广东省广州市天天向上联盟（培英中学、113中学、秀全中学、西关外国语中学）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·广州期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高一上·广州期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为：，.
故答案为：C.
【分析】根据命题的否定的定义直接判断即可.
3．（2024高一上·广州期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，不关于原点对称，
则是非奇非偶函数，故A错误；
B、函数是偶函数，但在上为减函数，故B错误；
C、函数是奇函数，故C错误；
D、函数的定义域为，满足，
是偶函数，且在是递增的，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义域，结合函数的奇偶性以及单调性逐项判断即可.
4．（2024高一上·广州期中）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、，当时，，由于，故A错误；
B、，存在唯一确定的，使得，故B正确；
CD、对于，不妨设，此时，解得，
故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】举出反例即可判断ACD；利用函数的定义即可判断B.
5．（2024高一上·广州期中）“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A、是充要条件，A错误；
B、不可推导出，B错误；
C、可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，C正确；
D、可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查充分不必要条件的判断.根据不等式在上恒成立”分和两种情况进行讨论可求出实数m的取值范围，再结合小范围可推出大范围，大范围推不出小范围，利用充分条件和必要条件的定义可判断出选项.
6．（2024高一上·广州期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故以的最小值为.
故答案为：A.
【分析】由得，得到，从而可得，再利用基本不等式求解即可.
7．（2024高一上·广州期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，
即，故函数在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】由题意，构造函数，根据函数的单调性，结合所给特殊值，解不等式即可.
8．（2024高一上·广州期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数，则函数在上为增函数，
因为对均有成立，
则，即对恒成立，
令，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，，则可得出对恒成立，令，再由题意可得出，从而解不等式组得出实数的取值范围.
9．（2024高一上·广州期中）若且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：AB、因为，所以，，故A、B正确；
C、，
当时，，此时，故C错误；
D、因为，所以，又，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据不等式的性质即可判断ABD；利用作差法即可判断C.
10．（2024高一上·广州期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知或，则或
C．如果，那么
D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
【答案】B,C,D
【知识点】集合的含义；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据差集定义为且，
由，可得，所以A错误；
由差集定义可得为且，
由或，
可知或，所以B正确；
若，那么对于任意，都满足，
所以且，因此，所以C正确；
易知且在图中表示的区域可表示为，也即，
可得，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】依题意结合的定义，可先求出集合，再求出其以为全集的补集，再结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出解答正确的选项.
11．（2024高一上·广州期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于的方程有个不同的解
C．在上单调递减
D．当时，恒成立.
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、作出函数部分图像，如图所示：
当时，由，可得或
由，可得或；由，可得
即当时，由可得3个不同的解，不是5个，故B错误；
C、当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
综上，在上单调递减，故C正确；
D、当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像，如图所示：
等价于
即，而恒成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，求的值即可判断A；当时验证结论是否正确即可判断B；由在上的解析式即可判断C；分析法证明不等式即可判断D.
12．（2024高一上·广州期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为的定义域满足且，
解得且.
故答案为：.
【分析】根据根式函数定义域求解方法、分式函数定义域求解方法，从而由交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
13．（2024高一上·广州期中）已知幂函数单调递减，则实数 .
【答案】-2
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数单调递减，则，解得.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义及性质列方程组求解即可得实数m的值.
14．（2024高一上·广州期中）已知，若对一切实数，均有，则 .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：因为对一切实数，均有
所以，即，解得，
则，满足
故.
故答案为：.
【分析】由题意，列方程组解得参数a、b，即可得函数解析式，再代值求的值即可.
15．（2024高一上·广州期中）集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求的取值范围．
【答案】解：（1）因为，
或，或，
所以或，或；
（2）当时，显然，此时，即；
当时，由题意有或，解得，
综上，.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合A、B，再根据集合的交并补运算求解即可；
（2）分和两种情况进行讨论，借助数轴求解即可.
16．（2024高一上·广州期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求出当时，的解析式；
（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
（3）结合函数图象，求当时，函数的值域．
【答案】（1）解：当时，，则，
因为为R上的奇函数，所以，
所以当时，的解析式；
（2）解：由（1）得函数的图象，如图所示：
由图象可得函数的单调递减区间为：；
（3）解：当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
当时，，所以当时，函数的值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性求解即可；
（2）根据奇函数图象关于原点对称即可作出图象，数形结合求单调区间即可；
（3）结合函数图象以及单调性求解即可.
（1）依题意，设，则，
于是，
因为为R上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：．
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为
17．（2024高一上·广州期中）已知函数为奇函数，其中为常数．
（1）求的解析式和定义域；
（2）若不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为定义，
因为为奇函数，，
所以，解得，
所以，定义域为
（2）解：因为，
当时，，且单调递增，单调递减，
若不等式成立，则，即，解得.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义结合分式有意义求解即可；
（2）根据函数单调性列不等式求解即可.
