贵州省安顺市2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题
1．（2024高三上·安顺期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】先解对数不等式求得集合，再根据集合的交集计算即可.
2．（2024高三上·安顺期末）若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，再根据点的坐标确定所在的象限.
3．（2024高三上·安顺期末）已知平面向量，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据平面向量的夹角坐标公式计算即可.
4．（2024高三上·安顺期末）安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，可得4位学生中有两人看一个项目，则安排方案有种.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据排列、组合计算即可.
5．（2024高三上·安顺期末）西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，可得，，，
在中，，则，
在中，，则，
故.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据图中的几何关系分别求出，，且，从而求解即可.
6．（2024高三上·安顺期末）已知椭圆，，分别为该椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知，，
设，且， 以为直径的圆为，
联立，解得，故.
故答案为：B.
【分析】设点的坐标，由题意可得以为直径的圆方程为，联立圆和椭圆方程即可得点坐标.
7．（2024高三上·安顺期末）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】
与
都是奇函数，
，
，
函数
关于点
及点
对称，
，
，
故有
，函数
是周期
的周期函数，
，
，即
，
是奇函数，
故答案为：D．
【分析】根据奇函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
8．（2024高三上·安顺期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：圆锥的底面半径为，母线长为2，
由边长为的正三角形的内切圆半径为，
即球为圆锥的内切球， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，
即球的半径最大，可知球与球、圆锥都相切，其轴截面如图所示，
则，
可得球的表面积为，圆锥表面积为，
所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：球为圆锥的内切球， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，可知球与球、圆锥都相切，结合轴截面运算求解即可.
9．（2024高三上·安顺期末）某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（ ）
A．5次月考成绩的极差为15 B．5次月考成绩的平均数为100
C．5次月考成绩的方差为50 D．5次月考成绩的40%分位数为95
【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 5次月考数学成绩从小到大排列为90，95，100，105，110，
A、易知5次月考成绩的极差为，故A错误；
B、5次月考成绩的平均数为，故B正确；
C、5次月考成绩的方差为，
故C正确；
D、由于，则5次月考成绩的40%分位数为，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】先将5次月考数学成绩从小到大排列，再根据极差，平均数，方差以及百分位数的定义逐项计算判断即可.
10．（2024高三上·安顺期末）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递减
D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
【答案】A,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A、易知函数的半个最小正周期为，
则的最小正周期为，故A正确；
BC、，由在处取最大值，则，.则，取，则.即，
将代入，得，则不是对称中心；
，，因在上单调递减，在上单调递增，则不是的单调递减区间，故B、C错误；
D、由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由图象可得函数周期，可得，由在处取最大值，可确定，由图象可得函数周期即可判断A；由A分析，可得.由在处取最大值，可确定，后由正弦函数对称性，单调性即可判断BC；根据三角函数图象的平移变化，结合函数的奇偶性即可判断D.
11．（2024高三上·安顺期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）
A．点E、F、G、H共面 B．的最小值为
C．点B到平面的距离为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；用空间向量研究直线与直线的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
A、，，，
设，即，解得，，
所以共面，故A正确；
B、将正方体沿剪开展开，如图所示：
连接交于一点，此点为点，此时为最小值，故B错误；
C、由等体积法可知，即，
由，，求解得，故C正确；
D、，，，
，则，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用平面向量基本定理即可判断A；利用正方体面展开图即可判断B；利用等体积法即可判断C；利用向量的垂直表示即可判断D.
12．（2024高三上·安顺期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（ ）
A．
B．数列为等比数列
C．
D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，
故，，即，
因为，则，，所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
则，即，故C错误；
且，故A正确；
若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，
设甲，乙，丙对应，
则，
，
，
，
，
，
所以一共有六种情况，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，可得数列是以为首项，为公比的等比数列即可判断ABC；再逐一列举即可判断D.
13．（2024高三上·安顺期末）已知数列为等比数列，，，则 .
