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课题：8.2.2消元——解二元一次方程组
(加减消元法)
教学目标：
理解解二元一次方程组的思路是“消元”，体 ( http: / / www.21cnjy.com )会化归思想；会用加减消元法解简单的二元一次方程组，并能选择适当方法解二元一次方程组；会用二元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系．21教育网
重点：
用加减消元法解简单的二元一次方程组．
难点：
用二元一次方程组解简单的实际问题．
教学流程：
一、知识回顾
问题1：解二元一次方程组的基本思路：
答案：二元一次方程组――消元－→一元一次方程
问题2：用代入法解二元一次方程组的关键？
答案：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.
二、探究1
问题1：还记得等式的性质1吗？
答案：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b±c
问题2：方程组除了用代入法求解外，还有其他方法呢？
追问1：这两个方程中，y的系数有什么关系？
答案：两个方程中y的系数相等
追问2：用②－①可消去未知数y吗？
解：②－①，得
2x＋y－(x＋y)＝16－10
解得：
x＝6
把x＝6代入①得：
y＝4
所以这个方程组的解是：
追问3：①－②也能消去未知数y，求出x吗？
问题3：联系刚才的解法，想一想怎样解方程组：
分析：未知数y的系数互为相反数，由①＋②，可消去未知数y，从而求出未知数x的值.
解：①＋②，得
3x＋10y＋(15x－10y)＝2.8＋8
18x＝10.8
x＝0.6
把x＝0.6代入①，得
3×0.6＋10y＝2.8
y＝0.1
所以这个方程组的解是：
追问：①＋②，这一步的依据是什么？
答案：等式的性质1
问题4：你能归纳刚才的解法吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
定义：当二元一次方程组中的两个二元一次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.21·cn·jy·com
练习1：(1)如何用加减消元法消去未知数x，求出未知数y？
解：(1)①－②，得
x＋3y－(x＋2y)＝13－10
y＝3
(2)①＋②，得
2x－5y＋(4y－2x)＝－6＋4
－y＝－2
y＝2
练习1：(2)如何用加减消元法消去未知数y，求出未知数x？
追问1：怎样才能使未知数y的系数相同？
答案：应用等式的性质2，即：如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么
解：(1)①×2，得：
2x＋6y＝26③
②×3，得：
3x＋6y＝30④
④－③，得：
x＝4
追问2：怎样才能使未知数y的系数相反？
(2)①×4，得：
8x－20y＝－24③
②×5，得：
20y－10x＝20④
③＋④，得：
－2x＝－4
x＝2
三、例1
用加减消元法解方程组
解：①×3，得：
9x＋12y＝48③
②×2，得：
10x－12y＝66④
③＋④，得：
19x＝114
x＝6
把x＝6代入①，得：
3×6＋4y＝16
4y＝－2
所以这个方程组的解是：
追问1：把x＝6代入②可以解得y吗？
追问2：如果用加减法消去x应如何去解？解得的结果一样吗？
练习2：用加减消元法解方程组：；
解：(1)①＋②，得：
4x＝8
x＝2
把x＝2代入①，得：
2＋2y＝9
所以这个方程组的解是：
(2)①×3，得：
6x＋15y＝24③
②×2，得：
6x＋4y＝10④
③－④，得：
11y＝14
把代入①，得：
所以这个方程组的解是：
归纳1：解二元一次方程组的基本思路：
( http: / / www.21cnjy.com )
归纳2：加减法解二元一次方程组的主要步骤
( http: / / www.21cnjy.com )
四、例2
2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收 ( http: / / www.21cnjy.com )割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h收割小麦8hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？21cnjy.com
问题1：题中有哪些未知量？
大收割机工作效率和小收割机工作效率这两种未知的量．
问题2：题中包含哪些等量关系？
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量＝3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量＝8
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦xhm2和yhm2.根据题意可列方程组：
追问：你能用加减消元法解这个方程组吗？
去括号得：
②－①，得：
解这个方程，得：
把x＝0.4代入①得：
解这个方程，得：
因此，这个方程组的解是：
答：1台大收割机每小时收割小麦0.4hm2，1台小收割机每小时收割小麦0.2hm2.
归纳：解决实际问题的基本思路：
( http: / / www.21cnjy.com )
五、应用提高
1.下面两个方程组各用什么方法比较简便？
；
答案：(1)用代入法比较简便；(2)用加减法比较简便
追问：在解二元一次方程组时，我们依据什么来选择更简便的方法？
2.列二元一次方程组解决下面问题：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？
解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组：
追问：用哪种方法解方程组比较简便呢？
解得：
答：鸡有23只，兔有12只.
六、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.解二元一次方程组的核心思想是什么？
2.加减法解二元一次方程组大致有哪些步骤？
3.如何列二元一次方程组解决实际问题？
七、达标测评
1.选择适当的方法解下列方程组：
；
答案：(1)；(2)
2.一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km．求轮船在静水中的速度与水的流速．
解：设轮船在静水中的速度为xkm/h，水的流速为ykm/h，根据题意可列方程组：
解得：
答：轮船在静水中的速度为18km/h，水的流速为2km/h.
