重庆市永川中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

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重庆市永川中学校高2026届高二（上）12月月考
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题共58分）
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（）
A. B. C. 1 D. 9
2. 已知圆与圆外切，则的值为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（）
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
4. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（）
A平行 B. 垂直 C. 异面垂直 D. 异面不垂直
5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
6. 已知等差数列满足，则（）
A. B. 5 C. 5或－5 D. 或
7. 已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（）
A. 6 B. C. D.
8. 已知双曲线左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（）
A. 12 B. 24 C. 16 D. 8
二 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记等差数列的前项和为，，，则（　　）
A. B. C. D.
10. 已知，，点P满足．则（）
A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P
C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是
11. 如图，点是棱长为2正方体的表面上一个动点，则（）
A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值4
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
第II卷（非选择题共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在直线上，若的最小值为4，则_______．
13. 若数列满足，，则__________．
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则的值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足：，.
（1）若，求证：为等差数列.
（2）求数列前项和.
16. 在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点.
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程.
17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程，并求的值；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
19. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标；
（3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
重庆市永川中学校高2026届高二（上）12月月考
数学试题
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】A
二 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】BD
第II卷（非选择题共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】或9
13.
【答案】
14.
【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，
即，，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
【小问2详解】
由（1）可得，则，
所以，
所以
.
16.
【解析】
【分析】（1）根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程；
（2）根据弦长公式可得圆心M到直线的距离，分类讨论直线斜率是否存在，并点到直线的距离公式计算斜率即可.
【小问1详解】
易知过点且与直线垂直的直线斜率为，
故圆心M与切点连线方程为，
联立解得，
所以；
所以圆M的半径为，
所以圆M的方程为.
【小问2详解】
如图，由（1）可知圆M的方程为，
因为直线被圆M截得的弦长为，
所以M到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，
则，即，解得或，
所以直线的方程为或.
17.
【解析】
【分析】（1）通过证明、来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角.
【小问1详解】
平面平面，
又，
又，平面，平面
又平面.又
，
即.又平面，平面.
【小问2详解】
如图所示，以点原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
易得，
设平面的法向量，则，
取，则法向量.
由（1）可知平面的法向量.
平面与平面的夹角为.
18.
【解析】
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程；
（2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可.
【小问1详解】
抛物线：的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，解得，
所以抛物线方程为，
又因为点在抛物线上，所以，即.
小问2详解】
由（1）可知抛物线的焦点，
显然直线斜率不为0，设直线的方程为，，，
由，消去整理得，
所以，则，，
所以，
，
又，所以，，
因为，所以，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即.
19.
【解析】
【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案；
（2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标；
（3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值.
【小问1详解】
根据题意双曲线，
因，解得，
双曲线的方程为；
【小问2详解】
由（1）知，，，
设，
已知，又，
所以，
由点Q在椭圆上，则，
又点为双曲线上任意一点，则，
联立，解得，或，
所以点P的坐标为或或；
【小问3详解】
当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下，
当重合时，由题意，则，则，
当不重合时，，设直线的方程为，，
由得，
因为双曲线的渐近线方程为，
又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以，
由韦达定理得，，
所以
，
所以存在实数，使得.
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