重庆市南坪中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

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2024-2025学年度高一上期数学12月月考卷
数学试题
（满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知全集，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）
A. B. C. D.
2. “”的一个充分不必要条件是（）
A. B. C. D.
3. 设，，，则（）
A B.
C. D.
4. 已知扇形的周长为12，半径为4，则该扇形的面积是（）
A. B. C. 8 D. 16
5. 函数的零点所在的区间为（）
A. B. C. D.
6. 若，，，则最大值为（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若，则正实数的值为（）
A. 1 B. C. 5 D. 6
8. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（）（参考数据：，，）
A22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（）
A. B. 为偶函数
C. 为单调递增函数 D. 值域为
10. 下列说法不正确的是（）
A. 已知，，若，则的取值集合为
B. 的定义域为，则的定义域为
C. 不等式解集为，则
D. “”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件
11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（）
A. B.
C. D. 的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 求值：__________.
13. 函数的单调递增区间为_________．
14. 已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.
四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分）
15. 设全集，集合，，．
（1）求，；
（2）；
（3）若，求实数a的取值范围．
16. 已知角满足.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？
18. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式；
（3）设函数，若，使得，求实数的取值范围.
19. 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有.
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②.
（2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围；
（3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”.
2024-2025学年度高一上期数学12月月考卷
数学试题
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6.
【答案】C
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、多选题（每小题6分，共18分）
9.
【答案】ABD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.【答案】10
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分）
15.
【解析】
【分析】（1）由集合的交集与并集的运算求解即可；
（2）由集合的补集运算与交集运算求解即可；
（3）由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可.
【小问1详解】
集合，，
所以，.
【小问2详解】
或，所以.
【小问3详解】
因为集合，，
，则，故，
所以实数a的取值范围.
16.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简，再由即可得到结果.
（2）由及，即可得到结果.
【小问1详解】
原式
，
，
原式.
【小问2详解】
，
且，
，
.
17.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解．
（2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可.
【小问1详解】
对于模型①，，图象为直线，故①错误，
由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型②，指数型函数是爆炸型增长，故②错误，
对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③，
【小问2详解】
由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，，
则，解得，，
故所求函数为，
，即，
，
，
至少应完成销售利润72万元．
18.
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质利用可得，经检验可知符合题意；
（2）根据（1）中解析式判断出函数的单调性，结合奇函数性质解不等式可得结果；
（3）依据题意可得只需满足，结合指数型复合函数单调性求得可得结果.
【小问1详解】
因为定义域是上的奇函数，
所以，即
解得.
经验证时，是奇函数.
【小问2详解】
设，则，
因为在上递增，且在上递减，
所以是上减函数，
又因为在上是奇函数，
则可转化为，
且在是减函数，则，
整理得，解得或，
可得或，
所以不等式的解集为或.
【小问3详解】
由题意可得
因为，即，则，可得，
所以的值域是，
若，使成立，只需，
设，则
可知在[1，2]上单调递增，
可知，
即时，取到最大值为，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
19.
【解析】
【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数和，进行判定，即可求解；
（2）若I为的“区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；
（3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若I为的“区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解.
【小问1详解】
解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“区间”；
②中，函数，当时，可得，此时不满足，所以区间不是函数的一个“区间”；
所以①是（满足性质1）.②不是.
【小问2详解】
解：记，，可得，故若I为的“区间”，
则不满足性质②，必满足性质①，即；
由，
当时，在上单调递增，且，
即，所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意；
综上可知，，即实数的取值范围是.
【小问3详解】
证明：对于任意区间，记，
由已知得在I上单调递减，故，
因为，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①，
所以若I为的“区间”，必满足性质②，这只需，
即只需或，
由显然不恒成立，所以存在常数c使得.
如，取，区间满足性质②；
如，取，区间满足性质②；
综上，函数一定存在“区间”；
记，则图象连续不断，下证明有零点：
因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记；
若，则是的零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
综上，有零点，即，
因为的所有“区间”I都满足性质②，故.（否则，与性质②不符）
即不属于的任意一个“区间”，证毕.
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