2024-2025学年浙教版上学期八年级数学期末压轴题精选01
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．的平分线上 B．边的高上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键．作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案．
【详解】解：作射线，
由题意得，，，，
平分，
故选A．
2．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】B
【分析】本题考查三角形中线的性质，中线交点到顶点的距离与中线交点到对边中点的距离之比为：，过点D作，交于点F，先证明点F是BE的中点，可得到，即可证明，通过，计算出和，进一步计算出，即可求得答案．
【详解】解：过点D作，交于点F，
∵点D是的中点，，
∴点F是的中点，
∴，
∵，
∴
∵，是中线，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故选B．
3．（本题3分）（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，一个阴影区域如图所示，已知点，，，，则在阴影区域内的点是（ ）．
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】此题主要考查了点的坐标以及无理数的大小估算，根据阴影区域的横纵坐标范围判断即可．
【详解】解：由题意可知，阴影区域横坐标范围，纵坐标范围，
∴点，不在阴影区域内，
∵，，
即，，
∴阴影区域内，不在阴影区域内，
故选：B．
4．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平面内点到坐标轴的距离，根据平面内点到轴距离等于纵坐标绝对值，到轴距离等于横坐标绝对值求解即可得到答案；
【详解】解：∵点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且点在第三象限，
∴，，
∴这个点的坐标是：，
故选：A．
5．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：
①它的图象由直线向下平移2个单位所得．
②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．
④函数有最小值．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象性质以及应用，根据当时，则；当，则，作图，运用数形结合思想得出的图象是分段函数，判断①，当时，y随着x的增大而减小．当时，y随着x的增大而增大，判断②③，结合图象，即可判断④，进行作答．
【详解】解： 当时，则；
当时，则；
如图：
∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得．
故①是错误的；
结合图象，当时，y随着x的增大而减小．
当时，y随着x的增大而增大．
故②是错误的，
故③是正确的；
结合图象，函数有最小值．
故④是正确的；
故选：D．
6．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知点，是一次函数图象上两点，且满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，一次函数的性质，先解，再根据一次函数的性质可得，再建立不等式解题即可；
【详解】解：∵，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴，，
∵点，是一次函数图象上两点，，
∴，
∴，
解得：；
故选B
7．（本题3分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）点，在正比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
【答案】A
【分析】根据正比例函数的增减性，得出的符号，即可求解，本题考查了正比例函数的增减性，解题的关键是：通过已知条件得出的符号．
【详解】解：点，在正比例函数的图象上，若，
随的增大而减小，
，
解得：，
故选：．
8．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题．
【详解】解：解不等式得，
；
解不等式得，
；
因为不等式组的整数解为1，2，
所以，且，
则，．
又因为，为整数，
所以，，8，9，
所以满足条件的共有3对．
故选：C
9．（本题3分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可．
【详解】解：连接，
由轴对称的性质知：，，，，
，即，
，，
是等边三角形，
的周长是15，
的长为，
故选：D．
10．（本题3分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线性质、等腰直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识．根据角平分线性质可得，通过角的计算即可得到，根据等腰三角形的性质得到，故正确；再根据各角的计算可得出，故①正确；过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，从而推出，故②正确；由条件可推理得四边形是矩形，，再由全等性质可得，故，则③正确，利用反证法可证明④不正确．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故①正确，
平分，，，
，
，，
，
，
，故②正确，
在和中，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，故③④正确；
若成立，
则有，
显然，，
∴④不正确，
故选：A．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）将点向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后所得的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的平移，根据“上加下减，左减右加”进行即可作答．
【详解】解：依题意，将点向上平移3个单位，向左平移2个单位，得
故答案为：
12．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
【答案】或
【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可．
【详解】解：根据题意，当时，
解得：
此时，解得
当时，
解得：
此时，解得或
综上所述，或
故答案为：或．
13．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一次函数的定义、坐标与图形、勾股定理等知识点，求出的长是解题的关键．
设，则，，再根据勾股定理求出的长，然后再代入计算即可．
【详解】解：设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴，
∴．
故答案为：3．
14．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过 秒恰好将水槽注满．
【答案】8
【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将圆柱体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满．本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．
【详解】解：由图形可知，
圆柱体水槽的高是，圆柱体铁块的高是，注满水需要（秒，
故如果将圆柱体铁块取出，又经过（秒恰好将水槽注满，
故答案为：8．
15．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，根据折痕是角平分线，求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将沿对折得到，
∴，
∴；
故答案为：．
16．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题，熟知相关性质定理是正确解决本题的关键.
