湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2024高一上·衡阳期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．
2．（2024高一上·衡阳期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·衡阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
4．（2024高一上·衡阳期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·衡阳期中）幂函数在上递增，则实数（ ）
A． B． C．2 D．2或
6．（2024高一上·衡阳期中）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·衡阳期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．（2024高一上·衡阳期中）已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·衡阳期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（2024高一上·衡阳期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
11．（2024高一上·衡阳期中）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得 B．由可得
C．由可得 D．由可得
12．（2024高一上·衡阳期中）已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有 个子集.
13．（2024高一上·衡阳期中）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 .
14．（2024高一上·衡阳期中）已知正实数 ， 满足 ，且 恒成立，则 的取值范围是 ．
15．（2024高一上·衡阳期中）已知集合，，
（1）当时，求；
（2）若是成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16．（2024高一上·衡阳期中）求下列函数的解析式
（1）若，求；
（2）已知是一次函数，且，求
17．（2024高一上·衡阳期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
18．（2024高一上·衡阳期中）已知函数
（1）求，，的值；
（2），求a的值；
（3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）.
19．（2024高一上·衡阳期中）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③
（1）求和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
（3）若对任意，恒成立，求的a的范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：可化为：，解得，
故原不等式的解集为。
故答案为：A。
【分析】解一元二次不等式即可。
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由解得。
所以定义域为：。
故答案为：C。
【分析】列出不等式求解即可。
3．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、因为，所以，所以，故B正确；
C、当，，，时，满足，，但是，故C错误；
D、时，，故D错误.
故答案为：B。
【分析】利用特殊值可判断ACD，由不等式的性质可判断B.
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：A、在上递减，故A错误；
B、图象的对称轴为，在上单调递减，故B错误；
C、在上单调递增，故C正确；
D、在上单调递减，故D错误.
故答案为：C。
【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可 .
5．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以或，
又因为幂函数在上单调递增，所以。所以.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的定义和性质即可得解.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：最后乌龟赢了，乌龟先到达终点，排除AC，一开始，兔子快，乌龟慢，选项B符合.
故答案为：B.
【分析】最终乌龟赢了，排除AC，一开始，兔子快，排除D.
7．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：当即时，不等式为，解集不是R，不符合题意；
当时，应有，解得.
故答案为：B.
【分析】分和两种情况讨论即可.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意，定义在 上的偶函数 ，可得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ，
又由函数当 时， 单调递减，
则不等式 可化为 ，
可得不等式组 ，解得 ，即不等式的解集为 ，
故答案为：D.
【分析】利用偶函数的定义求出a的值，进而求出函数的定义域，再利用当 时，函数 的单调性，再利用偶函数的性质和减函数的性质，从而解绝对值不等式，进而求出关于x的不等式 的解集 。
9．【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于A，，定义域均为，是同一函数；
对于B，与解析式不同，不是同一函数；
对于C，，定义城为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数；
对于D，，定义域均为R，是同一函数.
故答案为：AD．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可得答案.
10．【答案】A,B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、因为的解集为，
所以是的两个根，且，故A正确；
B、由韦达定理知，可得，所以，
所以不等式的解集是，故B正确；
C、因为，，所以，故C错误；
D、因为，由，解得，故D错误。
故答案为：AB。
【分析】根据一元二次不等式的解集以及韦达定理逐项判断即可。
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为图1和图2面积相等所以，所以，故A错误；
B、因为，所以，，，
因为，所以，整理得，故B错误；
C、因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，可得，故C正确；
D、因为，所以，得，故D错误。
故答案为：ABD.
【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A；把、用表示出来，判断B；把、用表示出来，判断C；把、用表示出来，判断D.
12．【答案】4
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：阴影部分所表示的集合，其子集有个。
故答案为：4。
【分析】求出中元素的个数，可得其子集的个数。
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由图象可知，时，，。
又因为是定义在区间上的一个偶函数，
所以当时，，且；
当时，，且。
综上，的解集为：.
故答案为：.
【分析】根据图象写出当时，不等式的解集，再根据奇偶性写出当时，不等式的解集，即可得解.
14．【答案】 [1，+∞)
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的综合
【解析】【解答】由 ，得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
因为 恒成立，
所以 ，解得 或 .
故答案为 [1，+∞)
【分析】由已知条件即可得出即，然后由基本不等式即可求出x+y的最小值，由此得到结合题意不等式恒成立，从而求解出t的取值范围。
15．【答案】（1）解：当时，，或，
解，得，，
所以.
（2）解：由是成立的一个充分不必要条件，得且，
则，解得，所以m得取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】（1）把代入求出，化简A，再利用补集、交集的定义求解即可；
（2）将充分性、必要性转化为集合间的包含关系，列出关于m的不等式即可得解.