【答案】9
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等比数，，，所以，
又因为同号，所以.
故答案为：9.
【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，再根据同号求解即可.
14．（2024高三上·安顺期末）若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是 .
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，当时，，当时，，
又因为，所以，故．
故答案为：．
【分析】由题意，用表示，再作差比较大小即可．
15．（2024高三上·安顺期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 .
【答案】（答案不唯一，另一条为）
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知点关于直线的对称点，
由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切，
相当于从点发出的光线与圆相切，
显然该切线斜率存在，设切线的方程为，
由圆心到直线的距离，解得，
则所求直线方程为或.
故答案为：.
【分析】先对称性求出点关于直线的对称点，再求出过点的圆的切线即可.
16．（2024高三上·安顺期末）已知函数有正零点，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
函数等价于，
令，则在R上恒成立，故函数在R上单调递增，
由可知，，
根据的单调性可知，，所以有，
因为，所以，
令，，则，
由，解得，
由，解得，则在上单调递增；
由，解得，则在上单调递减，
故在处取得唯一极小值，也是最小值，，.
故答案为：.
【分析】由推得，形式相同，可构造，求导，利用导数判断函数的单调性，得出单调递增，进而得出，即可得出，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值即可得正实数的取值范围.
17．（2024高三上·安顺期末）已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围.
【答案】（1）解：的定义域为R，
求导可得，
当时，；时，；
故函数单调增区间为，；
（2）解：由（1）知，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
因为，，，，所以，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，则，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求单调递增区间即可；
（2）由（1）知，函数的单调性，求最值，结合区间端点处的函数值，即可得实数m的范围.
18．（2024高三上·安顺期末）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A的大小：
（2）设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
【答案】（1）解：因为，所以，
由正弦定理可得，整理得，
则，又因为，所以；
（2）解：因为，解得，
又因为，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故的最小值为.
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理化角为边求解即可；
（2）利用面积公式可得，由向量可得，结合数量积和基本不等式求解即可.
（1）因为，即，
由正弦定理可得，整理得，
则，且，所以.
（2）因为，解得，
又因为，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
19．（2024高三上·安顺期末）如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：.
（2）若，，点E是线段上一动点，当直线与平面所成角正弦值为时，求点E的位置.
【答案】（1）证明：连接，因为直三棱柱中，，
所以四边形为正方形，∴；
又因为，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，且平面，所以平面，
且平面，所以；
（2）解：由题意知、、两两互相垂直，
以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设，，，，
设平面法向量为，
则，取，
则，解得或（舍去），则E为中点.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理以及性质定理可证平面，证明即可；
（2）以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解即可.
（1）如图连接，
∵直三棱柱中，，
∴四边形为正方形，∴；
又，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，且平面，所以平面，
且平面，所以.
（2）由题意知、、两两互相垂直，
如图所示以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系；
则，，，，，
设，，，，
设平面法向量为，
则，取，
则，
∴或（舍去），∴E为中点.
20．（2024高三上·安顺期末）记为数列的前n项和，已知，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和为，求的最小值.
【答案】（1）解：，，则，
因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，
即，，
两式作差得，
即，则，
即，，
因为符合上式，所以；
（2）解：，.
因为，
所以数列为递增数列，则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）构造数列，由题意推得数列是首项为1，公差为的等差数列，结合与的关系，利用累乘法计算即可；
（2）利用裂项相消法计算，结合数列的单调性求最值即可.
（1）∵，，∴，
∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，
即，，
两式作差得，
即，∴，
即，，
∵符合上式，∴.
（2），
所以，.
∵，
∴数列为递增数列，∴.
21．（2024高三上·安顺期末）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
（1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
（2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
【答案】（1）解：由题知：可取0，1，2，3，则：
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
则的期望为：；
（2）解：参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为，
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则，
故
假设当时，对应概率取值最大，则，
解得，而，
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）由题知：可取0，1，2，3，根据超几何分布的知识求分布列并求数学期望即可；
（2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求解即可.