（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，根据勾股定理求的长即可求解；
（2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，证明为等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，
因为点E是的中点，由对称性可得
∴
的最小值的值为：
故答案为：．
（2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，
∴
∴
∴为等边三角形，
，，
垂直平分，
同理，
，
，
，即，
，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
17．（本题3分）（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】6或5.6
【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．分当时及当时两种情形分别求解即可．
【详解】解：①如图，当时，过点A作交的延长线于点H，过点E作交的延长线于点N，
，
，
，
。
设则，
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
中，，
，
解得：，
；
②如图，当时，
，
,,
由折叠的性质可得：,
,
,
时，
,
设则，
中，，
，
解得：，
，
．
故答案为：6或5.6
三 解答题（本题有6个小题，共49分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以。
18．（本题6分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解出不等式的解集，再把不等式的解集在数轴上表示出，再根据找一元一次不等式组的解集的规律即可求解，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律及解集在数轴上表示的方法是解题的关键．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
把不等式的解集在数轴上表示为：
原不等式组的解集为：．
19．（本题7分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论．
（2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是边上的高线，
，
是边上的中线，
，
，
，
点为的中点，
．
（2）解：连接，
则，
点为的中点，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
∵
，
，
．
20．（本题8分）（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点．
(1)求点，点的坐标．
(2)点是轴上的一个动点，求的最小值．
(3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点和点的坐标分别为或或或
【分析】（1）在中，令，即可得点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式，联立即可得点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可得答案；
（3）证明为直角三角形，，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点，
令，可得，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点和点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点的坐标为；
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
∴，，
∴，此时最小，最小，
∵点的坐标为，，，
∴，，
∴的最小值为；
（3）解：∵点的坐标为，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
点分别是直线上的两点，且不与点重合，
设，，
当时，，，
∴，，
解得或，或，
∴点和点的坐标分别为或或或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合，全等三角形的性质，两点之间距离的计算方法，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程求直线交点，对称轴与线段最短的计算，全等三角形的性质等综合运用，数形结合分析思想是解题的关键．
21．（本题8分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)进A种纪念品每件需要80元，购进B种纪念品每件需要50元
(2)该商店共有7种进货方案
(3)该商店购进A种纪念品73件，购进B种纪念品27套，元
【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程或不等式是解题的关键．
（1）设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据购买商品的数量及价格之间的关系建立方程组求出其解即可；
（2）设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品套，根据条件中的不相等关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为元，根据总利润种纪念品的利润种纪念品的利润就可以表示出与的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．
【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，
则：，
解得：．
答：进种纪念品每件需要80元，购进种纪念品每件需要50元；
（2）解：设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品套，
由题意得，
解得：．
为整数，
，68，69，70，71，72，73．
该商店共有7种进货方案；
（3）解：设总利润为元，由题意，得，
，
随的增大而增大，
该商店购进种纪念品73件，购进种纪念品27套，（元），
答：该商店购进种纪念品73件，购进种纪念品27套，最大利润是2730元．
22．（本题10分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，，、交于点E，，平分，交于点M，交于点N．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，根据及得出，即可得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得答案；
（2）根据，通过等量代换即可得答案；
（3）过点作于点，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，，
∵，
∴；
（3）证明：如图，过点作于点，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
23．（本题10分）（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）．
(1)当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）．
(2)当与的一条边垂直时，求的值．
(3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
【答案】(1)；
(2)或或
(3)
【分析】（1）结合题意“点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1”，即可获得答案；
（2）分三种情形讨论：当时，当时和当时，分别求解即可；
（3）设与交于点，过点作，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，即与中点重合，易知中点的运动轨迹在边上，且点经过的路径长为边的一半，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，当点在线段上运动时，
，．
故答案为：；；
（2）∵是边长为6的等边三角形，
，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，运用分类讨论的思想思考问题是解题关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙教版上学期八年级数学期末压轴题精选01
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．的平分线上 B．边的高上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
2．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
3．（本题3分）（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，一个阴影区域如图所示，已知点，，，，则在阴影区域内的点是（ ）．
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
4．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：
①它的图象由直线向下平移2个单位所得．②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．④函数有最小值．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
6．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知点，是一次函数图象上两点，且满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）点，在正比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．且
8．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．（本题3分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
10．（本题3分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）将点向上平移3个单位，向左平移2个单位，平移后所得的点的坐标为 ．
12．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
13．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为 ．
14．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过 秒恰好将水槽注满．
15．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则 ．
16．（本题3分）（23-24八年级上·浙江金华·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ．
17．（本题3分）（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ．
三 解答题（本题有6个小题，共49分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以。
（本题6分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
19．（本题7分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
20．（本题8分）（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点．
(1)求点，点的坐标．(2)点是轴上的一个动点，求的最小值．
(3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标．
21．（本题8分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？
22．（本题10分）（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，，、交于点E，，平分，交于点M，交于点N．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
23．（本题10分）（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为1．当点到达点时，点随之停止运动．连接，，设点的运动时间为（）．
(1)当点在线段上运动时，的长为_____（），的长为______（）（用含的式子表示）．
(2)当与的一条边垂直时，求的值．
(3)当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
试卷第1页，共3页
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