2024-2025学年广东省江门市台山一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省江门市台山一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知一组数据：，，，，的平均数为，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.直线：，：，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知点，平面，其中，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
6.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知正三角形的边长为，在平面内，若向量满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.抛掷一枚骰子两次设“第一次向上的点数是”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被整除”为事件，则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件互为对立事件 B.
C. D. 事件与事件相互不独立
11.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有( )
A. 当点运动时，总成立
B. 当向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两直线与平行，则它们之间的距离为______．
13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是 ．
14.在平面直角坐标系中，已知圆：，直线：，过上一点作圆的切线，切点为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面直角坐标系中，圆：，点，
若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程；
以为直径的圆交圆于，两点，求．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，，，分别是棱，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第组，第组，，第组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率估计概率．
若学校要从中选名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第组或第组的概率；
试估计该校高一年级全体男生身高的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表与中位数；
现在从第与第组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有名男生来自第组的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
求证：平面平面；
设，若二面角的平面角的大小为，试确定的值．
19.本小题分
定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为，的最小值为，若，则称为圆的“黄金点”；若同时是圆和圆的“黄金点”，则称为圆“”的“钻石点”已知圆：，为圆的“黄金点”
求点所在曲线的方程．
已知圆：，，均为圆“”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线的方程．
(ⅱ)若圆是以线段为直径的圆，直线：与圆交于，两点，对于任意的实数，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：设，，
根据为中点，可得，整理得，
将代入圆方程，可得，
化简得，即为点的轨迹方程．
综上所述，动点的轨迹方程为；
如图所示：
的中点坐标为，且，
可得以为直径的圆的方程为，即．
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径．
两圆的圆心距，，，
因为，所以两圆相交．
将两圆方程相减，整理得，即为直线的方程．
因为圆心到直线的距离，圆的半径，
所以．
16.证明：在直三棱柱中，，，取中点，连接，
则，过点作，由平面，得平面，
则直线，，两两垂直，以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，
则，，，
设平面的法向量，
则，即，
取，得，
于是，
即，平面，又平面，
所以平面．
解：由知，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，
又，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
17.解：学校要从中选名男生担任足球队长，
由频率分布直方图得被选取的男生恰好在第组或第组的概率：
．
估计该校高一年级全体男生身高的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表为：
．
由频率分布直方图得的频率为：
，
的频率为：，
中位数为：．
第组有：名男生，
第组有：名男生，
现在从第与第组男生中选取两名同学担任守门员，
基本事件部数，
选取的两人中最多有名男生来自第组包含的基本事件个数：
，
选取的两人中最多有名男生来自第组的概率．
18.求证：，，为的中点，
四边形为平行四边形，．
，，即．
又平面平面，且平面平面，平面，
平面．
平面，平面平面；
解：，为的中点，．
平面平面，且平面平面，
平面．
如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则面的法向量为；
，，，
设，则，，
，，则，
即，
在平面中，，，
设平面的一个法向量，由，
，取，得．
平面法向量为．
二面角为，，
解得．
19.解：由题，点为圆的“黄金点”，
所以，
解得，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以点所在曲线的方程为；
由题有，，
则，即点在圆上，
所以是圆和的交点，
因为，均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，
所以直线的方程为；
由题的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
所以直线的方程为，得的中点坐标为，
点到直线的距离为，
则，所以圆的方程为，
假设轴上存在点满足题意，设，，．
整理得．
又，所以代入上式可得
整理得，
由，
可得，
所以，
代入并整理得，
此式对任意的都成立，所以．
故轴上存在点，使得轴平分．
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