人教版数学八年级上册 整式的乘法与因式分解 专项分层提分训练100题（含答案）

八年级上册数学人教版整式的乘法与因式分解
专项分层提分训练100题
一、解答题
1．． 2.． 3. 4.
5.； 6.． 7.； 8.．
9.； 10. 11. 12.
13.； 14.
15.； 16.． 17.；
18.． 19.． 20.．
21. ． 22.． 23.．
24.； 25.． 26.；
27. 28. 29. 30.；
31.； 32.； 33.．
34. 35. 36.；
37.． 38. 39. 40.
41. 42.； 43.．
44.； 45.． 46.．
47.． 48. 49.
50.； 51.．
52.； 53.． 54.
55.． 56. 57. 58.；
； 60.． 61. 62.
63. 64. 65. 66.
67.； 68.； 69.；
70.． 71. 72.． 73.
74. 75. 76.； 77.．
78. 79. 80.
81．（1）化简：；
（2）已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．
82.．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
(1)分解因式：
(2)若a，都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值．
83.．设a，b都是正整数，且满足，
(1)若a是质数，b是奇数，求的值；
(2)若a是偶数，b是奇数，求的值，
84.．找规律：观察算式
…
(1)按规律填空）
；
(2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程）
(3)思维拓展：计算：（要求：写出计算过程）
85.．已知数、、、满足，，求的值．
86.．阅读下列文字与例题，并解答：
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
原式
．
(1)试用“分组分解法”因式分解：．
(2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立．
①当时，求的值；
②当时，用含的代数式分别表示．
87．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数．
(1)根据上面的规律，写出的展开式；
(2)利用上面的规律计算：；
(3)的展开式的系数和为 ；
(4)运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ．
88．我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自己吗？
阅读理解∶一般地，n个相同因数a相乘∶，记为，如∶，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，（即）．
(1)计算∶ _____； _____；_____．
(2)观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出，，之间的关系式____________________________．
(3)由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果∶ ________（ 且，）；
(4)根据上述结论解决下列问题∶已知，求和的值(且)．
89．拓广探索：
若x满足，求的值．
解：设，
则，
∴．
请仿照上面的方法求解问题：
(1)若x满足，求的值．
(2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
90．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）．
(1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）；
(2)若，求满足这个不等式的的最大值；
(3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
91．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．可知当时，有最小值，最小值是．
(1)用配方法分解因式：；
(2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
(3)求使得是完全平方数的所有整数m的积．
92．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______；
(2)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______
(3)利用（2）的结论，尝试解决以下问题：
①已知，，则的值为______；
②已知：，求的值；
(4)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
93．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ， ，．
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，
小明给出了如下的证明：
设，则，即
所以，即，
所以．
试解决下列问题：
①计算
②请尝试运用这种方法证明．
94．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式．
(1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________；
(2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值；
(3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积．
95．长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求．
96．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：．
原式．
例2 若，利用配方法求的最小值；
；
，，
当时，有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：；
(2)若，求的最小值；
(3)已知是的三边长，且满足，求的周长．
97．阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，，或，……若，则 ；
(2)已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；
(3)一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．
98．阅读材料：
若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
请仿照上面的方法求解下列问题：
(1)若满足，求的值．
(2)，求．
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积．
99．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
(1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________．
(2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点．
①证明：且；
②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
100．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形．
利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：．
(1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______．
①；②；③；④；⑤．
(2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______．
(3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果）
参考答案：
1.解：；
2.解：．
3.解：
；
4.解：
．
5.解：原式；
6.原式．
7.解：
；
8.解：
9.解：
10.解：
11.解：
；
12.
．
13.解：
；
14.解：
；
15.解：
；
16.解：
．
17.解：
18.
19.解：
；
20.解：
．
21.解：．
22.解：
；
23.解：
．
24.解：
；
25.解：
．
26.解：
；
27.解：
．
28.解：
29.解：
30.解：原式；
31.原式．
32.解：
；
33.解：
．
34.解：
；
35.解：
36.解：
；
37.解：
．
38.解：原式；
39.原式；
40.原式；
41.原式．
42.解：
；
43.
