山东省临沂市部分校2024-2025学年高二（上）月考数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

山东省临沂市部分校 2024-2025 学年高二（上）月考数学试题（12 月
份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 2 √ 2
1.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点(0, √ 2)，则 的方程为( ) 2
2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. 2 + = 1
4 2 2 4 4 8 2
2.若抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点在直线 + 2 2 = 0上，则 等于( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
3.已知等比数列{ }中， 3 7 = 64， 4 = 4，则公比 =( )
A. 2 B. ±√ 2 C. ±2 D. 2
4.已知等差数列{ }的公差为1，且 2， 4， 7成等比数列，则 =( )
A. 2 + 1 B. 2 + 2 C. + 1 D. + 2
5.已知曲线 : 2 + 2 = 16，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ′， ′为垂足(若 在 轴上， ′即为 )，则线
段 ′的中点 的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
16 4 16 8 16 4 16 8
2 2
6.双曲线
2
2 = 1( > > 0)的两条渐近线夹角为 ，则双曲线的离心率是( )
3
4√ 3 2√ 3
A. 2 B. C. √ 3 D.
3 3
7.已知抛物线 : 2 = 16 的焦点为 ，定点 (4,3), 为抛物线 上一动点，则| | + | |的最小值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8.已知{ }是各项均为正整数的递增数列，{ }前 项和为 ，若 = 2024，当 取最大值时， 的最大值
为( )
A. 63 B. 64 C. 71 D. 72
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的公差为 ，前 项和为 ，且 ≠ 0， 1, 4, 6成等比数列，则( )
A. 19 = 0 B. 9 = 0
C. 当 < 0时， 9是 的最大值 D. 当 > 0时， 10是 的最小值
10.已知数列{ }的前 项和为 ，下列说法正确的是( )
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A. 若 = 2
2 6 + 1，则 = 4 4
B. 若 = 4 25，则 的最小值为 66
C. 若 = 4 3，则数列{( 1) }的前17项和为 33
D. 若数列{ }为等差数列，且 1011 + 1012 < 0, 1000 + 1024 > 0，则当 < 0时， 的最大值为2023
11.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点 的坐标为(2,0)，则( )
A. 准线 的方程为 = 2
B. 焦点 到准线 的距离为4
C. 过点 ( 2,0)只有2条直线与拋物线 有且只有一个公共点
D. 抛物线 与圆 2 + 2 = 9交于 , 两点，则| | = 4√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.等差数列{ }中，公差 = 3， = 13， = 35，则 = ．
2 2
13.若方程 + = 1表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为__________．
5 3
1
14.设数列{ }的前 项和 ,若 1 = 1， +1 = 0( ∈
)，则{ }的通项公式为______． 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2 2
已知 ， 是椭圆 + = 1与直线 = + 1的交点，求线段 的长度．
4 3
16.(本小题15分)
等差数列{ }的公差为 ，数列{ }的前 项和为 ．
(1)已知 1 = 1， = 512， = 1022，求 ；
(2)已知 5 = 24，求 2 + 4．
17.(本小题15分)
在等比数列{ }中.
(1)若它的前三项分别为5， 15，45，求 5；
(2)若 = 625， = 4， = 5，求 1；
18.(本小题17分)
2
已知双曲线 ： 2 = 1的左右顶点分别为 、 ．
4 1 2
1
(1)求以 1、 2为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程； 2
(2)直线 过点 (1,1)与双曲线 交于 , 两点，若点 恰为弦 的中点，求出直线 的方程；
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19.(本小题17分)
1 1
已知数列{ }满足 1 = 1， = 2 + 1． +1
(1)求{ }的通项公式;
2
(2)若 = sin ，记数列{ }的前99项和为
99
3 99
，求 ．
99
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】(3,4)
1, = 1
14.【答案】 = { 2 × 3 2
, 2
2 2
15【. 答案】【解答】解：设点 的坐标为( , + = 11 1)，点 的坐标为( 2, 2)，联立{ 4 3 ，可得7
2 + 8 8 = 0，
= + 1
8
1 + 2 =
由题知 1 2是上式方程的根，由韦达定理可得{
7,
8
1 2 = 7
所以| | = √ ( 2 21) + ( )2 = √ 1 + 22 1 × √ ( 21 + 2) 4 1 2 = √ 1 + 1 ×
√ 8
2 8 24 24
( ) 4 × ( ) = ，所以| | = ．
7 7 7 7

16.【答案】解：(1)因为 = ( 1 + ) = × (1 512) = 1022，所以 = 4， 2 2
又因为 = 4 = 1 + 3 = 1 + 3 = 512，所以 = 171．
5×4 24 48
(2)由 5 = 5 1 + = 24，即 1 + 2 = ，所以 2 + 4 = 1 + + 1 + 3 = 2 1 + 4 = ． 2 5 5

17.【答案】解：(1)因为 4 25 = 1 ，而 1 = 5， = = 3，所以 5 = 405． 1
(2)依题意， = 1 3 1 ，则 1 × 5 = 625，所以 1 = 5．
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18.【答案】解：(1)由题意可得， 1( 2,0)， 2(2,0)，则 = 2，
1 2 2
又 = = ，∴ = 4， 2 = 2 2 = 12，所以椭圆的标准方程为 + = 1．
2 16 12
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，点 恰为弦 的中点，则 1 + 2 = 2， 1 + 2 = 2，
又因为 ， 两点在双曲线上，
21 21 = 1 2 2
可得{ 4 ，两式相减得 1 2 2 22 ( 1 2 ) = 0， 42 2 = 1
4 2
1+ 2 1 2 1 1化简整理得 = = ，即 = ，
4( 1+ 2) 1 4

2 4
1
所以直线 的方程为 1 = ( 1)，即 4 + 3 = 0，经检验，满足题意．
4
1 1
19.【答案】解：(1)因为 = 2 + 1，
+1
1 1 1 1 1 1
所以当 ≥ 2时， = 2 1， = 2 3， ， = 2 × 1 + 1 = 3，
1 1 2 2 1
1 1
累加得 = 3 + 5 + 7 + + 2 1 = 2 1， ≥ 2，
1
1
即 = 2， ≥ 2．
当 = 1，符合上式，
1
所以 = 2．
2 2 2 (2)因为 = sin ，所以 = sin ． 3 3
2 √ 3 4 √ 3
当 = 1时，sin = ;当 = 2时，sin = ;当 = 3时，sin2 = 0．
3 2 3 2
2
所以数列{sin }是以3为周期的数列．
3
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3
= × (1 22) + × (42 52) + × (72 299 8 ) + + × (97
2 982)
2 2 2 2
3√ 3
= × (1 + 3 + 5 + + 65)
2
3√ 3 (1+65)×33 33×99√ 3
= × = ．
2 2 2
99 33√ 3故 = ．
99 2
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