（1）由分式的定义可知即，
又因为为奇函数，，
所以，解得，
所以，定义域为.
（2）因为，
当时，，且单调递增，所以单调递减，
若不等式成立，则，即，
解得.
18．（2024高一上·广州期中）党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
（1）求a的值；
（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；
（3）求车辆密度q的最大值．
【答案】（1）解：依题意，，即，故正数，所以，a的值为.
（2）解：当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；
当时，由，解得，即
所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．
（3）解：依题意，，
所以，当时，；
当时，，
由于，所以，当时，q取得最大值．
因为，
所以车辆密度q的最大值为．
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分段函数的解析式和代入法，进而得出实数a的值。
（2） 利用已知条件结合分段函数的解析式和分类讨论的方法，再结合函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合指数函数的单调性，进而结合并集的运算法则得出道路密度x的取值范围。
（3）利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法和指数函数的图象求最值的方法、二次函数的图象求最值的方法，再由比较法得出车辆密度q的最大值。
19．（2024高一上·广州期中）若存在常数k，b使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数．
（1）证明：函数在区间上单调递增．
（2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：任取，不妨设，
则
，
由，则，，
故，即，
故函数在区间上单调递增；
（2）解：当时，与存在隔离直线函数；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
当时，，即有公共点，
设与存在隔离直线函数，
则点在隔离直线函数上，则，即，
则；
若当时有，即，
则在上恒成立，即，
由于，故此时只有时上式才成立，则，
下面证明，令，
即，故，当且仅当，即时等号成立，
所以，即为与的隔离直线函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）求出的图象的交点，设与是存在隔离直线函数，可得，利用可求出k的值，结合证明求解即可.
（1）任取，不妨设，
则
，
由，则，，
故，即，
故函数在区间上单调递增．
（2）当时，与存在隔离直线函数；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
当时，，即有公共点，
设与存在隔离直线函数，
则点在隔离直线函数上，则，即，
则；
若当时有，即，
则在上恒成立，即，
由于，故此时只有时上式才成立，则，
下面证明，令，
即，故，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即为与的隔离直线函数.
1 / 1广东省广州市天天向上联盟（培英中学、113中学、秀全中学、西关外国语中学）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·广州期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·广州期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高一上·广州期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A． B． C． D．
4．（2024高一上·广州期中）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·广州期中）“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·广州期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·广州期中）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·广州期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·广州期中）若且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·广州期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知或，则或
C．如果，那么
D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
11．（2024高一上·广州期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于的方程有个不同的解
C．在上单调递减
D．当时，恒成立.
12．（2024高一上·广州期中）函数的定义域为 ．
13．（2024高一上·广州期中）已知幂函数单调递减，则实数 .
14．（2024高一上·广州期中）已知，若对一切实数，均有，则 .
15．（2024高一上·广州期中）集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求的取值范围．
16．（2024高一上·广州期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求出当时，的解析式；
（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
（3）结合函数图象，求当时，函数的值域．
17．（2024高一上·广州期中）已知函数为奇函数，其中为常数．
（1）求的解析式和定义域；
（2）若不等式成立，求实数的取值范围．
18．（2024高一上·广州期中）党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
（1）求a的值；
（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；
（3）求车辆密度q的最大值．
19．（2024高一上·广州期中）若存在常数k，b使得函数与在给定区间上的任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数．
（1）证明：函数在区间上单调递增．
（2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为：，.
故答案为：C.
【分析】根据命题的否定的定义直接判断即可.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，不关于原点对称，
则是非奇非偶函数，故A错误；
B、函数是偶函数，但在上为减函数，故B错误；
C、函数是奇函数，故C错误；
D、函数的定义域为，满足，
是偶函数，且在是递增的，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义域，结合函数的奇偶性以及单调性逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、，当时，，由于，故A错误；
B、，存在唯一确定的，使得，故B正确；
CD、对于，不妨设，此时，解得，
故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】举出反例即可判断ACD；利用函数的定义即可判断B.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A、是充要条件，A错误；
B、不可推导出，B错误；
C、可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，C正确；
D、可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查充分不必要条件的判断.根据不等式在上恒成立”分和两种情况进行讨论可求出实数m的取值范围，再结合小范围可推出大范围，大范围推不出小范围，利用充分条件和必要条件的定义可判断出选项.
6．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为且，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故以的最小值为.
故答案为：A.
