四川省绵阳市绵阳南山中学2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试题（五）（含答案）

绵阳南山中学期末数学模拟试题（五）
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线关于点对称的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线的左、右焦点分别为,，直线过且与双曲线的右支交于点，原点到直线的距离为，且，则双曲线的离心率为()
A． B． C．2 D．
3．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆与离心率为的椭圆相切于点，过点引两条互相垂直的直线，，两直线与两曲线分别交于点，与点，(均不重合)．若为椭圆上任一点，记点到两直线的距离分别为，，则的最大值是()
A．4 B．5 C． D．
5．已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
8．已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形
B．三棱锥的体积最大值为
C．当时，异面直线与夹角的余弦值为
D．当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积
10．定义与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为圆，过上的动点作的两条互相垂直的切线，分别与交于两点，直线交于两点，则（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．面积的最大值为7
C．的最小值为
D．若动点在上，将直线的斜率分别记为，则
11．已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为
C．若，则的取值范围为
D．若，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为．
13．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为．
14．已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分.过点D作、的垂线，垂足分别为A、B.则的最小值是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示.
组别
频数 20 30 40 60 30 20
（1）现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.
（2）高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频。问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明.
参考数据：则，.
16．设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：．
17．如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由；
（3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明．
19．如图1，将一个半径为的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方相距处有一点光源，与球相切于点，也与球相切，点在桌面上，在此点光源的照射下，球在桌面上的影子的边界就形成某种曲线.设方程在和时，对于每一个都分别有唯一的值存在，那么就说方程在和时确定一个隐函数，其求导法则为（这里表示关于的导数，也是隐函数的图象在点处切线的斜率）.
（1）建立适当的空间直角坐标系，求当时，在此点光源的照射下，球在桌面上的影子的边界形成的曲线的方程；
（2）求证：过椭圆上任意一点的切线方程为；
（3）若将（1）中所得曲线的中心平移到坐标原点，此时该曲线内切于，且分别与，，相切于点，，，的延长线交于点，的延长线交于点，如图2，当点坐标为，点坐标为时，求点的横坐标.
绵阳南山中学期末数学模拟试题（五）参考答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】ACD
10．【答案】ABC
11．【答案】BCD
12．【答案】5
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】(1)
(2)（i），（ii）方案2
【详解】（1）因为抽样比，
所以抽取人，抽取人，抽取人.
设事件：这4人中至少有2人来自前2组，
.
（2）
所以，，，.
所以
对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则.
所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）点到圆上点的最大距离为，即，得，
故抛物线C的方程为．
（2）由题意可知，
设的方程为，，
联立方程，得，
易得，由根与系数的关系得，
，
所以
，
所以，
侧直线与直线的倾斜角互补，所以．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴是正三角形，∴，
同理可得，∴，
∵是的中点，∴，
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴，
∴，
∴，
∵在平面内，
∴平面；
（2）由（1）得，，，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
∵，∴，
显然是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，∴.
取，则，，∴，
∴，
∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为；
（3）假设存在点，设（），则，
∴，
∵直线与平面所成角的正弦值为，
∴，
∴或（舍去），∴.
18．【答案】(1)
(2)存在，
(3)与重合，证明见解析
【详解】（1）易知直线的斜率不为0，设，即，
则圆心到直线的距离，
又 即，
解得，所以直线的方程为，
（2）易知直线的斜率不为0，
设，即，
由（1），，，
又，化简得，
令，则，
，又 ，
故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时 ，
建立空间直角坐标系，如图，则，，，
，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设，其中，则，，
设平面的法向量为，则，即，
取，，
，
解得，，
（3）设，
联立，化简，
，
，
，
设，，
联立，
得，
又，
代入得，
即点在定直线上，
易得，
联立，化简得，
设，则，
所以，同理，在定直线上，
所以与重合.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则球心，，设为所形成曲线上的任意一点，由题意可知，则，
又，，
，
，化简得，
当时，可得所求曲线的方程为.
（2）对，利用隐函数求导法则，得，
过点的曲线的切线方程为，
即，
又， ①，证毕.
（3）对于（1）中所得曲线，类似于圆的平移，将此曲线的中心平移到坐标原点，此时对应的方程为，该曲线为椭圆.
在题图2中，设点的坐标为，点，，的坐标分别为，，，
将该曲线方程记为，则，，由（2）知：两条切线，的方程分别为，，
又点在这两条切线上，且，由此可知点，都在直线上，可得直线的方程为 ②.
由题意可知直线的方程为 ③，
联立②③可得点坐标为，
可得直线的方程为 ④
由①知，直线的方程为 ⑤，
联立④⑤并由可得点的横坐标，
将，，，，，
代入上式，得.