（1）当时，，或，
解不等式，得，则，
所以.
（2）由是成立的一个充分不必要条件，得且，
则，解得，所以m得取值范围是.
16．【答案】（1）解：，
所以.
（2）解：因为是一次函数，所以设，，
则，，，
解得，或，，
所以或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）利用已知条件和配凑法，从而得出函数解析式.
（2）利用是一次函数，则由待定系数法，设，，再由代入法和函数的解析式以及已知条，从而对应相等得出a，b的值，进而得出函数的解析式.
（1），
所以.
（2）由是一次函数，设，，
则，
则，，解得，，或，，
所以或.
17．【答案】（1）解：由题意可知利润收入-总成本，
，
所以2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）解：时，，
故当时，；
时，，
当且仅当， 即时取得等号，
综上，当产量为100（百辆）时，利润最大，最大利润为2300万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求出的最大值，比较大小即可.
（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
，
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，，
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
18．【答案】（1）（1）函数，令x=3，x=4，x=1即可得
，，，
.
∴，，
（2）①当时，，（舍去）；
②当时，，解得，
又，；
③当时，，.
综上所述，的值为或4.
（3）（3）函数的图象，如图：
由图象可知，函数的值域为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意给的函数解析式直接赋值求解即可；
（2）分类讨论当、、时，根据求出对应的a值即可；
（3）由函数解析式知函数的单调性与单调区间，画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域.
（1）函数，
，，，
.
（2）①当时，，（舍去）；
②当时，，解得，
又，；
③当时，，.
综上所述，的值为或4.
（3）函数的图象，如图：
由图象可知，函数的值域为.
19．【答案】（1）解：令有，得.
令有，又，得.
又令，得.
（2）证明：任取且.
则
因且，则.得.
则.故函数在上是减函数.
（3）解：由（1）知，则由可得.
由定义域为.得，则.
由（2）知函数在上是减函数，则由可得.
因，，则.
要使任意，恒成立，
只需，其中.
令，任取且，
则
因且，则，，
则，故在上单调递增.则
得.
综上的范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1） 令，求得，再令求得，最后令，即可求解；
（2）利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）由（1）把不等式转化为 ，得到 ，再由（2）转化为任意，恒成立，只需，其中，结合函数的单调性求得其最小值，即可求解.
1 / 1湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2024高一上·衡阳期中）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：可化为：，解得，
故原不等式的解集为。
故答案为：A。
【分析】解一元二次不等式即可。
2．（2024高一上·衡阳期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由解得。
所以定义域为：。
故答案为：C。
【分析】列出不等式求解即可。
3．（2024高一上·衡阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、因为，所以，所以，故B正确；
C、当，，，时，满足，，但是，故C错误；
D、时，，故D错误.
故答案为：B。
【分析】利用特殊值可判断ACD，由不等式的性质可判断B.
4．（2024高一上·衡阳期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：A、在上递减，故A错误；
B、图象的对称轴为，在上单调递减，故B错误；
C、在上单调递增，故C正确；
D、在上单调递减，故D错误.
故答案为：C。
【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可 .
5．（2024高一上·衡阳期中）幂函数在上递增，则实数（ ）
A． B． C．2 D．2或
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以或，
又因为幂函数在上单调递增，所以。所以.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的定义和性质即可得解.
6．（2024高一上·衡阳期中）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：最后乌龟赢了，乌龟先到达终点，排除AC，一开始，兔子快，乌龟慢，选项B符合.
故答案为：B.
【分析】最终乌龟赢了，排除AC，一开始，兔子快，排除D.
7．（2024高一上·衡阳期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：当即时，不等式为，解集不是R，不符合题意；
当时，应有，解得.
故答案为：B.
【分析】分和两种情况讨论即可.
8．（2024高一上·衡阳期中）已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题意，定义在 上的偶函数 ，可得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ，
又由函数当 时， 单调递减，
则不等式 可化为 ，
可得不等式组 ，解得 ，即不等式的解集为 ，
故答案为：D.
【分析】利用偶函数的定义求出a的值，进而求出函数的定义域，再利用当 时，函数 的单调性，再利用偶函数的性质和减函数的性质，从而解绝对值不等式，进而求出关于x的不等式 的解集 。
9．（2024高一上·衡阳期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于A，，定义域均为，是同一函数；
对于B，与解析式不同，不是同一函数；
对于C，，定义城为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数；
对于D，，定义域均为R，是同一函数.
故答案为：AD．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可得答案.