【分析】由得，得到，从而可得，再利用基本不等式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，
即，故函数在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】由题意，构造函数，根据函数的单调性，结合所给特殊值，解不等式即可.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数，则函数在上为增函数，
因为对均有成立，
则，即对恒成立，
令，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，，则可得出对恒成立，令，再由题意可得出，从而解不等式组得出实数的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：AB、因为，所以，，故A、B正确；
C、，
当时，，此时，故C错误；
D、因为，所以，又，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据不等式的性质即可判断ABD；利用作差法即可判断C.
10．【答案】B,C,D
【知识点】集合的含义；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据差集定义为且，
由，可得，所以A错误；
由差集定义可得为且，
由或，
可知或，所以B正确；
若，那么对于任意，都满足，
所以且，因此，所以C正确；
易知且在图中表示的区域可表示为，也即，
可得，所以D正确.
故答案为：BCD.
【分析】依题意结合的定义，可先求出集合，再求出其以为全集的补集，再结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出解答正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、作出函数部分图像，如图所示：
当时，由，可得或
由，可得或；由，可得
即当时，由可得3个不同的解，不是5个，故B错误；
C、当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
综上，在上单调递减，故C正确；
D、当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像，如图所示：
等价于
即，而恒成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，求的值即可判断A；当时验证结论是否正确即可判断B；由在上的解析式即可判断C；分析法证明不等式即可判断D.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为的定义域满足且，
解得且.
故答案为：.
【分析】根据根式函数定义域求解方法、分式函数定义域求解方法，从而由交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
13．【答案】-2
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数单调递减，则，解得.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义及性质列方程组求解即可得实数m的值.
14．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：因为对一切实数，均有
所以，即，解得，
则，满足
故.
故答案为：.
【分析】由题意，列方程组解得参数a、b，即可得函数解析式，再代值求的值即可.
15．【答案】解：（1）因为，
或，或，
所以或，或；
（2）当时，显然，此时，即；
当时，由题意有或，解得，
综上，.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合A、B，再根据集合的交并补运算求解即可；
（2）分和两种情况进行讨论，借助数轴求解即可.
16．【答案】（1）解：当时，，则，
因为为R上的奇函数，所以，
所以当时，的解析式；
（2）解：由（1）得函数的图象，如图所示：
由图象可得函数的单调递减区间为：；
（3）解：当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
当时，，所以当时，函数的值域为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性求解即可；
（2）根据奇函数图象关于原点对称即可作出图象，数形结合求单调区间即可；
（3）结合函数图象以及单调性求解即可.
（1）依题意，设，则，
于是，
因为为R上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：．
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为
17．【答案】（1）解：函数的定义域为定义，
因为为奇函数，，
所以，解得，
所以，定义域为
（2）解：因为，
当时，，且单调递增，单调递减，
若不等式成立，则，即，解得.
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义结合分式有意义求解即可；
（2）根据函数单调性列不等式求解即可.
（1）由分式的定义可知即，
又因为为奇函数，，
所以，解得，
所以，定义域为.
（2）因为，
当时，，且单调递增，所以单调递减，
若不等式成立，则，即，
解得.
18．【答案】（1）解：依题意，，即，故正数，所以，a的值为.
（2）解：当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；
当时，由，解得，即
所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．
（3）解：依题意，，
所以，当时，；
当时，，
由于，所以，当时，q取得最大值．
因为，
所以车辆密度q的最大值为．
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分段函数的解析式和代入法，进而得出实数a的值。
（2） 利用已知条件结合分段函数的解析式和分类讨论的方法，再结合函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合指数函数的单调性，进而结合并集的运算法则得出道路密度x的取值范围。
（3）利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法和指数函数的图象求最值的方法、二次函数的图象求最值的方法，再由比较法得出车辆密度q的最大值。
19．【答案】（1）证明：任取，不妨设，
则
，
由，则，，
故，即，
故函数在区间上单调递增；
（2）解：当时，与存在隔离直线函数；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
当时，，即有公共点，
设与存在隔离直线函数，
则点在隔离直线函数上，则，即，
则；
若当时有，即，
则在上恒成立，即，
由于，故此时只有时上式才成立，则，
下面证明，令，
即，故，当且仅当，即时等号成立，
所以，即为与的隔离直线函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）求出的图象的交点，设与是存在隔离直线函数，可得，利用可求出k的值，结合证明求解即可.
（1）任取，不妨设，
则
，
由，则，，
故，即，
故函数在区间上单调递增．
（2）当时，与存在隔离直线函数；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
当时，，即有公共点，
设与存在隔离直线函数，
则点在隔离直线函数上，则，即，
则；
若当时有，即，
则在上恒成立，即，
由于，故此时只有时上式才成立，则，
下面证明，令，
即，故，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即为与的隔离直线函数.
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