期末热点复习 乘法公式与几何图形（含详解）2024-2025学年人教版数学八年级上册

期末热点复习 乘法公式与几何图形
【基础篇】
1．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．学校要举行80周年校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．某学生提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建舞台（阴影部分），花坛和舞台构成长方形，舞台的面积记为．具体数据如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，把图①中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置，构成图②中的图形，形成一个从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为 ．
7．正方形和正方形如图摆放（点E，G分别在线段
上），已知，．若，，则该图中两个阴影三角形的面积和为 ．
8．如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为．
（1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）．
（2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米．
9．如图所示，将“L”形折尺的下半部分（阴影部分）拼接到图形的左侧，使之变为一直尺的形状，则依据图形中的数据和图形面积的两种表示方法可得出一个乘法公式，此公式为 ．
10．珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形．
(1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；
(2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积．
11．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形：
(1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ；
(2)【应用】利用（1）中的结论计算：；
(3)【拓展】利用（1）中的结论计算：．
12．如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．
(1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）；
A、 B、
C、 D、
(2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题：
①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积；
②计算：
13．初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．

(1)利用这个图形可以证明的数学公式是 ；
(2)在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？
请你写出完整的证明过程．
【拓展篇】
14．操作与探究
（1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）．
① ②
③ ④
思考与创新
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知，，求的值；
②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b）
15．活动：如图1，在边长为α的正方形纸片上剪去一个边长为b的的小正方形，计算剩余部分的面积．
思路1：直接用大正方形面积减去小正方形面积，那么它的面积为 ．
思路2：将剩余部分剪开拼成图2所示的长方形，那么它的面积为 ；由此得到等式 ．
【知识应用】如图3，一“L”形纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则______ ， ____．
【知识迁移】上面是通过不同的方法表示同一图形的面积，从而得出相应的等式．其实，通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图4是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（1）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为
（2）已知，利用上面的知识求的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题．
【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为，
乙图形阴影部分的长为，宽为，则其面积为，
即，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．由图1可知剩余部分的面积，由图2可求长方形的面积，两部分面积相等即可求解．利用面积的关系验证平方差公式是解题的关键．
【详解】解：由图1可知剩余部分的面积为：，
由图2可求长方形的面积为：，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】此题考查列代数式，平方差公式计算法则，根据图形分别求出阴影部分的面积，由此得到答案．
【详解】解：方案一：如图1，，
方案二：如图2，
∴，则，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，理解题意，根据面积相等建立等式是解题关键．根据左图与右图的面积相等，列出等式即可．
【详解】解：根据题意：左图与右图的面积相等
即，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可．
【详解】解：根据题意，得：
故选：C．
6．16
【分析】本题考查了整式乘法与图形面积，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解．
【详解】解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为，
设正方形边长为x，则，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
整理得：，
∴，解得：，
∴正方形面积为．
故答案为：．
7．8
【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是和还有之间的关系．利用图形得，由可得，从而求得，再联立方程组求得的值，再求解即可．
【详解】解： ，
正方形和的边长分别为，，
，
，
，
，
，
，
解方程组得，
四边形和四边形是正方形，
，
，
故答案为：8．
8． 2
【分析】本题考查列代数式，平方差公式与几何图形的面积问题．
（1）用两个正方形的面积分别减去阴影部分的面积，再求和即可；
（2）利用种菜的面积比种花的面积多了16平方米，结合平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意，得：种菜的面积为：，种花的面积为，
∴种菜和花的总面积为；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴比长2米；
故答案为：2．
9．
【详解】解：“L”形折尺的面积=，直尺的面积=（b+a）（b-a）．∵两者的面积相等，∴ ．故答案为 ．
10．(1)长为：,宽为：
(2)，91
【分析】本题考查了多项式乘多项式、列代数式及代数式求值．
（1）结合图形进行分析即可求解；
（2）结合（1），利用长方形的面积公式即可求解；
【详解】（1）由题意得：B型卡片的长为：,宽为：；
（2）所拼成的长方形的面积为：
当，时，
11．(1)
(2)4
(3)
【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可；
（2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可；
（3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，
故答案为：；
（2）原式
．
（3）原式
．
12．(1)C
(2)①；②
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键．
（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论；
（2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可．
【详解】（1）解：图1中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为，
因此，
故选：C；
（2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，
∵，
∴，
∴
，
答：不规则四边形BGED的面积为15；
②
13．(1)平方差公式或
(2)数形结合
(3)证明见解析
【分析】本题考查了公式与几何图形的意义，数形结合思想，公式的证明．
(1)根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答．
(2)根据数形结合思想解答即可．
(3)根据面积的意义，证明即可掌握面积法是解题关键．
【详解】（1）解：根据题意，得平方差公式或，
故答案为：平方差公式或．
（2）解：主要思想是数形结合思想．
（3）解：由题意可知：
长方形的长，宽，
∴，
∵长方形的长，宽，
∴长方形与长方形的面积相等，
∴=+
= ，
∵=，=，
∴

．
14．（1）③；（2）①21或；②见解析
【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）根据题意分别表示出左边4个等腰梯形的面积和右边大平行四边形面积即可求解；
（2）①首先利用完全平方公式得到，然后求出，然后利用，求出，然后利用平方差公式求解即可；
②根据平方差公式画出图形求解即可．
【详解】（1）图1中左边4个等腰梯形的面积为，右边大平行四边形面积为
∴，
∴剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是③；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，；
当时，；
∴的值为21或；
②如图所示，选图2，
左边阴影的面积为，右边阴影的面积为
∴；
如图所示，选图3，
左边阴影的面积为，右边阴影的面积为
∴．
15．教材回顾：思路1：，思路2：，【知识应用】6，3，【知识迁移】（1），（2）
【解析】略