（1）由题知：可取0，1，2，3，则：
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
则的期望为：.
（2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则.
故
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则
故
∴假设当时，对应概率取值最大，则
解得，而
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
22．（2024高三上·安顺期末）已知双曲线，A，B为左右顶点，双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线l与相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证：的面积为定值.
【答案】（1）解：因为双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，所以，
设点，，，
则，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）解：当直线l斜率存在时，设直线l与相切的切点坐标为，斜率为k，则，
则直线l的方程为：，联立，
消元整理得：，
双曲线渐近线为，故，
则，
化简得，
又因为，所以，所以，所以；
故直线的方程为：，所以l与x轴交于点，
不妨设M为l与的交点，则，
为l与的交点，则，
则；
当直线l斜率不存在时，，，∴；
综上可得的面积为定值2.
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用点到直线距离公式求得，再结合求出，即可得双曲线的标准方程；
（2）分情况讨论直线斜率存在与不存在的情况，联立直线与双曲线方程，消元整理，再结合韦达定理求出相应关系式求解即可.
（1）由题意知，∵双曲线渐近线方程为，
∴F到渐近线距离，
设点，，，
∴，∴，
所以双曲线的标准方程为.
（2）当直线l斜率存在时，设直线l与相切的切点坐标为，斜率为k，
则，
则直线l的方程为：，与联立整理得：
，
双曲线渐近线为，故，
∴，
化简得，
又，∴，∴，∴；
故直线的方程为：，∴l与x轴交于点，
不妨设M为l与的交点，则，
为l与的交点，则，
∴；
当直线l斜率不存在时，，，∴；
综上可得的面积为定值2.
1 / 1贵州省安顺市2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试题
1．（2024高三上·安顺期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·安顺期末）若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高三上·安顺期末）已知平面向量，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·安顺期末）安顺市第三届运动会于2023年11月8日至11月10日在安顺奥体中心举行.某中学安排4位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
5．（2024高三上·安顺期末）西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为，塔底C点的仰角为.已知山岭高CD为h，则塔高BC为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三上·安顺期末）已知椭圆，，分别为该椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024高三上·安顺期末）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
8．（2024高三上·安顺期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·安顺期末）某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（ ）
A．5次月考成绩的极差为15 B．5次月考成绩的平均数为100
C．5次月考成绩的方差为50 D．5次月考成绩的40%分位数为95
10．（2024高三上·安顺期末）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递减
D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
11．（2024高三上·安顺期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）
A．点E、F、G、H共面 B．的最小值为
C．点B到平面的距离为 D．
12．（2024高三上·安顺期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（ ）
A．
B．数列为等比数列
C．
D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
13．（2024高三上·安顺期末）已知数列为等比数列，，，则 .
14．（2024高三上·安顺期末）若实数，，满足，，试确定，，的大小关系是 .
15．（2024高三上·安顺期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 .
16．（2024高三上·安顺期末）已知函数有正零点，则正实数的取值范围为 ．
17．（2024高三上·安顺期末）已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）方程在有解，求实数m的范围.
18．（2024高三上·安顺期末）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求A的大小：
（2）设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
19．（2024高三上·安顺期末）如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：.
（2）若，，点E是线段上一动点，当直线与平面所成角正弦值为时，求点E的位置.
20．（2024高三上·安顺期末）记为数列的前n项和，已知，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和为，求的最小值.
21．（2024高三上·安顺期末）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
（1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
（2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
22．（2024高三上·安顺期末）已知双曲线，A，B为左右顶点，双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线l与相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证：的面积为定值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】先解对数不等式求得集合，再根据集合的交集计算即可.
2．【答案】D
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，再根据点的坐标确定所在的象限.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为向量，，
所以，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据平面向量的夹角坐标公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，可得4位学生中有两人看一个项目，则安排方案有种.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据排列、组合计算即可.