3.运输360t化肥，装载 ( http: / / www.21cnjy.com )了6节火车车厢和15辆汽车；运输440t化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？21世纪教育网版权所有
解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据题意可列方程组：
解得：
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥.
八、布置作业
教材98页习题8.2第3(2)(4)、5、6题．
21世纪教育网www.21cnjy.com精品试卷·第2页(共2页)
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【义务教育教科书人教版七年级下册】
8.2.2 消元——解二元一次方程组
学校：________
教师：________
（加减消元法）
知识回顾
1. 解二元一次方程组的基本思路：
二元一次方程组
一元一次方程
消元
2. 用代入法解二元一次方程组的关键？
用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.
探究1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b ±c
还记得等式的性质1吗？
除了用代入法求解外，还有其他方法呢？
这两个方程中， y的系数有什么关系？
两个方程中
y的系数相等
用②－①可消去未知数y 吗
解：②－①，得
－( ) －
解得:
x＝6
把 x＝6代入①得:
y＝4
所以这个方程组的解是：
① － ②也能消去未知数y ,求出x吗
探究1
联系刚才的解法，想一想怎样解方程组：
未知数y的系数互为相反数,由①＋②,可消去未知数y,从而求出未知数x的值.
解：①＋②，得
18x＝10.8
x＝0.6
把x＝0.6代入①，得
3×0.6＋10y＝2.8
y＝0.1
所以这个方程组的解是：
等式的性质1
3x＋ 10y＋(15x－10y) ＝2.8 ＋8
这一步的依据是什么？
解得 x
探究1
18x＝10.8
两方程相加,
消去未知数y
一元一次方程
x＝0.6
y＝0.1
二元一次方程组
你能归纳刚才的解法吗？
二元一次方程组的解
当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程, 这种方法叫做加减消元法, 简称加减法.
①＋②
消元
练习1
如何用加减消元法消去未知数x，求出未知数y
解：（1）①－②，得
x＋3y－(x＋2y)＝13－10
y＝3
（2）①＋②，得
2x－5y＋(4y－2x )＝－6＋4
－y＝－2
未知数x的系数相反
未知数x的系数相同
y＝2
练习1
如何用加减消元法消去未知数y，求出未知数x
解：（1）①×2，得:
怎样才能使未知数y的系数相同？
2x＋6y＝26 ③
等式的性质2
如果a＝b,那么ac＝bc
如果a＝b,c≠0, 那么
②×3，得:
3x＋6y＝30 ④
④－③，得：
x＝4
自已试一试吧！
练习1
如何用加减消元法消去未知数y，求出未知数x
解：（2）①×4，得:
怎样才能使未知数y的系数相反？
8x－20y＝－24 ③
等式的性质2
如果a＝b,那么ac＝bc
如果a＝b,c≠0, 那么
②×5，得:
20y－10x＝20 ④
③＋④，得：
－2x＝－4
x＝2
例1
用加减消元法解方程组
②×2，得：
把 x＝6代入①，得：
解：①×3，得：
9x＋12y＝48 ③
③＋④，得：
所以这个方程组的解是：
把x＝6代入② 可以解得y吗
10x－12y＝66 ④
19x＝114
x＝6
3×6＋4y＝16
4y＝－2
如果用加减法消去x应如何去解？解得的结果一样吗？
练习2
用加减消元法解方程组：
把 x＝2代入①，得：
解：(1) ①＋② ，得：
所以这个方程组的解是：
2＋2y＝9
4x＝8
x＝2
练习2
用加减消元法解方程组：
②×2，得：
把 代入①，得：
解：(2)①×3，得：
6x＋15y＝24 ③
③－④，得：
所以这个方程组的解是：
6x＋ 4y ＝10 ④
11y＝14
归纳
二元一次方程组
一元一次方程
消 元
解二元一次方程组的基本思路：
代入消元法
加减消元法
归纳
加减法解二元一次方程组的主要步骤
将其中一个未知数的系数化成相同或相反
加减消元
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
写出方程组的解
应用加减法的条件！
将其中一个未知数的系数化成相同或相反
例2
题中有哪些未知量？
大收割机工作效率和小收割机工作效率这两种未知的量．
题中包含哪些等量关系？
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量＝3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量＝8
2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
例2
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .根据题意可列方程组：
你能用加减消元法解这个方程组吗？
2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量＝3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量＝8
例2
把 x＝0.4代入①得：
去括号得：
解这个方程，得：
因此，这个方程组的解是：
②－①，得：
解这个方程，得：
例2
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .根据题意可列方程组：
2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
解得：
答：1台大收割机每小时收割小麦0.4 hm2，1台小收割机每小时收割小麦0.2 hm2.
