湘教版（2024）初中数学七年级上册期末测试卷（困难难度）含详细答案解析

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湘教版（2024）初中数学七年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的最小值为( )
A. B. C. D.
2.现将，，，，，六个数字随机打乱后，分别记为，，，，，，再计算，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
3.若，，且，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第次输出的结果为，第次输出的结果为，，则第次输出的结果是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.将正方形，正方形，长方形，长方形按如图所示放入长方形中相邻的长方形，正方形之间既无重叠，又无空隙，且若已知长方形的周长，则不能确定周长的图形是( )
A. 正方形 B. 正方形 C. 长方形 D. 长方形
7.已知下列方程：；；；；；其中一元一次方程的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.有个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学探索同时满足以下个条件的数：，，是三个连续偶数；，是两个连续奇数；该小组成员分别得到一个结论：
甲：取，个正整数不满足上述个条件；
乙：取，个正整数满足上述个条件；
丙：当满足“是的倍数”时，个正整数满足上述个条件；
丁：个正整数，，，，满足上述个条件，则为正奇数；
戊：个正整数满足上述个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是为正整数．
以上结论正确的个数为 ( )
A. B. C. D.
9.已知数轴上的三点，，所对应的数分别为，，，为原点若，，，下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.用小立方块搭成的几何体，从前面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要小立方块的块数为( )
A. 最多需要块，最少需要块 B. 最多需要块，最少需要块
C. 最多需要块，最少需要块 D. 最多需要块，最少需要块
11.如图，在中，、的平分线相交于点，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图：，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确个数有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，为有理数，下列说法：若，且，互为相反数，则若，，则若，则是正数若，则若，且，则，其中正确的是 ．
14.如图是一个长方形，它可以分成大小不同的正方形和一个长方形若正方形、的边长分别为和，则正方形和长方形的周长和为 用含的代数式表示．
15.如果是方程的解，那么关于的方程的解是______．
16.已知点、、都在直线上，点是线段的三等分点，、分别为线段、中点，直线上所有线段的长度之和为，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，数轴上有、、、四点，它们在数轴上表示的数分别为、、、且，线段的长度为若线段以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．
填空： ， ， ；
当运动到线段时，求运动的时间是多少秒？
若是线段上一点，当点运动到线段上时，当线段、线段、线段满足时，求此时线段的长．
18.本小题分
如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足．
点表示的数为______；点表示的数为______；
若数轴上有两动点，，点以个单位秒从向右运动，同时点以个单位秒从点向左运动，问经过几秒，相遇？
在的条件下，动点、出发经过多少秒，能使？
19.本小题分
甲、乙两商场分别出售型、型两种电暖气，零售价及运费如下表所示：
商场 型电暖气 型电暖气 运费
电暖气 电暖气
甲 元台 元台 元台 元台
乙 元台 元台 免运费 元台
某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共台，其中型电暖气需要买台．
请分别求在两家商场购买电暖气所需要的总费用，结果用含的代数式表示总费用购买价运费；
若需购买型电暖气台，在哪个商场购买划算？请说明理由．
若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你为该公司设计一种方案．
20.本小题分
如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点运动时间为秒．
当时，________求线段的长度；
用含的代数式表示运动过程中的长；
在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．
21.本小题分
如图，在数轴上点表示的数是；点在点的右侧，且到点的距离是；点在点与点之间，且．
点表示的数是__，点表示的数是__；
若点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点相遇？
在的条件下，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的边宽相等，且为天头长与地头长的和的，设左、右边的边宽为．
用含的代数式分别表示天头长和地头长．
现要装裱一副五言联，该五言联的长为，宽为，如图所示，装裱五言联用的卷轴的长是宽的倍．求五言联装裱预留的天头长．
如图，徐老师裁出两张长方形纸张准备写一副七言联，每张正好划出个正方形方格，正方形方格的边长为若装裱用的卷轴长为，正方形方格的边长比装裱后的边宽大，且两者长度均为整数，求徐老师裁剪的长方形纸张的长．