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，可得，，，
在中，，则，
在中，，则，
故.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据图中的几何关系分别求出，，且，从而求解即可.
6．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知，，
设，且， 以为直径的圆为，
联立，解得，故.
故答案为：B.
【分析】设点的坐标，由题意可得以为直径的圆方程为，联立圆和椭圆方程即可得点坐标.
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性
【解析】【解答】
与
都是奇函数，
，
，
函数
关于点
及点
对称，
，
，
故有
，函数
是周期
的周期函数，
，
，即
，
是奇函数，
故答案为：D．
【分析】根据奇函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：圆锥的底面半径为，母线长为2，
由边长为的正三角形的内切圆半径为，
即球为圆锥的内切球， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，
即球的半径最大，可知球与球、圆锥都相切，其轴截面如图所示，
则，
可得球的表面积为，圆锥表面积为，
所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：球为圆锥的内切球， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，可知球与球、圆锥都相切，结合轴截面运算求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 5次月考数学成绩从小到大排列为90，95，100，105，110，
A、易知5次月考成绩的极差为，故A错误；
B、5次月考成绩的平均数为，故B正确；
C、5次月考成绩的方差为，
故C正确；
D、由于，则5次月考成绩的40%分位数为，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】先将5次月考数学成绩从小到大排列，再根据极差，平均数，方差以及百分位数的定义逐项计算判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A、易知函数的半个最小正周期为，
则的最小正周期为，故A正确；
BC、，由在处取最大值，则，.则，取，则.即，
将代入，得，则不是对称中心；
，，因在上单调递减，在上单调递增，则不是的单调递减区间，故B、C错误；
D、由BC选项分析可知，，向右平移个单位长度后，得，为奇函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由图象可得函数周期，可得，由在处取最大值，可确定，由图象可得函数周期即可判断A；由A分析，可得.由在处取最大值，可确定，后由正弦函数对称性，单调性即可判断BC；根据三角函数图象的平移变化，结合函数的奇偶性即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的基本定理；用空间向量研究直线与直线的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
A、，，，
设，即，解得，，
所以共面，故A正确；
B、将正方体沿剪开展开，如图所示：
连接交于一点，此点为点，此时为最小值，故B错误；
C、由等体积法可知，即，
由，，求解得，故C正确；
D、，，，
，则，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用平面向量基本定理即可判断A；利用正方体面展开图即可判断B；利用等体积法即可判断C；利用向量的垂直表示即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，
故，，即，
因为，则，，所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
则，即，故C错误；
且，故A正确；
若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，
设甲，乙，丙对应，
则，
，
，
，
，
，
所以一共有六种情况，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，可得数列是以为首项，为公比的等比数列即可判断ABC；再逐一列举即可判断D.
13．【答案】9
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等比数，，，所以，
又因为同号，所以.
故答案为：9.
【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，再根据同号求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，当时，，当时，，
又因为，所以，故．
故答案为：．
【分析】由题意，用表示，再作差比较大小即可．
15．【答案】（答案不唯一，另一条为）
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知点关于直线的对称点，
由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切，
相当于从点发出的光线与圆相切，
显然该切线斜率存在，设切线的方程为，
由圆心到直线的距离，解得，
则所求直线方程为或.
故答案为：.
【分析】先对称性求出点关于直线的对称点，再求出过点的圆的切线即可.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
函数等价于，
令，则在R上恒成立，故函数在R上单调递增，
由可知，，
根据的单调性可知，，所以有，
因为，所以，
令，，则，
由，解得，
由，解得，则在上单调递增；
由，解得，则在上单调递减，
故在处取得唯一极小值，也是最小值，，.
故答案为：.