归纳
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
或
加减法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
解决实际问题的基本思路：
应用提高
1.下面两个方程组各用什么方法比较简便？
用代入法比较简便
用加减法比较简便
在解二元一次方程组时，我们依据什么来选择更简便的方法？
应用提高
2.列二元一次方程组解决下面问题：
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几只
解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组：
解得：
答：鸡有23只，兔有12只.
用哪种方法解方程组比较简便呢？
今天我们学习了哪些知识？
1.解二元一次方程组的核心思想是什么？
2.加减法解二元一次方程组大致有哪些步骤？
3.如何列二元一次方程组解决实际问题？
体验收获
达标测评
1. 选择适当的方法解下列方程组：
达标测评
2.一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km．求轮船在静水中的速度与水的流速．
解：设轮船在静水中的速度为xkm/h, 水的流速为ykm/h ，根据题意可列方程组：
解得：
答：轮船在静水中的速度为18km/h, 水的流速为2km/h .
达标测评
3.运输360 t化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440 t化肥,装载了8节火车车厢和10辆汽车，每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥
解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据题意可列方程组：
解得：
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥.
布置作业
教材98页习题8.2第3（2）（4）、5、6题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
8.2.2 消元——解二元一次方程组
(加减消元法)
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、填空题(每小题6分，共30分)
1.已知方程组在利用加减法消去y时最合理的方法是( )
A.①×5－②×3 B.①×3＋②×5
C.①×2－②×3 D.①×2＋②×3
2.方程组的解是( )
A. B. C. D.
3.已知是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根是( )
A.4 B.2 C. D.±2
4.已知a、b满足方程组，则3a＋b的值为( )
A.8 B.4 C.﹣4 D.﹣8
5.某校七年(4)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款(元) 1 2 3 4
人数 6 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.如果实数x，y满足方程组，则x＝ ；＝y .
7.若方程组与方程组的解相同，则a＝_____，b＝______.
8.为庆祝抗日战争胜利70 ( http: / / www.21cnjy.com )周年，某校八年(1)班举行了主题班会，有20名同学共做了52张纪念卡，其中女生每人做3张，男生每人做2张.问女生和男生各有几人做纪念卡.设女生有x人，男生有y人，根据题意，可列方程组为__________________.
9.阅读诗句：“栖树一群 ( http: / / www.21cnjy.com )鸦，鸦树不知数；两只栖一树，三只没去处；三只栖一树，闲了两棵树；请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的群鸦有 只.
10.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32cm，则小长方形的面积是 cm2.21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.小亮在解方程组时，因把a看错而得到而方程组正确的解是求a－c－d的值.
12.母亲节来临之际，小丽准备为母亲送 ( http: / / www.21cnjy.com )一束鲜花，花店中的每束鲜花由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花，同一种鲜花每支的价格相同，你根据第一、二束鲜花所提供的信息，求出第三束鲜花的价格吗？www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第一束 第二束 第三束
共计19元 共计18元 共计？元
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )
故选：D.
3.B
【解析】将代入二元一次方程组中，得解这个方程组得则2m－n＝2×3－2＝4，4的算术平方根是2. 故选：B.21世纪教育网版权所有
4.A
【解析】方程组利用加减消元法求出解得到a与b的值，即可确定出3a＋b的值.
解：，
①×2＋②得：5a＝10，即a＝2，
将a＝2代入①得：b＝2，
则3a＋b＝6＋2＝8.
故选A
5.A
【解析】两个定量为：人数和钱数.等量关 ( http: / / www.21cnjy.com )系为：捐2元人数＋捐3元人数＝40﹣6﹣7＝27；捐2元钱数＋捐3元钱数＝100﹣1×6﹣4×7＝66.21·cn·jy·com
解：根据题意列组得：.
故选A.
6.1,
【解析】方程组第二个方程变形求出x＋y的值，原式利用平方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出值.
解：方程组第二个方程变形得：2(x＋y)＝5，即x＋y＝，
∵x﹣y＝﹣，
∴2x＝2，
x＝1
∴y＝
故答案为：1, .
7.,
【解析】解方程组得
将代入第一个方程组中得解得
8.
【解析】根据题意可列方程组：.
9.21
【解析】本题首先设鸦x只，树y棵.根据题意得：
解得：
所以鸦有21只.
10.12
【解析】根据观察可知：（1）小长方形的长是宽的3倍；（2）大长方形的周长是由小长方形的3个长和7个宽构成的.2·1·c·n·j·y
解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则根据题意可得：，
解得：，
所以小长方形的面积为6×2＝12.
11.1
【解析】因为是的解，代入后可求a值；因为和是方程的解，代入后可得关于c、d的方程组，解方程组即可得出c、d的值.
解：把代入ax＋2y＝7，得a＝3.
把和分别代入cx－dy＝4，得
( http: / / www.21cnjy.com )
1朵康乃馨
3朵水仙花
2朵康乃馨
2朵水仙花
3朵康乃馨
1朵水仙花
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