．
44.解：原式
；
45.解：原式
．
46.解：
；
47.解：
．
48.解：
；
49.解：
．
50.解：
；
51.解：
；
52.解：
；
53.解：
．
54.
；
55.
．
56.解：
；
57.
58.
；
59.
；
60.
．
61.解：
；
62.解：
；
63.解：
；
64.解：
．
65.解：原式；
66.解：原式．
67.
；
68.
；
69.
；
70.
．
71.解：原式
；
72.解：原式
．
73.解：
；
74.解：
；
75.解：
．
76.解：
；
77.解：
．
78.解：
79.
80.设，
则原式，
，
∴原式
80.
，
.
81（1）
．
（2）∵，
∴，
∵是的整数部分，y是的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根，即16的平方根为．
82（1）
；
（2）由得，
，
，
，
，
，
，
，，
解得，，
；
（3）由得，
，
，
，，
，
当，时，
，
∴S的最小值为6．
83.（1）解：∵b是奇数，
∴也是奇数，
∵，
∴是偶数，
又∵a是质数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设（m、n都为正整数），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，，
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，或（舍去），符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
当时，，此时方程无正整数解，不符合题意；
综上所述，或，
∴或，
∴或．
84.（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：
．
85.解：，
，
，
，
，
，
．
86.（1）解：
；
（2）解：①当时，得，，
∵
，
，
∴，
∴；
②∵当时,
∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
即，
∴，
即，
∴或，
∴或，
∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴．
87.（1）解：由规律可得，；
（2）解：由规律可得，
；
（3）解：由展开式可得，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
，
∴的展开式的系数和为，
故答案为：；
（4）解：，
∵，
∴的余数为，
∴若今天是星期三，经过天后是星期四，
故答案为：四．
88.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2；4；6，
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：，
（3）解：，
故答案为：，
（4）解：，
．
89.（1）解：设，，
则，，
∴；
（2）∵正方形的边长为，，
∴，，
设，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
90.（1）解：，
，
，
是正整数，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
解得：，
的最大值为；
（3）解：不存在，
理由如下：
如下图所示，
，
，
，
，
整理得：，
解得：
为正整数，
不存在使得．
91.（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∴当时，多项式有最大值13．
（3）解：设，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①，，解得：，；
②，，解得：，；
③，，解得：，；
④，，解得：，．
所以所有m的积为．
92.（1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为；
方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为；
（2）解：由图2可知；
（3）解：①由（2）可知；
②∵，
∴．
∵，
∴
；
（4）解：∵，
∴．
由图可知的底为x，高为2，
∴．
的底为2，高为，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴阴影部分面积和为8．
93.（1）解：，即；
，即；
，即；
故答案为：2，0，3；
（2）①解：
；
②证明：设 ，
，
，
．
（1）解：由图可知：边长为（a+b） 的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成，
知识生成：，
故答案为：；
（2）正方体棱长为，
∴体积为，
∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴；
∴，
∵，，
∴
（3）有图可知：，．
∴，
∴，，
∵，
∴，
图中阴影部分的面积
95.（1）解：由题知：，，，，
，，
，
∴长方形窗户的总面积为．
（2）解：根据题意可得，
，
，
，
，
∴
．
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
96.（1）解：
．
（2）
，
当时，有最小值．
（3），
，
即，
，
，
，
的周长为12．
97.（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：9；
（2）解：根据题意，，，，
∴，
∴
∴，
∴或；
（3）解：∵，，
∴，
又∵，
令，，
此时可有一组解，，
即，．
98.（1）解：（1）设，，
则，
；
（2）解：设，，
则，
，
，
，
；
（3）解：根据题意可得，，，
，
，
设，，
则，
，
，
．
99.（1）解：如图1中，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：①和均为等腰直角三角形，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
．
100.（1）解：由图形可得，、，故①正确，
∴，即②错误；
由图形可得，，即，即③正确；
∵、，
∴，即，即④正确；
∵，，即故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
（2）解：由题意可得，图形如图所示，
∴．
故答案为：．
（3）解：由题意可得，
①当，，
②当，，
③当，．
故答案为：9或21或12．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页