重庆市渝西中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

重庆市渝西中学校高2027届高一上12月考试
数学学科试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，，则它们的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
8．若函数在定义域上的值域为，则称为“Ω函数”．已知函数是“Ω函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
10．奇函数与偶函数的定义域均为R，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．在R上单调递增 D．的值域为
11．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知幂函数的图象经过，则________．
13．一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角（正角）的弧度数为________．
14．已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数a的取值范围．
16．（15分）（1）求值；
（2）设，求的值．
17．（15分）城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．Q市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午12点的城市活力度为20，是工作日内活力度的最高值；24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．
（1）分别求m、n的值；
（2）求该工作日内，Q市活力度不大于10的总时长．
18．（17分）已知．
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对恒成立，求k的取值范围．
19．（17分）已知函数对任意，恒有，且当时，，．
（1）证明：函数为奇函数；
（2）求的值；
（3），时，成立，求实数a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A B C C A C
题号 9 10 11 12 13 14
答案 AD BCD CD 2 1
【详解】
10．BCD
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，，因为①，
所以，即②，
所以由①②解得，，故B正确；
，故A错误；
在R上单调递增，在R上单调递减，则在R上单调递增，故C正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的值域为，所以D正确．故选：BCD．
11．CD
【详解】作出函数的图象，如图所示：
对于A，由图象可得的单调递增区间为，，故A不正确；
对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确；
对于C，则题意可知：，，所以，所以，故C正确；
对于D，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．故选：CD．
14．
【详解】因为，
若，由于单调递减，则在上单调递增；
若，由于单调递增，则在上单调递减，
又，故，
因为，是假命题，
故，恒成立为真命题，
即不等式对恒成立，
当时，，即在恒成立，
设，即在恒成立．由于对勾函数在单调递减，在单调递增，因为，因此；
当时，，即在恒成立，
当时，函数有最小值，即，又因为，故．综上可知：．故答案为：
15．（1）∵，，∴．
（2），
①当即时，；
②当即时，要使，有，
∴，又，∴，
∴a的取值范围是．
16．（1）
（2）依题意有，，，，
所以
17．（1）由正午12点的城市活力度为20，知，代入数据得，解得，24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值，故，代入数据得，解得．
（2）由（1）知，当时，令，解得；当时，令，则，，，可得，解得，故一日内只有当时，活力度大于10，即该工作日内有14个小时活力度不大于10．
18．（1）令，则，故，所以；
（2）单调递增，理由如下：任取且，
故，
因为，在R上单调递增，所以，
又，故，，单调递增；
（3）变形为
，
即，，
令，显然在上单调递增，故，
原不等式为，，故在上恒成立，
其中，当时等号成立，故，解得，
所以k的取值范围为．
19．（1）因为，都有，所以令，有，解得；令，有，所以，所以为奇函数．
（2）令时，有，所以，
．
（3）不妨设，因为时，，所以，
所以，所以在R上单调递减．
因为在R上单调递减，所以时，，
，时，，即时，恒成立，即在上恒成立，又对称轴为，
①当，即时，在上单调递增，
则，解得，此时无解；
②当，即时，，
解得，此时；
③当，即时，在上单调递减，
则，解得，此时无解；
综上实数a的取值范围为