浙江省湖州市长兴中学等四校2024-2025学年高一（上）联考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

浙江省长兴中学等四校 2024-2025 学年高一（上）联考数学试卷（12
月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,3}， = { 1,0,1,2}， = {0,1,3}，则 ∩ ( ) =( )
A. { 1,0,1} B. { 1,2} C. {0,1} D. {3}
2.若 = 0. 30.4， = 0. 40.3， = 2log83，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
3.已知命题 ： 0 ∈ ，
2
0 0 + ≤ 0，则命题 的否定为 ( ) 4
1 1
A. 0 ∈ ，
2
0 0 + > 0 B. 0 ∈ ，
2
0 0 + < 0 4 4
1 1
C. ∈ ， 2 + ≤ 0 D. ∈ ， 2 + > 0
4 4
4.已知函数 ( ) = 2 2 + 4在 上有且仅有1个零点，则实数 =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5.二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，则反比例函数 = 与一次函数 = + 在同一坐标系下中

的大致图象是( )
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A. B.
C. D.
1
6.已知函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 1 + ，则 (2) =( )
1
3 3 3 9
A. B. C. D.
4 4 2 4
2
+ 2+
7.已知 ， 都是实数，则“ < √ ”是“ > > 0”的( )
2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
|ln | , 0 <
8.已知函数 ( ) = { ，若正实数 ， ， 互不相等，且 ( ) = ( ) = ( )，则 的取值范
+ 1 , >
围为( )
1 1
A. (1, + 1) B. ( , + 1) C. ( , ) D. ( , + 1)

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 < < 0, ∈ ，则下列不等式成立的是( )
1 1 + 1 1
A. < B. 3 < 3 C. < D. + < +
+
sin , sin cos
10.对于函数 ( ) = { 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是( )
cos , sin > cos
A. 该函数是以 为最小正周期的周期函数
1
B. 该函数的图象关于直线 = + ( ∈ )对称
4
C. 当且仅当 = + ( ∈ )时，该函数取得最小值 1
√ 2
D. 当且仅当2 < < + 2 ( ∈ )时，0 < ( ) ≤
2 2
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11.已知 > 1， > 1， = 2 ， = log2 ，则以下结论正确的是( ) 1 1
1 1
A. + 2 = + log2 B. + = 1 2 log2
1 1
C. < D. + > 4
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1
12.已知实数 ， 满足2 = 9 = 18，则 + = ．

1 2
13.已知sin( ) = ，且 ∈ (0, )，则cos( + ) = ．
3 3 2 3
sin sin sin
14.对于△ ，若存在△ 1 1 1，满足 = = = 1，则称△ 为“ 类三角形”，则“ 类cos 1 cos 1 cos 1
三角形”一定满足有一个内角为定值，为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

sin( + )+cos( + )
已知 2 = 1．
cos( )
(1)求tan 的值；
sin 3cos
(2)求 的值．
sin +cos
16.(本小题15分)
已知命题 : ∈ ，不等式2 2 + 4 + 7 > 0恒成立;命题 : ∈ ，使 2 2 + + 2 < 0成立．
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围;
(2)若命题 ， 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度 (单位：摄氏度)与保鲜时间 (单位：小时)之间的函数关系式为 ( ) = +
该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况
下，其保鲜时间约为576小时．
(1)求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
(2)若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于
多少摄氏度
18.(本小题17分)
已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( ) + 3，且当 > 0时， ( ) > 3．
(1)求 (0)的值，并证明 ( ) + 3为奇函数；
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(2)求证： ( )在 上是增函数；
(3)若 (1) = 2，解关于 的不等式 ( 2 + ) + (1 2 ) > 9．
19.(本小题17分)
若函数 = ( )对定义域内的每一个值 1，在其定义域内都存在唯一的 2，使 ( 1) ( 2) = 1成立，则称该
函数为“依赖函数”．
(1)判断函数 ( ) = sin 是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 2 1在定义域[ , ]( > 0)上为“依赖函数”，求 的取值范围；
4 4 4
(3)已知函数 ( ) = ( )2( )在定义域[ , 4]上为“依赖函数”，若存在实数： ∈ [ , 4]，使得对任意
3 3 3
的 ∈ ，不等式 ( ) 2 + ( ) + 4都成立，求实数 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
2√ 2
13.【答案】
3
3
14.【答案】
4

