中）已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求的值；
（2）用定义法判定的单调性；
（3）求使成立的实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意，故；
（2）解：函数在上是增函数，
由（1）知，，，
证明：设，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，
故函数在上是增函数；
（3）解：，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
由（2）知在上是增函数，
所以，即，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用函数的奇偶性定义证明即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域.
（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意.
故.
（2）在上是增函数.
由（1）知，，.
证明：设，且，
则，
，，，
，，
在上是增函数.
（3），
因为是定义在上的奇函数，
所以，
则，
由（2）知在上是增函数，
所以，即，解得.
故实数的取值范围是.
18．（2024高一上·广州期中）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：．
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
【答案】（1）解：因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；
（2）解：当时，是增函数，且，
当时，是减函数，且，
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；
（3）解：当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据题干函数，分别求出的值，再比较即可；
（2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间；
（3）由的解，结合的单调性求解即可.
（1）因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
（2）当时，是增函数，且．
当时，是减函数，且．
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
（3）当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
19．（2024高一上·广州期中）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，，且，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由题意知：，
设为不动点，因此，解得：或
所以、为的不动点；
（2）因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为： ，因为函数有两个不动点，所以 恒成立，
即对于任意，恒成立，
令，则，，解得；
（3）因为，
所以，
因为，所以，
所以，
故.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程即可；
（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的二次函数，可知当时，函数取最小值，得到关于的不等式，求解即可；
（3）利用已知得到，根据对号函数的性质求得最值即可得实数的取值范围.
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