10．（2024高一上·衡阳期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】A,B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、因为的解集为，
所以是的两个根，且，故A正确；
B、由韦达定理知，可得，所以，
所以不等式的解集是，故B正确；
C、因为，，所以，故C错误；
D、因为，由，解得，故D错误。
故答案为：AB。
【分析】根据一元二次不等式的解集以及韦达定理逐项判断即可。
11．（2024高一上·衡阳期中）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得 B．由可得
C．由可得 D．由可得
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为图1和图2面积相等所以，所以，故A错误；
B、因为，所以，，，
因为，所以，整理得，故B错误；
C、因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，可得，故C正确；
D、因为，所以，得，故D错误。
故答案为：ABD.
【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A；把、用表示出来，判断B；把、用表示出来，判断C；把、用表示出来，判断D.
12．（2024高一上·衡阳期中）已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有 个子集.
【答案】4
【知识点】子集与真子集；交集及其运算
【解析】【解答】解：阴影部分所表示的集合，其子集有个。
故答案为：4。
【分析】求出中元素的个数，可得其子集的个数。
13．（2024高一上·衡阳期中）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由图象可知，时，，。
又因为是定义在区间上的一个偶函数，
所以当时，，且；
当时，，且。
综上，的解集为：.
故答案为：.
【分析】根据图象写出当时，不等式的解集，再根据奇偶性写出当时，不等式的解集，即可得解.
14．（2024高一上·衡阳期中）已知正实数 ， 满足 ，且 恒成立，则 的取值范围是 ．
【答案】 [1，+∞)
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的综合
【解析】【解答】由 ，得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
因为 恒成立，
所以 ，解得 或 .
故答案为 [1，+∞)
【分析】由已知条件即可得出即，然后由基本不等式即可求出x+y的最小值，由此得到结合题意不等式恒成立，从而求解出t的取值范围。
15．（2024高一上·衡阳期中）已知集合，，
（1）当时，求；
（2）若是成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，或，
解，得，，
所以.
（2）解：由是成立的一个充分不必要条件，得且，
则，解得，所以m得取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】（1）把代入求出，化简A，再利用补集、交集的定义求解即可；
（2）将充分性、必要性转化为集合间的包含关系，列出关于m的不等式即可得解.
（1）当时，，或，
解不等式，得，则，
所以.
（2）由是成立的一个充分不必要条件，得且，
则，解得，所以m得取值范围是.
16．（2024高一上·衡阳期中）求下列函数的解析式
（1）若，求；
（2）已知是一次函数，且，求
【答案】（1）解：，
所以.
（2）解：因为是一次函数，所以设，，
则，，，
解得，或，，
所以或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）利用已知条件和配凑法，从而得出函数解析式.
（2）利用是一次函数，则由待定系数法，设，，再由代入法和函数的解析式以及已知条，从而对应相等得出a，b的值，进而得出函数的解析式.
（1），
所以.
（2）由是一次函数，设，，
则，
则，，解得，，或，，
所以或.
17．（2024高一上·衡阳期中）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：由题意可知利润收入-总成本，
，
所以2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）解：时，，
故当时，；
时，，
当且仅当， 即时取得等号，
综上，当产量为100（百辆）时，利润最大，最大利润为2300万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求出的最大值，比较大小即可.
（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
，
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，，
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
18．（2024高一上·衡阳期中）已知函数
（1）求，，的值；
（2），求a的值；
（3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）.
【答案】（1）（1）函数，令x=3，x=4，x=1即可得
，，，
.
∴，，
（2）①当时，，（舍去）；
②当时，，解得，
又，；
③当时，，.
综上所述，的值为或4.
（3）（3）函数的图象，如图：
由图象可知，函数的值域为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意给的函数解析式直接赋值求解即可；
（2）分类讨论当、、时，根据求出对应的a值即可；
（3）由函数解析式知函数的单调性与单调区间，画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域.
（1）函数，
，，，
.
（2）①当时，，（舍去）；
②当时，，解得，
又，；
③当时，，.
综上所述，的值为或4.
（3）函数的图象，如图：
由图象可知，函数的值域为.
19．（2024高一上·衡阳期中）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③
（1）求和的值；
（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
（3）若对任意，恒成立，求的a的范围．
【答案】（1）解：令有，得.
令有，又，得.
又令，得.
（2）证明：任取且.
则
因且，则.得.
则.故函数在上是减函数.
（3）解：由（1）知，则由可得.
由定义域为.得，则.
由（2）知函数在上是减函数，则由可得.
因，，则.
要使任意，恒成立，
只需，其中.
令，任取且，
则
因且，则，，
则，故在上单调递增.则
得.
综上的范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1） 令，求得，再令求得，最后令，即可求解；
（2）利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）由（1）把不等式转化为 ，得到 ，再由（2）转化为任意，恒成立，只需，其中，结合函数的单调性求得其最小值，即可求解.
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