sin( + )+cos( + ) sin sin
15.【答案】解：(1) 2 = = 2tan = 1，
cos( ) cos
1
所以tan = ;
2
1
(2)由(1)知tan = ;
2
sin 3cos tan 3
所以 =
sin +cos tan +1
1
3
= 2
5
1 = ．
+1 3
2
16.【答案】解：(1)若命题 为真命题，则 1 = 16 8(7 ) = 8 40 < 0，∴ ∈ ( ∞, 5)．
(2)当 为真命题时：
2 = 4
2 4( + 2) = 4 2 4 8 > 0，∴ ∈ ( ∞, 1) ∪ (2, +∞).
当命题 ， 中恰有一个为真命题时，
< 5
1 为真命题， 为假命题，即{ ∴ ∈ [ 1,2]．
1 ≤ ≤ 2
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≥ 5
2 为假命题， 为真命题，即{ ∴ ∈ [5, +∞).
> 2 或 < 1
综上： ∈ [ 1,2] ∪ [5, +∞).
8 + 432 3
17.【答案】解：(1)依题意得{ = 432，则 2 = = ，
6 + = 576 576 4
6 + 576
当 = 4时， (4) = 4 + = 2 = 3 = 768，
4
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为768小时．
1
1 33 2
(2)令 + ≥ 1024，得 6 + ( 2 ) 32 ≥ 1024，即576 ( ) ≥ 1024，
4
1
3 2
3 2( ) 1024 16 3则 ≥ = = ( ) ，
4 576 9 4

(3) 1因为函数 = 是单调递减函数，所以 3 ≤ 2，
4 2
解得 ≤ 2，
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2摄氏度．
18.【答案】解：(1)令 = = 0，得 (0) = 3．
令 = ，则 (0) = ( ) + ( ) + 3，
即 ( ) + 3 = [ ( ) + 3]，
所以函数 ( ) + 3为奇函数;
(2)证明：在 上任取 1 > 2，则 1 2 > 0，
所以 ( 1 2) > 3．
所以 ( 1) ( 2) = [( 1 2) + 2] ( 2) = ( 1 2) + ( 2) + 3 ( 2) > 0，
所以函数 ( )在 上是增函数．
(3)由 (1) = 2，得 (2) = 7， (3) = 12．
由 ( 2 + ) + (1 2 ) > 9得
( 2 + ) + (1 2 ) + 3 > 9 + 3 = 12 = (3)，
即 ( 2 + 1) > (3)．
因为函数 ( )在 上是增函数，
所以 2 + 1 > 3，
解得 < 1或 > 2．
故原不等式的解集为{ | < 1或 > 2}．
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19.【答案】解：(1)对于函数 ( ) = sin 的定义域 内存在 1 = ，则 ( 2) = sin 2 = 2无解， 6
故 ( ) = sin 不是“依赖函数”．
(2)因为 ( ) = 2 1在[ , ]上递增，故 ( ) ( ) = 1，即2 12 1 = 1， + = 2，
由 > > 0，故 = 2 > > 0，得0 < < 1，
从而 = (2 )在 ∈ (0,1)上单调递增，故 ∈ (0,1)．
4 4
(3)①若 4，故 ( ) = ( )2在[ , 4]上最小值为0，此时不存在 2，舍去； 3 3
4
②若 > 4，故 ( ) = ( )2在[ , 4]上单调递减，
3
4 13
从而 ( ) (4) = 1，解得 = 1(舍)或 = ，
3 3
4 13
从而存在 ∈ [ , 4].使得对任意的 ∈ ，有不等式( )2 2 + ( ) + 4都成立，
3 3
2 26 133即 + + 2 ( + ) + 0恒成立，
3 9
2 26 133 26 532由 = 4[ 2 ( + ) + ] 0，得4( + ) 3 2 + ．
3 9 3 9
4 26 532
由存在 ∈ [ , 4]，可得4( + ) 3 + ，
3 3 9
532 4 4 532 145
又 = 3 + 在 ∈ [ , 4]单调递减，故当 = 时，(3 + )max = ， 9 3 3 9 3
26 145 41
从而4( + ) ，解得 ．
3 3 12
41
综上，故实数 的最大值为 ．
12
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