【分析】由推得，形式相同，可构造，求导，利用导数判断函数的单调性，得出单调递增，进而得出，即可得出，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值即可得正实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：的定义域为R，
求导可得，
当时，；时，；
故函数单调增区间为，；
（2）解：由（1）知，函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
因为，，，，所以，，
故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，则，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求单调递增区间即可；
（2）由（1）知，函数的单调性，求最值，结合区间端点处的函数值，即可得实数m的范围.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
由正弦定理可得，整理得，
则，又因为，所以；
（2）解：因为，解得，
又因为，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故的最小值为.
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正、余弦定理化角为边求解即可；
（2）利用面积公式可得，由向量可得，结合数量积和基本不等式求解即可.
（1）因为，即，
由正弦定理可得，整理得，
则，且，所以.
（2）因为，解得，
又因为，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
19．【答案】（1）证明：连接，因为直三棱柱中，，
所以四边形为正方形，∴；
又因为，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，且平面，所以平面，
且平面，所以；
（2）解：由题意知、、两两互相垂直，
以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设，，，，
设平面法向量为，
则，取，
则，解得或（舍去），则E为中点.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理以及性质定理可证平面，证明即可；
（2）以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解即可.
（1）如图连接，
∵直三棱柱中，，
∴四边形为正方形，∴；
又，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，且平面，所以平面，
且平面，所以.
（2）由题意知、、两两互相垂直，
如图所示以B为原点，、、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系；
则，，，，，
设，，，，
设平面法向量为，
则，取，
则，
∴或（舍去），∴E为中点.
20．【答案】（1）解：，，则，
因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，
即，，
两式作差得，
即，则，
即，，
因为符合上式，所以；
（2）解：，.
因为，
所以数列为递增数列，则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）构造数列，由题意推得数列是首项为1，公差为的等差数列，结合与的关系，利用累乘法计算即可；
（2）利用裂项相消法计算，结合数列的单调性求最值即可.
（1）∵，，∴，
∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，
则，
即，，
两式作差得，
即，∴，
即，，
∵符合上式，∴.
（2），
所以，.
∵，
∴数列为递增数列，∴.
21．【答案】（1）解：由题知：可取0，1，2，3，则：
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
则的期望为：；
（2）解：参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为，
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则，
故
假设当时，对应概率取值最大，则，
解得，而，
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）由题知：可取0，1，2，3，根据超几何分布的知识求分布列并求数学期望即可；
（2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求解即可.
（1）由题知：可取0，1，2，3，则：
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
则的期望为：.
（2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则.
故
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则
故
∴假设当时，对应概率取值最大，则
解得，而
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
22．【答案】（1）解：因为双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为1，所以，
设点，，，
则，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）解：当直线l斜率存在时，设直线l与相切的切点坐标为，斜率为k，则，
则直线l的方程为：，联立，
消元整理得：，
双曲线渐近线为，故，
则，
化简得，
又因为，所以，所以，所以；
故直线的方程为：，所以l与x轴交于点，
不妨设M为l与的交点，则，
为l与的交点，则，
则；
当直线l斜率不存在时，，，∴；
综上可得的面积为定值2.
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用点到直线距离公式求得，再结合求出，即可得双曲线的标准方程；
（2）分情况讨论直线斜率存在与不存在的情况，联立直线与双曲线方程，消元整理，再结合韦达定理求出相应关系式求解即可.
（1）由题意知，∵双曲线渐近线方程为，
∴F到渐近线距离，
设点，，，
∴，∴，
所以双曲线的标准方程为.
（2）当直线l斜率存在时，设直线l与相切的切点坐标为，斜率为k，
则，
则直线l的方程为：，与联立整理得：
，
双曲线渐近线为，故，
∴，
化简得，
又，∴，∴，∴；
故直线的方程为：，∴l与x轴交于点，
不妨设M为l与的交点，则，
为l与的交点，则，
∴；
当直线l斜率不存在时，，，∴；
综上可得的面积为定值2.
1 / 1
