期末热点复习 组成等腰三角形点的个数 （含详解）2024-2025学年人教版数学八年级上册

期末热点复习 组成等腰三角形点的个数
【基础篇】
1．已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个．
3．如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
5．野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮（如图所示），她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．已知：如图△中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为 ．
7．在中，，，以为边画等腰，使P点在的边上，则符合条件的点P共有 个．
8．如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．

9．如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有 个．
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
【拓展篇】
11．如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．

12．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是 ．
13．如图为一张藏宝图，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．建立适当的平面直角坐标系，现知道的直角顶点的位置的坐标为，点位置的坐标为．经过调查，秘密宝藏的位置满足为条件：为非等腰的锐角三角形．点位置的坐标为 ，符合条件的点的个数为 个．
14．如图，在长方形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．
15．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形．
(1)这样的等腰三角形有______个；
(2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的判定，利用圆的定义作图，掌握等腰三角形的作图是解题的关键．由题意知，是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是，画出图形即可得到结论．
【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，但是点三点共线，故有1个等腰三角形，如图：
当时，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图：
当时，作出的垂直平分线，坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图：
综上所述，共计有5个符合条件的点C，
故选：B．
2．4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案．
【详解】解：如图，有三种情况
当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个；
当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个；
当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个．
故答案为：4．
3．C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有个．
故选：C．
4．B
【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，
综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
5．C
【分析】根据翻身后饼也能正好落在“锅”中，考虑把三角形分成两个等腰三角形即可．
【详解】解：如图，第一个沿直角三角形作斜边上的中线切，
第二个三角形在钝角处沿20°角的另一边切，
第三个三角形在60°角处沿20°角的另一边切，
第四个三角形无法分成两个等腰三角形，
所以，她的选择最多有3种．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，判断出翻折后正好能够重合是三角形是等腰三角形是解题的关键．
6．或50°或
【分析】分三种情形分别求解即可.
【详解】中，∵，，
∴∠BAC=40 ，
如图，为等腰三角形有三种情形：
①当时，
∵，∠BAC=40 ，
∴=，
∴=；
②当时，
，
∴；
③当时，
∵，∠BAC=40 ，
∴，
∴=；
故答案为：或50°或
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，分三种情况：当时，当时，当时，掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：分三种情况：
当时，如图，以点为圆心，长为半径作弧，交，分别于点，；

当时，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
当时，作的垂直平分线交于点．
综上，符合条件的点共有4个，
故答案为：4
8．或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；

若，
则，
∴；

若，且三角形是锐角三角形，
则；

若，且三角形是钝角三角形，
则．

综上：的度数为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论．
9．8
【分析】分为两种情况：①以AB为底时，②以AB为腰时，想象画出图形，即可得出答案．
【详解】解：连接AB，
分为两种情况：
①以AB为底时，作AB的垂直平分线分别交两直线于一点，此时符合的有两个点 ；
②以AB为腰时，第一种情况：以B为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共2个（A点除外），
第二中情况：以A为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共4个，
即满足条件的有(个)，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，分情况讨论才能做到不重不漏是解题的关键．
10．4
【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．
【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；
同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；
作AB的垂直平分线与BC有一个交点，
即有1+2+1＝4个，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
11．10°或80°或20°或140°
【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题．
【详解】解：如图，

在中，，
①当时，，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
12．10
【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
【详解】∵A（8，0），
∴OA=8，
设△AOP的边OA上的高是h，
则×8×h=16，
解得：h=4，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：
①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
其中，没有重复的点，
∴4+4+1+1=10．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
13． ； 4
【分析】根据已知点的坐标建立平面坐标系，即可得到点A的坐标，再根据等腰三角形的判定和锐角三角形的定义，结合图形即可得出结论．
【详解】解：∵为直角三角形，点坐标为，点坐标为，
∴所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，如图所示：
∴点坐标为．
∵为非等腰的锐角三角形，
∴点不能在过点垂直于的直线上（不能等腰），
点不能在轴上（），不能在轴左侧（），
由对称性可知点不能在过点垂直于轴垂线上，以及右侧，下方那两点也不能（），
∴满足条件点，如图所示：，，，，共4个，
故答案为：（0，0）；4．
【点睛】本题考查由点的坐标确定平面直角坐标系、等腰三角形、锐角三角形，理解等腰三角形和锐角三角形的定义，正确建立平面直角坐标系是解答的关键．
14．【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点．
【详解】解：如图，
AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5，
则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
15．(1)8
(2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．
【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论；
（2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解．
【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和；
②当AB=AC时，如图，和；
③当BC=AC时，如图和．
综上可知满足条件的点C有个，
故答案为：；
（2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；
当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．