23.本小题分
某体育用品商场销售、两款足球，售价和进价如表：
类型 进价元个 售价元个
款
款
若该商场购进个款足球和个款足球需元；若该商场购进个款足球和个款足球需元．
求和的值；
某校在该商场一次性购买款足球个和款足球个，共消费元，那么该商场可获利多少元？
为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买个款足球送根跳绳，买个款足球送根跳绳”，每根跳绳的成本为元，某日售卖两款足球总计盈利元，那么该日销售、两款足球各多少个？
24.本小题分
如图，过点在内部作射线，分别平分和，与互补，．
如图，若，则 ______， ______， ______；
如图，若平分试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25.本小题分
如图，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
将图中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分求的度数．
将图中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为___________直接写出结果．
将图中的三角板绕点顺时针旋转至图，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由绝对值表示的几何意义，即可得到答案．
【解答】解：，
表示在数轴上表示的点与表示和的点 之间的距离的和，
当时有最小值．
故选．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查绝对值的性质，有理数加减运算以及分类讨论思想；分析题意根据因为，，，，，，是包含三个奇数和三个偶数，则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：分析两种情况得出一定是奇数，再根据最大值为，最小值为，可推理出答案．
【解答】
根据题意可知，，，，，，指代自然数，，，，，，
所以，，，
所以，
因为，，，，，，是包含三个奇数和三个偶数，则两两组合相减，
总的奇偶性共两种情况：
第一种：奇数一奇数偶数，奇数一偶数奇数，偶数一偶数偶数，
则最终的答案为：偶数奇数偶数奇数
第二种：奇数一偶数奇数，奇数一偶数奇数，奇数偶数奇数，
则最终的答案为：奇数奇数奇数奇数
所以一定是奇数，
因为，
所以的最大值一定为，
又因为最小值为，且为奇数，
所以的值只可能是、、、，
所以化简之后不可能有种不同的结果，不可能出现结果是，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
当时，，；
当时，，；
或；
故选B．
根据条件先确定和的值，的值应该是四种情况，但时，有两种情况符合，分别计算即可．
本题考查了平方和绝对值的计算、有理数的加法运算，本题虽然难度不大，但容易出错，要认真计算，尤其是采用分类讨论计算时，要注意的条件．
4.【答案】
【解析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算．
【详解】解：由设计的程序可知输出的结果依次是：，，，，，，，，，，，
发现从第次开始循环，每四次一个循环，每个循环依次是：，，，，
则，，
故第次输出的结果是．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：、，去括号时变号出现错误，该选项不符合题意；
B、，去括号时漏乘括号外数字，该选项不符合题意；
C、，去括号时变号出现错误，该选项不符合题意；
D、，计算正确，该选项符合题意；
故选：．
根据整式运算中的去括号法则，逐项计算即可得到答案．
本题考查整式运算中的去括号法则，熟练掌握去括号法则是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】本题主要考查列代数式，理清题意是解题的关键．设长方形的周长为，，，根据长方形的周长列等式可得，进而可得，再利用正方形的周长公式计算，由于，，根据长方形的周长公式可得，即可求得答案．
【详解】解：设长方形的周长为，
由图可知：设，，
，，
；
长方形的周长为：，
解得：，
，
正方形的周长为：
，，
长方形的周长为：
则
正方形的周长为，无法计算出来；
，
长方形的周长为
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是只含有一个未知数，并且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是是常数且．
【解答】
解：是分式方程；
符合一元一次方程的定义；
经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，系数不为，则这个方程是一元一次方程；
未知数的最高项指数是，故不是一元一次方程；
符合一元一次方程的定义；
含有两个未知数，故不是一元一次方程；
因此是一元一次方程，所以一共有三个一元一次方程．
故选B．
8.【答案】
【解析】 提示：审题可发现，丁的结论更具一般性，所以考虑从丁的结论出发，再进行推理．设是正整数，由条件，得，，由条件，得，，是奇数，由条件，得，解得，当是奇数，也是奇数，所以丁结论正确．不妨设这个数依次为，，，，若，相当于丁的结论中的满足，解得，不是奇数，所以甲结论正确．若，同理，相当于丁的结论中的，为奇数，所以乙结论正确．若是的倍数，设是正整数，由条件，得，，由条件，得，由条件，得，解得，是奇数，符合题意，所以丙结论正确．易得，，的平均数为，，的平均数为，所以，，的平均数与，的平均数之和为因为是正奇数，所以是的倍数，所以戊结论正确．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了数轴，线段的和差以及有理数的乘法法则，解答本题的关键是根据已知条件确定，，的符号．
根据，得出、、中有一个负数或三个负数，根据，得出、、中只有一个负数，根据，得出，，画出图形，根据，得出，即可得出选项A、、中的结论错误，由图可知，，再根据，得出，即可得出选项D中的结论正确，即可求解．
