黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题
1．（2024高一上·哈尔滨期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据集合交集运算求解即可.
2．（2024高一上·哈尔滨期中）设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，则 为．
故答案为：C．
【分析】根据命题否定的定义判断即可.
3．（2024高一上·哈尔滨期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A中， 时， ；
B中， ，由性质7可得 ；
C中，令 ，则 ，显然 ；
D中，令 ，则 ，显然 .
故答案为：B
【分析】取特殊值判断 选项，根据不等式的性质判断B选项.
4．（2024高一上·哈尔滨期中）下列函数中为偶函数的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
则是非奇非偶函数，故A不符合；
B、函数的定义域为，是奇函数，故B不符合；
C、函数的定义域为，且，则是偶函数，故C符合；
D、函数的定义域为，是奇函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用偶函数的定义逐项判断即可.
5．（2024高一上·哈尔滨期中）若函数，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数直接代入计算即可.
6．（2024高一上·哈尔滨期中）下列命题中正确的是（ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过和点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，函数的图像是一条直线但去掉点，故A错误；
B、当指数时，都经过点，幂函数的图象都经过点，故B错误；
C、若幂函数是奇函数，则幂图像关于原点对称，且当时，函数是定义域上的增函数；当时，函数在和上都为减函数，故C错误；
D、函数，只要，必有，则幂函数的图象不可能出现在第四象限，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据幂函数的图象与性质，以及定义域，特殊点，单调性及图象经过的象限逐项判断即可.
7．（2024高一上·哈尔滨期中）如果，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
当且仅当，即时取等号成立，则的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】直接利用基本不等式求最小值即可.
8．（2024高一上·哈尔滨期中）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，集合，满足，故充分性满足；
当，或，故必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据题意，分别验证充分性、必要性即可判断.
9．（2024高一上·哈尔滨期中）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，故B、C错误，D正确；
，故A正确.
故答案为：AD.
【分析】先利用配凑法求出函数解析式再判断即可.
10．（2024高一上·哈尔滨期中）在下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：A、易知函数是上的增函数，因为，所以，即函数的值域为，故A正确；
B、易知函数，即函数的值域为，故B错误；
C、函数的定义域为，因为，所以，则函数的值域为，故C正确；
D、易知函数的值域为，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】由题意，根据一次函数，二次函数，复合函数，反比例函数的性质逐项求函数的值域判断即可．
11．（2024高一上·哈尔滨期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为的定义域满足且，
解得且.
故答案为：.
【分析】根据根式函数定义域求解方法、分式函数定义域求解方法，从而由交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
12．（2024高一上·哈尔滨期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设一次函数 ，
因为，，所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，设一次函数 ，利用待定系数法求解即可.
13．（2024高一上·哈尔滨期中）已知函数.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为函数，所以，
又因为函数，所以；
（2）解：由（1）可得：.
【知识点】函数的值
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，直接代入求值即可；
（2）由，，代入求值即可.
（1）因为，所以.
因为，所以.
（2）依题意，知.
14．（2024高一上·哈尔滨期中）已知集合，.
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，或，
；
（2）解：若，当时，，解得；
当时，，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，再根据补集和并集概念求解即可；
（2）分与两种情况，列不等式，求实数的取值范围即可.
（1）时，，或，
；
（2），当时，，解得，
当时，，解得，
故实数的取值范围是.
15．（2024高一上·哈尔滨期中）已知函数，
（1）证明在上是增函数；
（2）求在上的最大值及最小值.
【答案】（1）证明：任取，，且，
则，
因为，所以，
又因为，，所以，
所以，即，
则函数在上是增函数；
（2）解：由（1）知：函数在上是增函数，
则当时，函数取最小值，最小值2；当时，函数取最大值，最大值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）的结论，利用函数的单调性求最值即可.
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1．（2024高一上·哈尔滨期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·哈尔滨期中）设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·哈尔滨期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
4．（2024高一上·哈尔滨期中）下列函数中为偶函数的是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·哈尔滨期中）若函数，则（ ）
A． B．2 C． D．4
6．（2024高一上·哈尔滨期中）下列命题中正确的是（ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过和点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
7．（2024高一上·哈尔滨期中）如果，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·哈尔滨期中）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024高一上·哈尔滨期中）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·哈尔滨期中）在下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·哈尔滨期中）函数的定义域为 ．
12．（2024高一上·哈尔滨期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 .
13．（2024高一上·哈尔滨期中）已知函数.
（1）求的值；
（2）求的值.
14．（2024高一上·哈尔滨期中）已知集合，.
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
15．（2024高一上·哈尔滨期中）已知函数，
（1）证明在上是增函数；
（2）求在上的最大值及最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据集合交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解： 命题，则 为．
故答案为：C．
【分析】根据命题否定的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A中， 时， ；
B中， ，由性质7可得 ；
C中，令 ，则 ，显然 ；
D中，令 ，则 ，显然 .
故答案为：B
【分析】取特殊值判断 选项，根据不等式的性质判断B选项.
4．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
则是非奇非偶函数，故A不符合；
B、函数的定义域为，是奇函数，故B不符合；
C、函数的定义域为，且，则是偶函数，故C符合；
D、函数的定义域为，是奇函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用偶函数的定义逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数直接代入计算即可.
6．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，函数的图像是一条直线但去掉点，故A错误；
B、当指数时，都经过点，幂函数的图象都经过点，故B错误；
C、若幂函数是奇函数，则幂图像关于原点对称，且当时，函数是定义域上的增函数；当时，函数在和上都为减函数，故C错误；
D、函数，只要，必有，则幂函数的图象不可能出现在第四象限，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据幂函数的图象与性质，以及定义域，特殊点，单调性及图象经过的象限逐项判断即可.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，
当且仅当，即时取等号成立，则的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】直接利用基本不等式求最小值即可.
8．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，集合，满足，故充分性满足；
当，或，故必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据题意，分别验证充分性、必要性即可判断.
9．【答案】A,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，故B、C错误，D正确；
，故A正确.
故答案为：AD.
【分析】先利用配凑法求出函数解析式再判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：A、易知函数是上的增函数，因为，所以，即函数的值域为，故A正确；
B、易知函数，即函数的值域为，故B错误；
C、函数的定义域为，因为，所以，则函数的值域为，故C正确；
D、易知函数的值域为，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】由题意，根据一次函数，二次函数，复合函数，反比例函数的性质逐项求函数的值域判断即可．
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为的定义域满足且，
解得且.
故答案为：.
【分析】根据根式函数定义域求解方法、分式函数定义域求解方法，从而由交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
12．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设一次函数 ，
因为，，所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，设一次函数 ，利用待定系数法求解即可.
13．【答案】（1）解：因为函数，所以，
又因为函数，所以；
（2）解：由（1）可得：.
【知识点】函数的值
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，直接代入求值即可；
（2）由，，代入求值即可.
（1）因为，所以.
因为，所以.
（2）依题意，知.
14．【答案】（1）解：当时，集合，或，
；
（2）解：若，当时，，解得；
当时，，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，再根据补集和并集概念求解即可；
（2）分与两种情况，列不等式，求实数的取值范围即可.
（1）时，，或，
；
（2），当时，，解得，
当时，，解得，
故实数的取值范围是.
15．【答案】（1）证明：任取，，且，
则，
因为，所以，
又因为，，所以，
所以，即，
则函数在上是增函数；
（2）解：由（1）知：函数在上是增函数，
则当时，函数取最小值，最小值2；当时，函数取最大值，最大值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）的结论，利用函数的单调性求最值即可.
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