【解答】
解：，
、、中有一个负数或三个负数，
，
、、中只有一个负数，
，
，，如图：
，
，
故选项A、、中的结论错误，
由图可知，，
又，
，故选项D中的结论正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了认识立体图形．
易得这个几何体共有层，由从上面看的图可得第一层正方体的个数为，由从前面看的图可得第二层最少为块，最多的正方体的个数为块，第三层只有一块，相加即可．
【解答】
解：由从前面看的图可得：这个几何体共有层，
由从上面看的图可得：第一层正方体的个数为，由从前面看的图可得第二层最少为块，最多的正方体的个数为块，
第三层只有一块，
最多为个小立方块，最少为个小立方块．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：方法一：如图，在上取，连接、，
平分，
，
在与中，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又、分别是、的平分线，
是的平分线，
，，
，
，
，
；
方法二：如图，延长到，使，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
、分别是、的平分线，
是的平分线，
，
又，
，
，
．
故选：．
方法一：在上取，连接、，然后利用边角边证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得，再根据求出，从而可得，然后根据等角对等边的性质以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据角平分线的定义即可求出，又，代入数据进行计算即可求解；
方法二：延长到，使，根据等边对等角可得，根据可得，然后利用边角边证明与全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据叫平分线的定义以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，又，代入数据进行计算即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“割补法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“”是解决本题的关键，也是难点．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义及角平分线的定义掌握平行线的性质定理及垂直的定义，角平分线的定义是解题的关键．
根据，可得，然后分别求出，，，，的度数，即可判断．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
，
平分，
，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
又，
，
平分，故正确；
，故错误．
故B．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．
除外，互为相反数的商为，可作判断；
由两数之和小于，两数之积大于，得到与都为负数，即小于，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；
由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断；
由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断；
先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断．
【解答】
解：若，且，互为相反数，则，故正确；
若，则与同号，由，则，，则，故正确；
若，
当，时，可得，即，，所以为正数；
当，时，，，所以为正数；
当，时，，，所以为正数；
当，时，，，所以为正数，故正确；
，即，
，即，故错误；
，
，
，
，，
当时，，
，不符合题意；
所以，，
，
则，
故正确；
则其中正确的有个．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】设正方形的边长为，的边长为，得到，表示出长方形的长和宽，得到正方形和长方形的周长和，化简计算即可．
【详解】解：设正方形的边长为，的边长为，
则，即，
都为正方形，正方形、的边长分别为和，
长方形的长为，宽为，
正方形和长方形的周长和为：
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，比较简单，根据方程的解的定义求出的值是解题的关键，注意移项要变号．
先把代入关于的方程求出的值，再把的值代入关于的方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可得解．
【解答】
解：是方程的解，
，
解得，
关于的方程为，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
故答案为：．
16.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了两点间的距离，线段中点定义，线段和差，解决本题的关键是分情况说明．
分和两种情况，画出相应图形，即可解答．
【解答】
解：如图，当时，
设，则，，
、分别为求、中点，
，
，
直线上所有线段的长度之和为，
，
；
如图，当时，
设，则，
，
、分别为求、中点，
，，
，，，
直线上所有线段的长度之和为
．
．
综上所述，或．
故答案为：或
17.【答案】【小题】
【小题】
，，
，
设运动时间为秒，
运动后点表示的数是，运动后点表示的数是
根据题意得，或，
解得：或，
答：运动时间为：或．
【小题】
设线段没有运动时，点表示的数是，运动秒后，
点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，
，，，，
，
，
，
即：，
当点在点的右侧时，
，
，
，
当点在点的左侧时，
，
，
，
存在关系式，此时线段的长为：或．

【解析】
本题考查数轴上点的距离，一元一次方程，利用了分类讨论的数学思想．
根据已知条件得出求出，，的值即可．
【详解】解：，
，，
数轴上有、、、四点，它们在数轴上表示的数分别为、、、，
线段的长度为，
，
故答案为：，，；

先求出的长度，设出运动时间，根据题意列出方程，解出方程的解即可．

首先设出点表示的数和运动时间，利用数轴表示出各相关线段的长度，在根据已知条件代入得到方程，解之即可．
18.【答案】
【解析】解：，
，，
解得，，
点表示的数为；点表示的数为，
故答案为：；；
点表示的数为；点表示的数为，
，
设经过秒、相遇，
，
解得，
故经过秒、相遇；
设动点、出发经过秒，能使，
由题意得：，，
解得或，
故动点、出发经过或秒，能使．
根据偶次方及绝对值的非负数可求解，的值，即可求得，表示的数；
由可求解、之间的距离，再设经过秒、相遇，列方程计算可求解；
设动点、出发经过秒，能使，根据列方程计算可求解．
本题主要考查一元一次方程的应用，偶次方及绝对值的非负性，理解题意是解题的关键．
19.【答案】解：若型电暖气需要买台，则型电暖气需买台．
则：甲商场购买电暖气所需要的总费用为：
；
乙商场购买电暖气所需要的总费用为：
；
当时，
甲商场购买电暖气所需要的总费用为：元，
乙商场购买电暖气所需要的总费用为：元，
，
所以在乙商场购买划算；
因为同时在两家商场自由选择，则选择价格便宜的更优惠，即在甲商场购买型电暖气，乙商场购买型电暖气，则同时在两家商场自由选择的较低费用为：
元，
因为，
所以更优惠的方案是：
在甲商场购买型电暖气台，乙商场购买型电暖气台．
【解析】若型风扇需要买台，则型风扇需买台，根据总费用购买费运费，分别列出在两家商场购买风扇所需要的总费用；
先计算出在两个商场购买风扇的总费用，然后比较即可得出在哪个商场购买划算；
选择价格便宜的更优惠，即在甲商场购买型风扇，乙商场购买型风扇，由此可以设计方案．
本题考查了列代数式及整式的加减．掌握总费用购买费用运费是解题的关键．
20.【答案】解：
当时，
点运动的路程，
所以；
，
是线段的中点，
；
当时，；
当时，；
当时，，则，
点、分别是线段、的中点，
，
；
当时，，则，
点、分别是线段、的中点
，
，
由上可知，在运动变化过程中，的长不会变化，．
【解析】本题考查的是线段的计算，两点间的距离，列代数式，整式的加减，解题的关键是理解题意．
当时，点运动的路程为，则，根据中点的定义即可解出；
分类讨论：当时，；当时，；
当时，，则，利用线段中点的定义得，的长，即可得出结论；
当时，，则，根据线段中点定义得，的长，即可得出结论，则可判断的长不会变化．
21.【答案】解：，；
根据题意知，表示的数是，表示的数，
，
解得，
答：为秒时，点与点相遇；
存在某一时刻使得，理由如下：
表示的数是，表示的数，
，，
，
解得或舍去，
，
表示的数是：．
【解析】【分析】
本题考查数轴及一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示点运动后表示的数．
由点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是，得点表示的数是，根据，得，即得点表示的数是；
表示的数是，表示的数，可得，可解得答案；
由已知得，，得，即可解得答案．
【解答】
解：点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是，
点表示的数是，
，
，
点表示的数是，
故答案为，；
见答案；
见答案．
22.【答案】【小题】
解：左、右边的边宽为，且为天头长与地头长的和的，
天头长与地头长的和为，
天头长与地头长的比是，
天头长为，地头长为；
【小题】
解：根据题意，装裱五言联用的卷轴的长为，宽为，
卷轴的长是宽的倍，
，解得，
，
五言联装裱预留的天头长；
【小题】
解：装裱用的卷轴长为，
，
，
，与都是正整数，
；
，
徐老师裁剪的长方形纸张的长为．

【解析】
本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、列出方程解决问题是解题的关键．
根据左、右边的边宽为，且为天头长与地头长的和的，知天头长与地头长的和为，而天头长与地头长的比是，然后按比例分配即可解答；

根据题意，装裱五言联用的卷轴的长为，宽为可得，解出即可解答；

由装裱用的卷轴长为，可得，又，与都是正整数，即知即可解答．
23.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为．
依题意得：，
，
．
答：该商场可获利元．
设该日销售款足球个，款足球个，
依题意得：，
，
又，均为正整数，
或．
答：该日销售款足球个，款足球个或款足球个，款足球个．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
根据“购进个款足球和个款足球需元；购进个款足球和个款足球需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论；
设该日销售款足球个，款足球个，利用总利润每个足球的销售利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论．
24.【答案】
【解析】解：和互补，
，
，
，分别平分和，
，，
，
，
故答案为：、、；
是定值，理由如下：
，
，
，
．
根据给出的关系，依次求出、、和等度数，进而求得结果；
根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果．
本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系．
25.【答案】解：平分，
，
又，
，
，
；
或；
．
理由：，，
，，
，
与的数量关系为：．
【解析】【分析】
本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含的式子表示出和是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．
根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得的度数；
分两种情况：的反向延长线平分或射线平分，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
根据，，分别求得，，再根据进行计算，即可得出与的数量关系．
【解答】
解：见答案；
分两种情况：
如图，
，
，
当直线恰好平分锐角时，，
，，
即逆时针旋转的角度为，
由题意得，，
解得；
如图，当平分时，，
，
即逆时针旋转的角度为：，
由题意得，，
解得，
综上所述，或时，直线恰好平分锐角；
故答案为：或；
见答案．
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